Арифметична прогресія: різниця й формула n-го члена

Почнемо з основ. Числова послідовність — це набір чисел, розташованих у певному порядку, де кожне число має свій номер. Позначають їх так: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, … Індекс n — це номер члена, і він може бути лише натуральним числом (1, 2, 3, …). Сам вираз aₙ називають n-м членом послідовності.

Наприклад, послідовність 2, 5, 8, 11, 14, … має a₁ = 2, a₂ = 5, a₃ = 8, a₄ = 11, a₅ = 14 і так далі. Кожен наступний член більший за попередній на 3. Саме такі послідовності — де різниця між сусідніми членами стала — називають арифметичними прогресіями.

Означення арифметичної прогресії

Арифметична прогресія — це числова послідовність, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додано одне й те саме число. Це стале число називають різницею прогресії й позначають d.

Формально: aₙ₊₁ = aₙ + d для всіх n ≥ 1. Звідси різницю знаходять як «наступний мінус попередній»:

d = aₙ₊₁ − aₙ = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = …

Приклади

Якщо d > 0, прогресія зростає (кожен наступний член більший за попередній). Якщо d < 0, прогресія спадає. Якщо d = 0, усі члени однакові — це стаціонарна прогресія.

Як розпізнати арифметичну прогресію

Щоб перевірити, чи є послідовність арифметичною прогресією, обчисли різниці між сусідніми членами. Якщо всі вони однакові — це прогресія. Якщо хоч одна різниця відрізняється — ні.

Розгляньмо послідовність 2, 5, 9, 14, … Обчислимо різниці:

• 5 − 2 = 3

• 9 − 5 = 4

• 14 − 9 = 5

Різниці 3, 4, 5 — не однакові. Отже, це не арифметична прогресія. Запам'ятай головне правило: різницю завжди рахуємо як «наступний мінус попередній», і вона має бути сталою для всієї послідовності.

Якщо знаєш перший член a₁ і різницю d, то можна знайти будь-який член арифметичної прогресії, не виписуючи всі проміжні. Для цього існує формула n-го члена:

aₙ = a₁ + d · (n − 1)

Чому саме n − 1? Від a₁ до aₙ треба зробити n − 1 кроків: від a₁ до a₂ — один крок, до a₃ — два, до a₄ — три, … до aₙ — n − 1 кроків. Кожен крок додає d. Тому загальний приріст дорівнює d · (n − 1).

Пряме застосування формули

Приклад. a₁ = 5, d = −2. Знайти a₂₀.

Підставляємо у формулу: a₂₀ = 5 + (−2) · (20 − 1) = 5 + (−2) · 19 = 5 − 38 = −33.

Зверни увагу: спочатку обчислюємо n − 1 = 19, потім множимо на d = −2, і лише потім додаємо до a₁.

Перехід від будь-якого відомого члена

Формулу можна застосовувати не тільки від першого члена. Якщо відомий член aₘ, то aₙ = aₘ + d · (n − m). Адже між m-м і n-м членом — рівно n − m кроків.

Наприклад, a₁₀ = a₄ + 6d, тому що 10 − 4 = 6. Це зручно, коли відомі не сусідні члени.

Визначення номера члена

Іноді питають: чи є число N членом прогресії? Якщо так, то який його номер? Для цього підставляють N у формулу замість aₙ і розв'язують рівняння відносно n.

Приклад. Чи є 101 членом прогресії 5, 9, 13, …? Тут a₁ = 5, d = 4. Складаємо рівняння:

5 + 4(n − 1) = 101 ⇒ 4(n − 1) = 96 ⇒ n − 1 = 24 ⇒ n = 25.

n = 25 — натуральне число, отже, 101 є 25-м членом прогресії.

Перевірмо число 100: 5 + 4(n − 1) = 100 ⇒ 4(n − 1) = 95 ⇒ n − 1 = 23,75 ⇒ n = 24,75. n неціле — 100 не є членом цієї прогресії.

Номер члена може бути лише натуральним числом! Якщо дістали n = 24,75 або n = −3 — число не є членом прогресії.

Перший від'ємний член

Розглянемо прогресію 50; 46,5; 43; … Знайдемо її перший від'ємний член.

Спочатку знаходимо різницю: d = 46,5 − 50 = −3,5. a₁ = 50.

Перший від'ємний член — це член aₙ з найменшим номером n, для якого aₙ < 0. Складаємо нерівність:

50 + (−3,5)(n − 1) < 0 ⇒ 50 − 3,5(n − 1) < 0 ⇒ 3,5(n − 1) > 50 ⇒ n − 1 > 50 / 3,5 = 100/7 ≈ 14,2857.

Отже, n > 15,2857… Найменше натуральне n, що задовольняє цю умову, — n = 16.

Обчислюємо a₁₆ = 50 + (−3,5)(16 − 1) = 50 − 3,5 · 15 = 50 − 52,5 = −2,5.

Відповідь: −2,5. Це перший від'ємний член прогресії.

Часто в задачі відомий не перший член, а два інші члени прогресії. Тоді спочатку знаходять різницю d, а потім — перший член a₁ (або безпосередньо потрібний член). Розглянемо два способи.

Спосіб 1: різниця через кількість кроків

Нехай a₃ = 7, a₇ = 19. Знайдемо d і a₁.

Між 3-м і 7-м членом — n − m = 7 − 3 = 4 кроки. Тому:

a₇ − a₃ = 4d ⇒ 19 − 7 = 4d ⇒ 12 = 4d ⇒ d = 3.

Тепер знайдемо a₁. Знаємо, що a₃ = a₁ + 2d, тому:

7 = a₁ + 2 · 3 ⇒ a₁ = 7 − 6 = 1.

Отже, a₁ = 1, d = 3. Прогресія: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …

Увага: між a₃ і a₇ — 4 кроки, а не 7 і не 3! Кількість кроків = n − m = 7 − 3 = 4. Поширена помилка — брати n замість n − m.

Спосіб 2: система рівнянь

Той самий приклад можна розв'язати, склавши систему з формули n-го члена для кожного відомого члена:

a₃ = a₁ + 2d = 7

a₇ = a₁ + 6d = 19

Віднімаємо від другого рівняння перше: (a₁ + 6d) − (a₁ + 2d) = 19 − 7 ⇒ 4d = 12 ⇒ d = 3. Далі так само a₁ = 1.

Характеристична властивість арифметичної прогресії

Кожен член арифметичної прогресії, крім першого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх членів. Це називають характеристичною властивістю:

aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2

Перевірмо на прогресії 1, 4, 7, 10, … Візьмемо a₃ = 7. Сусідні: a₂ = 4, a₄ = 10. (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7. Справді!

Властивість можна узагальнити для членів, що стоять на однаковій відстані:

aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ) / 2

Наприклад, a₅ = (a₂ + a₈) / 2. Перевір: a₂ = 4, a₅ = 13, a₈ = 22; (4 + 22)/2 = 13. Працює!

Застосування: знаходження змінної

Характеристична властивість допомагає знайти невідому змінну, коли три вирази є послідовними членами прогресії.

Приклад. Знайди x, якщо числа x + 1, 3x − 2, 2x + 7 утворюють три послідовні члени арифметичної прогресії (саме в такому порядку).

Нехай a₁ = x + 1, a₂ = 3x − 2, a₃ = 2x + 7. За характеристичною властивістю для другого члена:

2 · a₂ = a₁ + a₃

2(3x − 2) = (x + 1) + (2x + 7)

6x − 4 = 3x + 8

3x = 12 ⇒ x = 4.

Тоді a₁ = 5, a₂ = 10, a₃ = 15 — справжня арифметична прогресія з d = 5.

Розв'яжемо п'ять типових задач на арифметичну прогресію — саме такими вони трапляються на НМТ. Перші три — у форматі вибору однієї відповіді, дві останні — коротка відповідь.

Приклад 1. Обчислення n-го члена за формулою

Завдання:

Дано арифметичну прогресію, у якій a₁ = −4, d = 3. Знайдіть a₁₅.

Розв'язання:

Застосовуємо формулу aₙ = a₁ + d(n − 1):

a₁₅ = −4 + 3 · (15 − 1) = −4 + 3 · 14 = −4 + 42 = 38.

Відповідь: 38.

Чому інші варіанти неправильні:

• 41 — дістають, якщо помилково використати aₙ = a₁ + dn: −4 + 3 · 15 = 41.

• 35 — можна отримати, обчисливши −4 + 3 · 13 = 35 (плутанина з n − 2).

• −46 — дістають, якщо помилково взяти d = −3 (переплутати знак різниці).

• 45 — виникає, якщо взяти 3 · 15 = 45, забувши про a₁ = −4.

Приклад 2. Член прогресії за двома відомими членами

Завдання:

В арифметичній прогресії a₄ = 10, a₉ = 30. Знайдіть a₁₂.

Розв'язання:

Між 4-м і 9-м членом — 9 − 4 = 5 кроків. Тому:

a₉ − a₄ = 5d ⇒ 30 − 10 = 5d ⇒ 20 = 5d ⇒ d = 4.

Тепер знайдемо a₁₂, використовуючи відомий a₉:

a₁₂ = a₉ + d(12 − 9) = 30 + 4 · 3 = 30 + 12 = 42.

Відповідь: 42.

Примітка: можна було спочатку знайти a₁ = 10 − 3 · 4 = −2, а потім a₁₂ = −2 + 4 · 11 = 42 — результат той самий.

Приклад 3. Чи є число членом прогресії?

Завдання:

Яке з чисел є членом арифметичної прогресії 7, 11, 15, …?

• А) 50

• Б) 49

• В) 51

• Г) 53

• Д) 45

Розв'язання:

Маємо a₁ = 7, d = 4. Формула: aₙ = 7 + 4(n − 1). Для кожного числа-кандидата розв'язуємо рівняння 7 + 4(n − 1) = число.

Перевіряємо ключовий варіант: 7 + 4(n − 1) = 51 ⇒ 4(n − 1) = 44 ⇒ n − 1 = 11 ⇒ n = 12. n — натуральне, отже, 51 є 12-м членом прогресії.

Перевірка інших:

• 50 → 4(n − 1) = 43 ⇒ n − 1 = 10,75 ⇒ n = 11,75 — неціле, не член.

• 49 → 4(n − 1) = 42 ⇒ n − 1 = 10,5 ⇒ n = 11,5 — не член.

• 53 → 4(n − 1) = 46 ⇒ n − 1 = 11,5 ⇒ n = 12,5 — не член.

• 45 → 4(n − 1) = 38 ⇒ n − 1 = 9,5 ⇒ n = 10,5 — не член.

Відповідь: 51.

Приклад 4. Знаходження змінної через характеристичну властивість

Завдання:

Знайдіть x, якщо числа x + 1, 3x − 2 і 2x + 7 є трьома послідовними членами арифметичної прогресії (у заданому порядку).

Розв'язання:

За характеристичною властивістю для другого члена:

2(3x − 2) = (x + 1) + (2x + 7)

6x − 4 = 3x + 8

3x = 12

x = 4.

Відповідь: 4.

Перевірка: при x = 4 маємо числа 5, 10, 15 — справді арифметична прогресія з d = 5.

Приклад 5. Перший від'ємний член прогресії

Завдання:

Дано арифметичну прогресію: 50; 46,5; 43; … Знайдіть її перший від'ємний член.

Розв'язання:

Знаходимо різницю: d = 46,5 − 50 = −3,5. a₁ = 50.

Перший від'ємний член — це член aₙ з найменшим номером n, для якого aₙ < 0. Складаємо нерівність:

50 + (−3,5)(n − 1) < 0

50 − 3,5(n − 1) < 0 ⇒ 3,5(n − 1) > 50 ⇒ n − 1 > 50/3,5 = 100/7 ≈ 14,2857

n > 15,2857… Найменше натуральне n, що більше за 15,2857, — це n = 16.

Обчислюємо a₁₆:

a₁₆ = 50 + (−3,5)(16 − 1) = 50 − 3,5 · 15 = 50 − 52,5 = −2,5.

Відповідь: −2,5.

У полі для відповіді число −2,5 записують десятковим дробом, знак «мінус» ставлять перед першою цифрою: −2,5.

Розберемо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні на НМТ. Кожну варто запам'ятати, щоб не втратити бали.

• Помилка: aₙ = a₁ + dn замість aₙ = a₁ + d(n − 1). За формулою кількість кроків на одиницю менша за номер — множити d потрібно на (n − 1), а не на n. Перевіряй на простому випадку: для n = 2 має бути a₂ = a₁ + d, а за хибною формулою вийшло б a₁ + 2d.

• Помилка: d = a₁ − a₂. Різницю знаходять як «наступний мінус попередній»: d = a₂ − a₁, а не навпаки. Наприклад, для 10, 7, 4, … a₂ − a₁ = 7 − 10 = −3 (правильно), a₁ − a₂ = 10 − 7 = 3 (неправильний знак).

• Помилка: неправильний підрахунок кроків між членами. Якщо дано a₃ = 7 і a₇ = 19, кількість кроків між ними — 7 − 3 = 4, а не 7 і не 3. Загальна формула: між aₘ і aₙ — рівно n − m кроків.

• Помилка: нецілий n приймають за номер члена. Якщо, розв'язавши рівняння aₙ = число, дістали n = 12,5 — це означає, що число не є членом прогресії. Номер члена завжди натуральне число.

• Помилка: у характеристичній властивості беруть несиметричні члени. Наприклад, записують a₅ = (a₃ + a₈)/2. Це неправильно, бо індекси 3 і 8 несиметричні відносно 5 (різниця з a₃ — 2, з a₈ — 3). Правильно: a₅ = (a₄ + a₆)/2 або за узагальненою формулою a₅ = (a₁ + a₉)/2 (обидва на відстані 4).

• Помилка: у короткій відповіді забувають «мінус» або кому десяткового дробу. Наприклад, відповідь −2,5 записують як 2,5 (немає мінуса) або −25 (немає коми). Перевіряй знак і формат запису.

Арифметична прогресія входить до розділу «Функції» програми, тема «Числові послідовності» (зміст: арифметична й геометрична прогресії, формули n-го члена й суми n перших членів). Від тебе вимагають уміння «розв'язувати задачі на арифметичну та геометричну прогресії».

Довідкові матеріали

На НМТ ти отримаєш довідкові матеріали, у яких є формула n-го члена арифметичної прогресії aₙ = a₁ + d(n − 1) і формула суми n перших членів Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2. Ними можна й треба користуватися. Але навіть маючи формулу перед очима, легко помилитися з підстановкою — особливо забути дужки (n − 1).

Формати завдань

У завданнях 1–15 прогресія може з'явитися у формі вибору однієї відповіді (1 бал). Однак у тестах 2023–2024 років прогресія нерідко стояла на позиції 19 — це коротка відповідь без часткових балів: або 2 бали, або 0. У демоваріанті 2026 на позиції 19 була похідна, тож позиція прогресії змінна. Тренуй розв'язування задач на прогресію саме у форматі короткої відповіді — це надійний внесок у поріг 5 балів з 32.

Стратегія

Задача на член прогресії за двома відомими членами — це, по суті, одна формула. Якщо ти безпомилково визначив d і підставив усе правильно, задача приносить 1 або 2 бали за 1–2 хвилини. Тому:

• Уважно визнач, які члени відомі (їхні номери).

• Пам'ятай: кількість кроків між aₘ і aₙ — це n − m.

• У короткій відповіді не забудь знак «мінус» для від'ємного числа.

• Десятковий дріб записуй через кому (наприклад, −2,5).

• d = aₙ₊₁ − aₙ — різницю завжди знаходять як «наступний мінус попередній».

• aₙ = a₁ + d · (n − 1) — формула n-го члена. Не плутай (n − 1) із n.

• Між aₘ і aₙ — рівно n − m кроків: aₙ − aₘ = d · (n − m).

• Номер члена — лише натуральне число. Якщо після розв'язання рівняння n неціле — число не є членом прогресії.

• Кожен член арифметичної прогресії, крім першого, — середнє арифметичне сусідніх: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2.

• Якщо d > 0 — прогресія зростає, d < 0 — спадає, d = 0 — стала.