Значення й знаки синуса, косинуса й тангенса за чвертями

Ти вже знаєш, що на одиничному колі кожному куту α відповідає точка Pα з координатами (cos α; sin α). Але що таке тангенс і чому він не завжди існує? Розберімося.

Тангенс кута

Тангенсом кута α називають відношення ординати точки Pα до її абсциси. Інакше кажучи:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha },\cos \alpha \ne 0.$$

Оскільки в знаменнику стоїть косинус, тангенс існує лише тоді, коли cos α ≠ 0. А коли косинус дорівнює нулю? Це трапляється в точках, де абсциса точки на одиничному колі дорівнює нулю, — на вертикальній осі. Таким кутам відповідають кути виду α = π/2 + πk, тобто 90°, 270°, 450° тощо. Отже:

tg α не існує при α = π/2 + πk, де k ∈ Z (тобто для 90°, 270°, −90° тощо).

Наприклад, tg 90° або tg π/2 не можна обчислити — таких значень у таблиці немає.

Котангенс кута (профільний рівень)

Котангенс — це обернене відношення:

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha },\sin \alpha \ne 0.$$

Він існує, коли sin α ≠ 0, тобто для всіх кутів, крім α = πk (0°, 180°, 360° тощо). У програмі котангенс позначено як вимогу профільного рівня. НМТ складають за повною програмою, тож завдання з котангенсом можливі, хоча в довідці формул для нього немає.

Межі значень синуса, косинуса й тангенса

Поглянь на одиничне коло: його радіус дорівнює 1, тому координати будь-якої точки Pα (cos α; sin α) за модулем не можуть перевищувати 1. Звідси випливають дві важливі нерівності:

$$-1\le \sin \alpha \le 1,-1\le \cos \alpha \le 1.$$

Це означає, що рівняння на зразок sin α = 1,2 або cos α = −2 не мають розв’язків — таких значень просто не існує. Натомість тангенс може набувати будь-якого дійсного значення, адже він є відношенням двох чисел, кожне з яких не перевищує 1 за модулем, але ділення дає довільний результат.

Знак тригонометричної функції залежить від того, в якій чверті лежить кут α. На одиничному колі чверті нумерують від I до IV проти годинникової стрілки, починаючи з додатної півосі Ox.

Як визначити знак?

Синус — це ордината точки, тому він має знак «+» у тих чвертях, де y > 0, тобто в I і II чвертях. Косинус — це абсциса, тому він додатний там, де x > 0, — у I і IV чвертях. Тангенс (і котангенс) додатний, коли sin α і cos α мають однакові знаки, — це I і III чверті.

Ось межі чвертей у градусах і радіанах:

А ось знаки тригонометричних функцій за чвертями:

Запам’ятай мнемонічне правило:

I — усі додатні, II — лише sin, III — tg і ctg, IV — лише cos.

Знак добутку або частки

На НМТ часто питають знак виразу на зразок cos 3 · tg 2. Кути 2 і 3 — це радіани. Нагадаємо: π ≈ 3,14, π/2 ≈ 1,57. Отже, 1,57 < 2 < 3,14 і 1,57 < 3 < 3,14 — обидва кути лежать у II чверті, тому cos 3 < 0 і tg 2 < 0. Добуток двох від’ємних чисел додатний, тому cos 3 · tg 2 > 0.

Інший приклад: sin 200° · cos 100°. Кут 200° — III чверть (180° < 200° < 270°), sin 200° < 0. Кут 100° — II чверть, cos 100° < 0. Добуток від’ємних чисел додатний.

Чверть за знаками функцій

Іноді треба визначити чверть, знаючи знаки функцій. Наприклад:

• Якщо sin α > 0 і cos α < 0 — це II чверть (синус додатний, косинус від’ємний).

• Якщо tg α < 0 і sin α < 0 — це IV чверть (синус від’ємний, тангенс від’ємний — отже, косинус додатний).

Кути 0°, 30°, 45°, 60°, 90° (і відповідні їм радіани 0, π/6, π/4, π/3, π/2) називають табличними — їхні значення sin, cos і tg треба знати напам’ять. На НМТ ці значення є в довідці, але користуватися нею без розуміння небезпечно: легко сплутати, яке число до якої функції належить.

Синус і косинус основних кутів

Поглянь на таблицю. Зверни увагу: косинус тих самих кутів дає ті самі числа, що й синус, але у зворотному порядку.

Продовження таблиці для кутів 60° та 90°:

Кути на осях координат

Окремо варто розглянути кути, що лежать на осях, — тобто кратні 90°:

Як не сплутати sin 30° і cos 30°?

На відрізку від 0 до π/2 синус зростає (від 0 до 1), а косинус спадає (від 1 до 0). Тому sin 30° = 1/2 — це менше, ніж √3/2 = sin 60°. А cos 30° = √3/2 — це більше, ніж 1/2 = cos 60°. Запам’ятай: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2.

У попередньому розділі ти вивчив значення для кутів першої чверті. Але як знайти sin 210°, cos 5π/4 або sin(−π/3), якщо цих кутів немає в таблиці довідки? Відповідь дає симетрія точок на одиничному колі.

Симетрія на одиничному колі

Точки, що відповідають кутам π − α, π + α і −α, симетричні точці кута α відносно осі Oy, початку координат і осі Ox відповідно. Тому модулі їхніх координат (тобто |sin| і |cos|) ті самі, що й для кута α. Змінюється лише знак — його визначає чверть, у якій лежить кут.

Алгоритм

1. Визнач, у якій чверті лежить кут.

2. Знайди гострий кут між променем і віссю Ox (найближча горизонтальна вісь).

3. Візьми табличне значення для цього гострого кута.

4. Постав знак «+» або «−» залежно від чверті.

Розглянемо приклади.

Приклад: sin 210°

210° = 180° + 30°. Це III чверть, де синус від’ємний. Гострий кут з віссю Ox — 30°. sin 30° = 1/2. Зі знаком III чверті: sin 210° = −1/2.

Приклад: cos 5π/4

5π/4 = π + π/4. III чверть, косинус від’ємний. cos(π/4) = √2/2. Отже, cos 5π/4 = −√2/2.

Приклад: tg 150°

150° = 180° − 30°. II чверть, тангенс від’ємний. tg 30° = √3/3. Отже, tg 150° = −√3/3.

Від’ємні кути

Від’ємні кути відкладають за годинниковою стрілкою. Їхні точки симетричні відносно осі Ox. Звідси прості правила:

$$\cos (-\alpha )=\cos \alpha ,\sin (-\alpha )=-\sin \alpha .$$

Приклад: sin(−π/3) = −sin(π/3) = −√3/2. cos(−π/3) = cos(π/3) = 1/2.

Кути, більші за 360° (2π)

Якщо кут більший за 360°, спершу відкинь повні оберти (360° або 2π). Наприклад:

• sin 390° = sin(390° − 360°) = sin 30° = 1/2

• cos 7π/3 = cos(7π/3 − 2π) = cos(π/3) = 1/2

Розгляньмо типові завдання НМТ, які перевіряють уміння визначати знаки й значення тригонометричних функцій.

Приклад 1. Обчислення sin 210°

Завдання: обчислити sin 210°.

Розв’язання. Кут 210° лежить у III чверті (оскільки 180° < 210° < 270°). У III чверті синус від’ємний. Гострий кут між променем 210° і віссю Ox: 210° − 180° = 30°. Табличне значення sin 30° = 1/2. Зі знаком III чверті маємо sin 210° = −1/2.

Відповідь: −1/2.

Чому інші варіанти неправильні?

• 1/2 — не враховано, що в III чверті синус від’ємний.

• −√3/2 — сплутано sin 30° і cos 30°: cos 30° = √3/2, а не sin 30°.

• √3/2 — і помилка зі знаком, і сплутано sin і cos.

• −1 — значення sin 270°, а не sin 210°.

Приклад 2. Знак добутку cos 3 · tg 2

Завдання: визначити знак виразу cos 3 · tg 2.

Розв’язання. Кути задано в радіанах. Нагадаймо: π ≈ 3,14, π/2 ≈ 1,57. Маємо 1,57 < 2 < 3,14 і 1,57 < 3 < 3,14, отже, обидва кути (2 рад і 3 рад) лежать у II чверті. У II чверті cos < 0 і tg < 0, тому cos 3 < 0 і tg 2 < 0. Добуток двох від’ємних чисел додатний. Тому cos 3 · tg 2 > 0.

Відповідь: додатний.

Приклад 3. Логічні пари: вираз — значення

Завдання: встанови відповідність між виразом (1–3) і його значенням (А–Д):

Вирази: 1) cos 150°; 2) tg 225°; 3) sin(−π/6).

Значення: А) −√3/2; Б) 1; В) −1/2; Г) √3/2; Д) −1.

• 1) cos 150° = cos(180° − 30°): II чверть, косинус від’ємний, тому cos 150° = −cos 30° = −√3/2. Це значення А.

• 2) tg 225° = tg(180° + 45°): III чверть, тангенс додатний, тому tg 225° = tg 45° = 1. Це значення Б.

• 3) sin(−π/6) = −sin(π/6) = −1/2. Це значення В.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Приклад 4. Обчислення виразу

Завдання: обчислити 2 sin(π/6) − √3 · tg(π/3) + cos π.

Розв’язання. Знайдемо кожен доданок окремо:

• sin(π/6) = 1/2, тому 2 sin(π/6) = 2 · 1/2 = 1.

• tg(π/3) = √3, тому √3 · tg(π/3) = √3 · √3 = 3.

• cos π = −1.

• Підставляємо: 1 − 3 + (−1) = −3.

Відповідь: −3.

Чому інші варіанти неправильні?

• −1 — cos π узято за 1, а треба −1.

• −2 — cos π узято за 0.

• 3 — доданок √3 · tg(π/3) = 3 додано замість віднімання: 1 + 3 − 1 = 3; 1 — tg(π/3) узято за √3/3, а cos π — за 1: 1 − 1 + 1 = 1.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час роботи з тригонометричними функціями. Уникнувши їх, ти впевнено розв’яжеш завдання НМТ.

• Сплутано sin 30° і cos 30°: sin 30° = 1/2, а cos 30° = √3/2. Запам’ятай: на відрізку [0; π/2] синус зростає, тому sin 30° менший за sin 60°, а косинус — спадає, тому cos 30° більший за cos 60°.

• Для кута іншої чверті поставлено знак першої. Наприклад, sin 210° = 1/2 (забули, що III чверть дає «−»). Завжди спершу визначай чверть і знак, а потім пиши число.

• tg 90° = 0 або tg 90° = 1: це груба помилка. Тангенс 90° не існує, оскільки cos 90° = 0, а на нуль ділити не можна.

• Сплутано точки на осях: cos π = 1 (насправді −1), sin 3π/2 = 1 (насправді −1). Координати точок на осях: (1; 0) — 0°, (−1; 0) — 180°, (0; −1) — 270°, (0; 1) — 90°.

• Чверть кута 2 рад визначено так, ніби це 2°. Кут 2° лежить у I чверті, а кут 2 рад — у II чверті, бо π/2 ≈ 1,57, а π ≈ 3,14. Не плутай радіани з градусами!

• cos(−α) = −cos α — це неправильно. Косинус — парна функція: cos(−α) = cos α. Наприклад, cos(−60°) = cos 60° = 1/2, а не −1/2.

Означення синуса, косинуса й тангенса числового аргументу належать до теми 1.3 програми НМТ з математики. Котангенс у програмі позначено як вимогу профільного рівня, але НМТ складають за повною програмою, тож і він може трапитися.

У довідці, яку надають на тестуванні, є таблиця значень sin, cos і tg для кутів 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2, 2π. Однак значення для кутів інших чвертей (наприклад, 210°, 5π/4, −π/3) треба вміти отримувати самостійно — за чвертю й знаком.

Формати завдань на НМТ:

• У завданнях № 4–15 — вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д). Кожне таке завдання оцінюють у 0 або 1 бал. Типове формулювання: «Обчислити sin 210°» або «Визначити знак виразу cos 3 · tg 2».

• У завданні № 17 — «логічні пари»: установити відповідність між тригонометричними виразами (1–3) та їхніми значеннями (А–Д). За нього можна отримати 0, 1, 2 або 3 бали.

Табличні значення тригонометричних функцій потрібні не лише в окремих завданнях на обчислення, а й під час розв’язування тригонометричних рівнянь. Наприклад, у демонстраційному варіанті НМТ 2026 року завдання № 11 перевіряло вміння знаходити корені рівняння на заданому проміжку, що вимагало знання табличних значень.

Стратегія: спочатку визнач чверть, потім знак, потім табличне значення. Не поспішай — кожен крок окремо.

Тут зібрано відповіді на запитання, які найчастіше виникають під час вивчення цієї теми.

• I чверть — усі функції додатні («+»), II — лише sin, III — tg і ctg, IV — лише cos.

• tg α = sin α / cos α, не існує при α = π/2 + πk (cos α = 0).

• |sin α| ≤ 1, |cos α| ≤ 1; тангенс може бути будь-яким числом.

• Значення для кута будь-якої чверті = модуль табличного значення гострого кута з віссю Ox зі знаком цієї чверті.

• cos(−α) = cos α (парна функція), sin(−α) = −sin α (непарна).

• sin 30° = cos 60° = 1/2, sin 60° = cos 30° = √3/2, sin 45° = cos 45° = √2/2.

• sin 0 = 0, sin π/2 = 1, sin π = 0, sin 3π/2 = −1, sin 2π = 0; cos 0 = 1, cos π/2 = 0, cos π = −1, cos 3π/2 = 0, cos 2π = 1.

• tg 0 = 0, tg π/6 = √3/3, tg π/4 = 1, tg π/3 = √3; tg π/2 не існує.