Вписане й описане кола трикутника

Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі три вершини цього трикутника. Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і до того ж — лише одне. Це випливає з того, що через три точки, які не лежать на одній прямій, завжди проходить єдине коло.

Центр описаного кола

Центр O описаного кола — це точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін трикутника. Чому? Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Отже, точка перетину серединних перпендикулярів до сторін AB і BC буде рівновіддалена від A, B і C: OA = OB = OC = R. Саме тому вона — центр описаного кола, а R — його радіус.

Положення центра залежить від виду трикутника

Розташування центра O визначається кутами трикутника:

Запам’ятай: у прямокутному трикутнику центр описаного кола — це саме середина гіпотенузи. Тому радіус описаного кола прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи. У тупокутному трикутнику центр лежить зовні — за найдовшою стороною, яка лежить навпроти тупого кута.

Коло називають вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх трьох сторін трикутника. У будь-який трикутник можна вписати коло, і лише одне.

Центр вписаного кола

Центр I вписаного кола — це точка перетину бісектрис трикутника. Чому? Кожна точка бісектриси кута рівновіддалена від сторін цього кута. Тому точка перетину бісектрис рівновіддалена від усіх трьох сторін трикутника. Ця спільна відстань і є радіусом r вписаного кола. Центр вписаного кола завжди лежить усередині трикутника — це його визначальна властивість.

Властивість відрізків дотичних

Відрізки дотичних, проведених з однієї вершини до точок дотику вписаного кола, рівні між собою (властивість дотичних до кола). Наприклад, якщо коло дотикається до сторін трикутника в точках D, E, F, то AD = AF, BD = BE, CE = CF. З цієї властивості виводять зручну формулу для прямокутного трикутника:

Для прямокутного трикутника з катетами a, b і гіпотенузою c: r = (a + b − c) / 2

Наприклад, для трикутника з катетами 6 і 8: гіпотенуза c = 10 (теорема Піфагора: 6² + 8² = 36 + 64 = 100, √100 = 10). Тоді r = (6 + 8 − 10) / 2 = 4 / 2 = 2.

Особливі трикутники

• У рівнобедреному трикутнику центри вписаного й описаного кіл лежать на висоті, проведеній до основи.

• У рівносторонньому трикутнику центри вписаного й описаного кіл збігаються (це точка перетину медіан, висот, бісектрис і серединних перпендикулярів водночас). Формули радіусів через сторону розглядають у темі правильних многокутників.

У цьому розділі ти опануєш дві ключові формули, яких НЕМАЄ в довідкових матеріалах НМТ, — їх треба знати напам’ять, а також навчишся користуватися теоремою синусів для знаходження R.

Радіус вписаного кола: r = S / p

Позначимо S — площу трикутника, а p — його півпериметр (p = (a + b + c) / 2). Тоді радіус вписаного кола:

r = S / p

Чому це працює? Сполучивши центр I вписаного кола з вершинами трикутника, ми ділимо трикутник на три менші трикутники. Кожен із них має висоту r (радіус вписаного кола), а основою слугує одна зі сторін початкового трикутника. Отже:

S = S_{IBC} + S_{ICA} + S_{IAB} = (a · r)/2 + (b · r)/2 + (c · r)/2 = r · (a + b + c) / 2 = r · p

Звідси S = p · r, а отже, r = S / p. Важливо: у знаменнику стоїть ПІВпериметр p, а не периметр P!

Формули r = S / p у довіднику НМТ немає! Її треба вивчити та пам’ятати.

Радіус описаного кола: R = abc / (4S)

Для довільного трикутника радіус описаного кола обчислюють за формулою:

R = abc / (4S)

Ця формула виводиться з S = (ab · sin C) / 2 і c = 2R · sin C (теорема синусів). Підставляючи другу в першу, отримуємо S = ab · (c / (2R)) / 2 = abc / (4R), звідки R = abc / (4S).

Формули R = abc / (4S) у довіднику НМТ також немає! Але там є теорема синусів у вигляді a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R, звідки R = a / (2 sin A).

Радіус описаного кола через теорему синусів

Із довідкових матеріалів НМТ ти можеш узяти теорему синусів:

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

Тому R = a / (2 sin A). Це особливо зручно, коли відома сторона й протилежний їй кут.

Прямокутний трикутник: окремий випадок

Для прямокутного трикутника центр описаного кола — середина гіпотенузи, тому:

R = c / 2

де c — гіпотенуза. Це набагато швидше, ніж обчислювати R = abc / (4S).

Числовий приклад

Розгляньмо трикутник зі сторонами 13, 14, 15. Спочатку знайдемо півпериметр: p = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21. Площу обчислимо за формулою Герона:

S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) = √(21 · (21 − 13) · (21 − 14) · (21 − 15)) = √(21 · 8 · 7 · 6) = √(7056) = 84

Тепер:

• r = S / p = 84 / 21 = 4

• R = abc / (4S) = (13 · 14 · 15) / (4 · 84) = 2730 / 336 = 8,125

Розв’язування задач на вписане й описане кола має чіткий алгоритм. Дотримуйся його — і не помилишся.

План розв’язання

1. Знайди площу S трикутника. Обирай формулу залежно від того, що відомо: Герона (якщо всі три сторони), S = a · h / 2 (якщо сторона й висота), S = (ab · sin C) / 2 (якщо дві сторони й кут між ними) або S = (ab) / 2 для прямокутного трикутника.

2. Знайди півпериметр p = (a + b + c) / 2.

3. Обчисли потрібний радіус: r = S / p (вписане коло) або R = abc / (4S) (описане коло). Для прямокутного трикутника R = c / 2, а r = (a + b − c) / 2.

Приклад: рівнобедрений трикутник 5, 5, 6

Маємо рівнобедрений трикутник з основою 6 і бічними сторонами по 5. Знайдемо висоту до основи за теоремою Піфагора: висота ділить основу навпіл, утворюючи прямокутний трикутник із гіпотенузою 5 і катетом 3. Отже, h = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4. Площа: S = (6 · 4) / 2 = 12. Півпериметр: p = (5 + 5 + 6) / 2 = 8. Тоді:

• r = S / p = 12 / 8 = 1,5

• R = abc / (4S) = (5 · 5 · 6) / (4 · 12) = 150 / 48 = 3,125

Приклад: прямокутний трикутник 5, 12, 13

Прямокутний трикутник з катетами 5 і 12 і гіпотенузою 13:

• R = c / 2 = 13 / 2 = 6,5

• r = (a + b − c) / 2 = (5 + 12 − 13) / 2 = 4 / 2 = 2

Перевіримо за основною формулою: S = (5 · 12) / 2 = 30; p = (5 + 12 + 13) / 2 = 15; r = 30 / 15 = 2. Збігається.

Обернена задача

Бувають задачі, де дано радіус вписаного кола й периметр, а знайти треба площу. Тут доречно скористатися формулою S = p · r.

Приклад: r = 3, периметр дорівнює 36. Знайди площу трикутника.

Півпериметр p = 36 / 2 = 18. Тоді S = p · r = 18 · 3 = 54.

Розв’яжемо кілька типових задач на вписане й описане кола в тому форматі, який чекає на тебе на НМТ.

Приклад 1. Катети прямокутного трикутника 8 і 15. Знайдіть радіус описаного кола.

Формат: вибір однієї відповіді з п’яти (А–Д).

Розв’язання. Для прямокутного трикутника радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Знайдемо гіпотенузу за теоремою Піфагора: c = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17. Тоді R = 17 / 2 = 8,5.

Відповідь: 8,5.

Розбір дистракторів:

• 17 — типова помилка: узяли R = c, а не c / 2.

• 3 — знайшли r (радіус вписаного кола) за формулою r = (a + b − c) / 2 = (8 + 15 − 17) / 2 = 3.

• 7,5 — можливий результат неправильного ділення (15 / 2 = 7,5).

• 4 — половина меншого катета (8 / 2 = 4).

Приклад 2. Сторони трикутника 13, 14 і 15. Знайдіть радіус вписаного кола.

Формат: коротка відповідь (число).

Розв’язання. Знаходимо півпериметр: p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21. Площу обчислюємо за формулою Герона: S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84. Тоді r = S / p = 84 / 21 = 4.

Відповідь: 4.

Поширені пастки:

• 2 — отримали б, якби поділили S = 84 на периметр 42 замість півпериметра.

• 8,125 — це R (радіус описаного кола) для цього ж трикутника, а не r.

Приклад 3. Рівнобедрений трикутник зі сторонами 10, 10, 12. Установіть відповідність між величиною (1–3) та її значенням (А–Д).

Величини: 1 — радіус вписаного кола; 2 — радіус описаного кола; 3 — відстань від центра описаного кола до основи.

Варіанти значень: А 1,75; Б 3; В 4; Г 6,25; Д 8.

Розв’язання. Знаходимо висоту до основи: h = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8. Площа: S = (12 · 8) / 2 = 48. Півпериметр: p = (10 + 10 + 12) / 2 = 16.

• r = S / p = 48 / 16 = 3. Отже, 1 — Б.

• R = abc / (4S) = (10 · 10 · 12) / (4 · 48) = 1200 / 192 = 6,25. Отже, 2 — Г.

• Відстань від центра описаного кола до основи: центр O лежить на висоті. Позначмо відстань від O до основи x. Точка O віддалена від кінця основи на R, а половина основи дорівнює 6, тому за теоремою Піфагора x² + 6² = R², тобто x² = 6,25² − 36 = 39,0625 − 36 = 3,0625, x = 1,75. Те саме дає x = h − R = 8 − 6,25 = 1,75. Отже, 3 — А.

Відповідь: 1–Б, 2–Г, 3–А.

Приклад 4. У якому з трикутників центр описаного кола лежить поза трикутником?

Варіанти сторін: А) 3, 4, 5; Б) 5, 5, 6; В) 4, 5, 6; Г) 4, 5, 7; Д) 6, 6, 6.

Розв’язання. Центр описаного кола лежить поза трикутником, якщо трикутник тупокутний. Тупокутним є трикутник, у якого квадрат найбільшої сторони більший за суму квадратів двох інших сторін (наслідок теореми косинусів). Перевіряємо кожен варіант:

Відповідь: 4, 5, 7.

Дистрактор 3, 4, 5 небезпечний тим, що це прямокутний трикутник — центр описаного кола лежить на середині гіпотенузи, тобто на стороні, а не поза трикутником.

Приклад 5. Периметр трикутника 30, радіус вписаного кола 2,5. Знайдіть площу трикутника.

Формат: коротка відповідь (число).

Розв’язання. Півпериметр p = 30 / 2 = 15. Площа S = p · r = 15 · 2,5 = 37,5.

Відповідь: 37,5.

Пастка: 75 — отримали б, якби помножили повний периметр (30) на r = 2,5, забувши про півпериметр.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні на НМТ, і способи їх уникнути.

• Плутають r і R у формулах. Запам’ятай: r (вписане коло) = S / p, а R (описане коло) = abc / (4S). У формулі r у знаменнику один символ — p, у формулі R — 4S.

• У формулі r = S / p ділять на периметр, а не на півпериметр. p — це завжди півпериметр: (a + b + c) / 2. Ніколи не використовуй повний периметр у знаменнику!

• Вважають центром описаного кола точку перетину бісектрис або медіан. Центр описаного кола — точка перетину серединних перпендикулярів. Центр вписаного кола — точка перетину бісектрис. Не плутай!

• Вважають, що центр описаного кола завжди лежить усередині трикутника. Це правильно лише для гострокутних трикутників. У прямокутному він на гіпотенузі, у тупокутному — зовні.

• Для прямокутного трикутника беруть R = c, а не c / 2. Центр описаного кола прямокутного трикутника — середина гіпотенузи, тому R = c / 2, а не c.

• Гублять множник 4 у формулі R = abc / (4S). Часто пишуть R = abc / S, забуваючи про четвірку в знаменнику. Пам’ятай: R = abc / (4S).

Коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник, — це зміст теми 5.3 програми рівня стандарту. Перевіряють уміння визначати елементи цих кіл та обчислювати їхні радіуси.

Довідкові матеріали на НМТ

• Є в довідці: теорема синусів a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R; півпериметр p; формула Герона S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).

• Немає в довідці: формула r = S / p; формула R = abc / (4S). Їх треба знати напам’ять.

Формати завдань у цьому юніті

Стратегія виконання

• Спершу знайди площу трикутника (Герон, a·h/2 або ab·sin C/2) і півпериметр.

• Потім обчисли потрібний радіус: r = S / p або R = abc / (4S).

• Якщо трикутник прямокутний, R — половина гіпотенузи, без обчислення площі. Це заощаджує час.

• Якщо дано r і периметр, площу знаходь як S = p · r, не забуваючи використати півпериметр.

• Центр вписаного кола — точка перетину бісектрис. Він завжди всередині трикутника.

• Центр описаного кола — точка перетину серединних перпендикулярів. Його положення: у гострокутному — усередині, у прямокутному — на середині гіпотенузи, у тупокутному — поза трикутником.

• Формули напам’ять: r = S / p (радіус вписаного кола) і R = abc / (4S) (радіус описаного кола). У довіднику НМТ їх немає.

• Прямокутний трикутник: R = c / 2; r = (a + b − c) / 2.

• Теорема синусів з довідки дає R = a / (2 sin A).

• Обернена задача: S = p · r, де p — півпериметр.