Сума кутів многокутника й правильні многокутники

Многокутник — це геометрична фігура, обмежена замкненою ламаною без самоперетинів. Ламана складається з відрізків, які називають сторонами многокутника, а кінці цих відрізків — вершинами. Кожна сторона многокутника перетинається лише з двома іншими сторонами — у своїх кінцях.

Внутрішні кути многокутника утворені двома сусідніми сторонами. Відрізок, що сполучає дві вершини, які не є сусідніми, називають діагоналлю многокутника. Кількість діагоналей опуклого n-кутника дорівнює n·(n−3)/2.

Опуклий многокутник

Многокутник називають опуклим, якщо він лежить по один бік від кожної прямої, що містить його сторону. Іншими словами, опуклий многокутник — це многокутник, усі кути якого менші за 180°. У програмі НМТ це поняття позначено як профільний матеріал (П), але НМТ охоплює всю програму, тож його треба знати: в опуклому многокутнику будь-яка діагональ лежить усередині фігури.

Периметр многокутника

Периметром многокутника називають суму довжин усіх його сторін. Позначають периметр літерою P. Наприклад, п'ятикутник зі сторонами 3, 4, 5, 6, 7 має периметр P = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25. Для правильного n-кутника, у якого всі сторони рівні, периметр обчислюють за формулою P = n·a, де a — довжина сторони.

Сума кутів опуклого n-кутника

Сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 180°·(n−2). Чому саме так? Діагоналі, проведені з однієї вершини, ділять многокутник на n−2 трикутники. Сума кутів кожного трикутника — 180°, тому загальна сума кутів многокутника — 180°·(n−2).

Наведемо кілька прикладів: п'ятикутник — 540°, шестикутник — 720°, десятикутник — 1440°. Перевірте: для десятикутника n = 10, n−2 = 8, 180·8 = 1440°.

Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника

Зовнішній кут многокутника — це кут, суміжний з його внутрішнім кутом. Якщо взяти по одному зовнішньому куті при кожній вершині опуклого многокутника, то їхня сума завжди дорівнює 360°, незалежно від кількості сторін. Це дуже зручний факт для розв'язування задач про правильні многокутники.

Обернена задача: знаходження n за сумою кутів

Якщо відома сума внутрішніх кутів опуклого многокутника, можна знайти кількість його сторін. Нехай сума кутів дорівнює 1260°. Складаємо рівняння: 180°·(n−2) = 1260°. Звідси n−2 = 1260:180 = 7, отже n = 9. Відповідь: дев'ятикутник.

Правильним многокутником називають опуклий многокутник, у якого всі сторони рівні й усі кути рівні. Це визначення вимагає одночасної рівності сторін і кутів: ромб, що не є квадратом, має рівні сторони, але не рівні кути — тому він не є правильним многокутником. Прямокутник, що не є квадратом, має рівні кути (усі 90°), але не рівні сторони — тому він також не є правильним многокутником.

Кут правильного n-кутника

Оскільки всі кути правильного многокутника рівні, величину одного кута α можна знайти, поділивши суму всіх кутів на кількість сторін:

α = 180° · (n − 2) / n

Це ключова формула, яку ти обов'язково використовуватимеш на НМТ. Розгляньмо таблицю значень для найпоширеніших правильних многокутників:

Кількість сторін за кутом

Якщо відомий внутрішній кут α правильного многокутника, кількість сторін знаходять через зовнішній кут. Зовнішній кут дорівнює 180° − α. Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника, узятих по одному при кожній вершині, завжди дорівнює 360°. Оскільки в правильному многокутнику всі зовнішні кути рівні, кількість сторін дорівнює:

n = 360° : (180° − α)

Приклад: α = 140°. Тоді зовнішній кут = 180° − 140° = 40°. n = 360° : 40° = 9. Відповідь: дев'ятикутник.

Приклад: α = 150°. Зовнішній кут = 30°. n = 360° : 30° = 12. Відповідь: дванадцятикутник.

Перевірка існування правильного многокутника

Не кожне значення кута може бути кутом правильного многокутника. Якщо 360° не ділиться націло на зовнішній кут, то такого правильного многокутника не існує. Наприклад, α = 130°. Зовнішній кут = 180° − 130° = 50°. 360° : 50° = 7,2 — не ціле число. Отже, правильного многокутника з кутом 130° не існує.

Формула через зовнішній кут

Для правильного многокутника зручно запам'ятати: зовнішній кут β = 360° / n, а внутрішній α = 180° − 360° / n. Це випливає з того, що сума зовнішніх кутів дорівнює 360°, а всі вони рівні. Користуйся тим способом, який тобі здається простішим.

Многокутник називають вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі. Многокутник називають описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола. Для будь-якого правильного многокутника існує як описане навколо нього коло, так і вписане в нього коло. Центри цих двох кіл збігаються — це центр правильного многокутника.

Квадрат зі стороною a

Радіус описаного кола R дорівнює половині діагоналі квадрата. Діагональ квадрата дорівнює a√2, отже:

R = a√2 / 2

Радіус вписаного кола r дорівнює половині сторони квадрата:

r = a / 2

Приклад: a = 8. Тоді R = 8√2 / 2 = 4√2, r = 8 / 2 = 4.

Правильний трикутник зі стороною a

Центр описаного та вписаного кіл правильного трикутника збігається з точкою перетину медіан (яка також є точкою перетину висот, бісектрис і серединних перпендикулярів). Медіани діляться точкою перетину у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. Звідси R = 2r.

Радіус описаного кола:

R = a√3 / 3

Радіус вписаного кола:

r = a√3 / 6

Перевірка: R = 2r, оскільки a√3/3 = 2 · a√3/6 = a√3/3. Висота правильного трикутника дорівнює a√3/2, і вона складається з R + r = a√3/3 + a√3/6 = a√3/2.

Приклад: a = 6. Тоді R = 6√3 / 3 = 2√3, r = 6√3 / 6 = √3. Висота = 3√3, і справді R + r = 2√3 + √3 = 3√3.

Правильний шестикутник зі стороною a

Правильний шестикутник складається з шести рівносторонніх трикутників, вершини яких сходяться в центрі. Сторона такого трикутника дорівнює a, а його бічні сторони — це радіуси описаного кола. Тому сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаного кола:

a = R

Радіус вписаного кола правильного шестикутника дорівнює висоті одного з цих шести рівносторонніх трикутників:

r = a√3 / 2

Приклад: R = 5. Тоді a = 5, P = 6 · 5 = 30, r = 5√3 / 2.

Площу будь-якого правильного многокутника можна обчислити за універсальною формулою:

S = P · r / 2

де P — периметр многокутника, r — радіус вписаного кола. Це означає, що площа дорівнює півпериметру, помноженому на радіус вписаного кола.

Чому ця формула правильна?

Уяви правильний n-кутник. Сполучи його центр з усіма вершинами — отримаєш n рівних трикутників, кожен з основою a (стороною многокутника) і висотою r (радіусом вписаного кола). Площа одного такого трикутника дорівнює a·r/2. Площа всього многокутника — n · a · r / 2 = (n·a) · r / 2 = P · r / 2.

Перевірка на відомих фігурах

Для квадрата: P = 4a, r = a/2. Тоді S = (4a · a/2) / 2 = 4a²/4 = a² — це справді площа квадрата.

Для правильного трикутника: P = 3a, r = a√3/6. Тоді S = (3a · a√3/6) / 2 = (3a²√3/6) / 2 = a²√3/4 — це відома формула площі рівностороннього трикутника.

Площа правильного шестикутника

Правильний шестикутник можна розділити на 6 рівносторонніх трикутників. Площа одного такого трикутника — a²√3/4. Тому площа всього шестикутника:

S = 6 · a²√3/4 = 3√3a²/2

Приклад 1: a = 2. Тоді S = 3√3 · 4 / 2 = 6√3.

Приклад 2: a = 4. Тоді S = 3√3 · 16 / 2 = 24√3.

Перевіримо формулою S = P·r/2: P = 6·4 = 24, r = a√3/2 = 2√3. S = 24 · 2√3 / 2 = 24√3. Збігається.

Обернена задача

Нехай периметр правильного шестикутника дорівнює 36. Тоді a = 36/6 = 6, а отже R = a = 6, r = a√3/2 = 3√3. Площа: S = P·r/2 = 36 · 3√3 / 2 = 54√3.

Розгляньмо п'ять типових завдань з НМТ на тему многокутників. Кожне розібрано покроково.

Приклад 1. Вибір однієї відповіді: кут правильного многокутника

Умова: Внутрішній кут правильного многокутника дорівнює 144°. Скільки сторін має цей многокутник?

Розв'язання: Зовнішній кут дорівнює 180° − 144° = 36°. Кількість сторін n = 360° : 36° = 10. Відповідь: 10 сторін.

Чому інші варіанти неправильні: 8 (відповідає куту 135°), 9 (кут 140°), 12 (кут 150°), 20 (кут 162°). Кожен з них дає інший зовнішній кут.

Приклад 2. Коротка відповідь: сума кутів восьмикутника

Умова: Знайди суму кутів опуклого восьмикутника. Відповідь запиши десятковим дробом (цілим числом).

Розв'язання: n = 8. Сума = 180° · (8 − 2) = 180° · 6 = 1080°. Відповідь: 1080.

Типова пастка: 180° · 8 = 1440°. Це було б правильно, якби не віднімали 2. Запам'ятай: 180° · (n − 2), а не 180° · n.

Приклад 3. Вибір однієї відповіді: вписане коло трикутника

Умова: Радіус кола, вписаного в правильний трикутник, дорівнює 2. Знайди сторону трикутника.

Розв'язання: r = a√3/6 ⇒ a = 6r/√3 = 6·2/√3 = 12/√3 = 12√3/3 = 4√3. Відповідь: 4√3.

Чому інші варіанти неправильні: 2√3 — це половина сторони (R для цього трикутника дорівнює 2r = 4); 4 — сторона, якщо взяти r = a/2, як для квадрата; 6 — помилка множення; 12 — це 6r: забули поділити на √3.

Приклад 4. Коротка відповідь: площа шестикутника

Умова: Площа правильного шестикутника дорівнює 24√3. Знайди радіус описаного кола.

Розв'язання: S = 3√3a²/2 = 24√3 ⇒ a² = (24√3 · 2) / (3√3) = 48/3 = 16 ⇒ a = 4. Для правильного шестикутника a = R, отже R = 4. Відповідь: 4.

Типова пастка: 2√3 — це r (радіус вписаного кола) = a√3/2 = 2√3, але питали про R.

Приклад 5. Вибір однієї відповіді: описане коло квадрата

Умова: Сторона квадрата дорівнює 10. Знайди радіус описаного навколо нього кола.

Розв'язання: R = a√2/2 = 10√2/2 = 5√2. Відповідь: 5√2.

Чому інші варіанти неправильні: 5 — це радіус вписаного кола (a/2); 10√2 — це діагональ квадрата; 10 — це сторона; 5√3 — формула для трикутника.

• Помилка: рахують суму кутів як 180° · n замість 180° · (n − 2). Наприклад, для восьмикутника пишуть 1440° замість 1080°. Правильно: завжди віднімай 2 від кількості сторін.

• Помилка: шукають внутрішній кут правильного n-кутника як 360°/n. Це зовнішній кут, а не внутрішній. Внутрішній кут α = 180° · (n − 2)/n, або α = 180° − 360°/n.

• Помилка: переплутують R і r правильного трикутника. Запам'ятай: R = 2r, R = a√3/3, r = a√3/6. Для квадрата: R = a√2/2 (половина діагоналі), r = a/2 (половина сторони).

• Помилка: вважають, що сторона правильного шестикутника дорівнює r або діаметру, а не R. Насправді a = R, а r = a√3/2.

• Помилка: у формулі S = P · r / 2 беруть R замість r або забувають поділити на 2. Уважно: площа = півпериметр × радіус вписаного кола.

• Помилка: вважають правильним будь-який многокутник з рівними сторонами (ромб) чи з рівними кутами (прямокутник). Правильний многокутник має одночасно і рівні сторони, і рівні кути.

Тема «Многокутник та його елементи; периметр многокутника; правильний многокутник та його властивості; вписані в коло та описані навколо кола многокутники» належить до теми «Многокутники» програми НМТ з математики. Важливо знати: у програмі поняття опуклого многокутника та суму кутів опуклого многокутника позначено як профільний матеріал (П). НМТ охоплює всю програму, тож їх треба знати.

Програма також містить «Формули для обчислення площ … правильного многокутника». Тобто площу правильного многокутника ти можеш зустріти в завданнях на обчислення площ.

Довідкові матеріали НМТ

Суми кутів многокутника в довідкових матеріалах немає — цю формулу треба знати напам'ять. Однак у довідкових матеріалах є теорема синусів у вигляді a / sin α = 2R, і для правильного трикутника це дає R = a√3/3 (оскільки sin 60° = √3/2).

Формати завдань

Завдання 1–15 — це вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), оцінюється 0 або 1 бал. Тут може трапитись задача на кількість сторін правильного многокутника за його кутом.

Завдання 19–22 — це коротка відповідь (число), оцінюється 0 або 2 бали. Відповідь записують лише десятковим дробом (або цілим числом). Тут можливі задачі на обчислення суми кутів, радіусів кіл, площі правильного многокутника.

Стратегія виконання

Кількість сторін правильного многокутника шукай через зовнішній кут: n = 360° : (180° − α). Обов'язково перевір, що n — ціле число. Якщо n не ціле — такого правильного многокутника не існує.

Для обчислення радіусів описаного й вписаного кіл трикутника можна скористатись теоремою синусів з довідкових матеріалів (R = a / (2 sin α)), але простіше вивчити готові формули R = a√3/3 і r = a√3/6.

• Сума кутів опуклого n-кутника — 180° · (n − 2). Сума зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині, завжди 360°.

• Кут правильного n-кутника: α = 180° · (n − 2) / n. Кількість сторін за кутом: n = 360° : (180° − α).

• Квадрат: R = a√2/2, r = a/2. Правильний трикутник: R = a√3/3, r = a√3/6, R = 2r.

• Правильний шестикутник: a = R, r = a√3/2, S = 3√3a²/2.

• S = P · r / 2 — універсальна формула площі будь-якого правильного многокутника.