Степінь з цілим показником і його властивості

Степінь — це скорочений запис добутку кількох однакових множників. Запис aⁿ читають «a в енному степені». Число a називають основою степеня, а число n — показником степеня. Якщо n — натуральне число (1, 2, 3, …), то aⁿ = a · a · a · … · a (n множників). Зокрема, a¹ = a. Наприклад, 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.

Основа степеня може бути будь-яким числом — додатним, від'ємним або нулем. Знак результату залежить від знака основи й парності показника:

• додатне число в будь-якому натуральному степені — додатне: 3² = 9, 3³ = 27;

• від'ємне число в парному степені дає додатний результат: (−2)⁴ = (−2)·(−2)·(−2)·(−2) = 16;

• від'ємне число в непарному степені дає від'ємний результат: (−2)³ = (−2)·(−2)·(−2) = −8;

• 0 у будь-якому натуральному степені дорівнює 0: 0⁵ = 0;

• (−1)ⁿ = 1, якщо n парне, і (−1)ⁿ = −1, якщо n непарне.

Як не заплутатися в дужках

Записи −2⁴ і (−2)⁴ — це різні вирази. У виразі −2⁴ спочатку підносять 2 до четвертого степеня (2⁴ = 16), а потім застосовують знак «мінус»: −2⁴ = −16. У виразі (−2)⁴ в дужках стоїть число −2, і його підносять до степеня: (−2)⁴ = 16. Запам'ятай: степінь обчислюють раніше, ніж застосовують «мінус» перед ним.

Зверни увагу: для непарного показника результати −2³ і (−2)³ збігаються (−8), а для парного — відрізняються. Саме на парному показнику найчастіше роблять помилку.

Степені дробів і десяткових дробів

Дріб підносять до степеня, підносячи окремо чисельник і знаменник:

• (2/3)³ = 2³ / 3³ = 8/27

• 0,2³ = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008

• (−0,5)² = 0,25

• 0,1⁴ = 0,0001

Коли підносиш десятковий дріб, зручно лічити кількість знаків після коми: 0,1 має один знак, 0,1⁴ = 0,0001 — чотири знаки; 0,2 має один знак, 0,2³ = 0,008 — три знаки.

Нульовий показник

За означенням, будь-яке число, крім нуля, у нульовому степені дорівнює одиниці: a⁰ = 1 при a ≠ 0. Чому так? Бо aⁿ : aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰, а водночас aⁿ : aⁿ = 1. Отже, a⁰ = 1. Наприклад: 5⁰ = 1, (−3)⁰ = 1, 100⁰ = 1.

Вираз 0⁰ не має змісту — його не можна обчислювати.

Від'ємний цілий показник

Для від'ємного показника означення таке: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ при a ≠ 0. Іншими словами, степінь з від'ємним показником — це одиниця, поділена на той самий степінь з додатним показником.

• 2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8 = 0,125

• 10⁻² = 1 / 10² = 1/100 = 0,01

• (−3)⁻² = 1 / (−3)² = 1/9

• 5⁻¹ = 1/5 = 0,2

0⁻ⁿ не має змісту, бо ділити на нуль не можна.

Від'ємний показник дробу

Для дробу діє особливе правило: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. Дріб «перевертають» і підносять до додатного степеня. Це випливає з означення: (a/b)⁻ⁿ = 1 / (a/b)ⁿ = 1 / (aⁿ/bⁿ) = bⁿ / aⁿ = (b/a)ⁿ.

• (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4 = 2,25

• 0,5⁻³ = (1/2)⁻³ = 2³ = 8

• 0,2⁻¹ = (1/5)⁻¹ = 5

• (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9

Чи буває степінь з від'ємним показником від'ємним?

Ні! Від'ємний показник не робить число від'ємним. Він лише «перевертає» дріб. Наприклад, 2⁻³ = 1/8 = 0,125 > 0. Степінь з від'ємним показником може бути від'ємним лише тоді, коли основа від'ємна, а показник непарний: (−2)⁻³ = 1/(−8) = −0,125. Але це вже через знак основи, а не через показник.

Основні властивості степенів працюють для будь-яких цілих показників (додатних, нульового, від'ємних). Ти знайдеш їх у довідкових матеріалах НМТ, але краще вивчити напам'ять, щоб не витрачати час на пошук.

Усі формули справедливі за умови, що знаменники дробів не дорівнюють нулю (a ≠ 0, b ≠ 0).

Зведення до однієї основи

Коли у виразі є степені з різними основами, але ці основи є степенями одного числа, їх зводять до спільної основи. Найчастіше використовують степені двійки, трійки, п'ятірки та десятки:

• 4 = 2², 8 = 2³, 16 = 2⁴, 32 = 2⁵, 0,25 = 1/4 = 2⁻²

• 9 = 3², 27 = 3³, 81 = 3⁴

• 0,1 = 10⁻¹, 0,01 = 10⁻², 0,001 = 10⁻³

Розгляньмо кілька прикладів:

• 4³ · 2⁻⁵ = (2²)³ · 2⁻⁵ = 2⁶ · 2⁻⁵ = 2¹ = 2

• 9² · 27⁻¹ = (3²)² · (3³)⁻¹ = 3⁴ · 3⁻³ = 3¹ = 3

• 2⁻³ · 4² : 8⁰ = 2⁻³ · (2²)² : 1 = 2⁻³ · 2⁴ = 2¹ = 2

Вирази зі змінними

Властивості степенів застосовують і до буквених виразів. Головне — уважно стежити за знаками показників:

• (a⁻²)³ · a⁸ = a⁻⁶ · a⁸ = a²

• x⁻⁴ · x⁷ : x² = x³ : x² = x¹ = x

• (2x⁻¹y²)⁻² = 2⁻² · (x⁻¹)⁻² · (y²)⁻² = 1/4 · x² · y⁻⁴ = x² / (4y⁴)

Чого не можна робити

Для суми степенів окремих правил немає. Поширена помилка — додавати показники, коли степені додають:

• 2³ + 2³ ≠ 2⁶. Правильно: 2³ + 2³ = 2 · 2³ = 2⁴ = 16.

• Записати добуток одним степенем можна лише тоді, коли в множників однакові основи (показники додають) або однакові показники (основи перемножують). Не можна перемножити основи й додати показники: 2³ · 3² ≠ 6⁵ (насправді 2³ · 3² = 72).

Десятковий запис відповіді

У завданнях з короткою відповіддю (№ 19–22) результат записують десятковим дробом. Тому звикай перетворювати звичайні дроби на десяткові:

• 5⁻² · 10 = 1/25 · 10 = 10/25 = 0,4

• 0,5⁻² + 4⁻¹ · 3 = (1/2)⁻² + 1/4 · 3 = 4 + 0,75 = 4,75

Приклад 1. Обчислити 2⁻³ · 4² : 8⁰

Тренування у форматі короткої відповіді. Результат запиши десятковим дробом.

Розв'язання. Спочатку обчислимо кожен степінь окремо:

• 2⁻³ = 1/8 = 0,125

• 4² = 16

• 8⁰ = 1 (не плутай з нулем!)

Тепер підставляємо: 0,125 · 16 : 1 = 2.

Пастка: 8⁰ = 1, а не 0. Якщо взяти 8⁰ = 0, то ділити на нуль не можна, і завдання здається без відповіді. Насправді 8⁰ = 1, тому ділення на одиницю нічого не змінює.

Відповідь: 2.

Приклад 2. Обчислити (−3)² − 3² + (−1)⁵

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти (№ 4–15).

Розв'язання. Обчислюємо кожен доданок:

• (−3)² = 9 (від'ємне число в парному степені — додатне)

• 3² = 9, але перед ним стоїть мінус, тому −3² = −9

• (−1)⁵ = −1 (непарний показник)

Маємо: 9 − 9 + (−1) = −1.

Відповідь: −1.

Чому інші варіанти неправильні:

• 1 — якщо помилково взяти (−1)⁵ = 1

• 17 — якщо не помітити мінус перед 3² і взяти −3² = 9

• −19 — якщо помилково взяти (−3)² = −9

• 19 — якщо не помітити мінус перед 3² і ще й узяти (−1)⁵ = 1: 9 + 9 + 1 = 19

Приклад 3. Спростити (a⁻³)² · a⁴ : a⁻¹

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти (№ 4–15).

Розв'язання. Застосовуємо властивості степенів по черзі:

• (a⁻³)² = a⁻⁶ (степінь степеня — показники множимо)

• a⁻⁶ · a⁴ = a⁻² (множення — показники додаємо: −6 + 4 = −2)

• a⁻² : a⁻¹ = a⁻²⁻⁽⁻¹⁾ = a⁻²⁺¹ = a⁻¹ (ділення — показники віднімаємо)

Відповідь: a⁻¹.

Чому інші варіанти неправильні:

• a⁻³ — якщо ділення на a⁻¹ замінити множенням (тобто додати показники замість віднімання)

• a — якщо помилитися в знаках показників

• a⁴ — якщо в (a⁻³)² додати показники замість множення

• a³ — комбінація кількох помилок

Приклад 4. Обчислити 0,5⁻² + 4⁻¹ · 3

Тренування у форматі короткої відповіді. Результат запиши десятковим дробом.

Розв'язання. Обчислюємо кожен доданок:

• 0,5⁻² = (1/2)⁻² = 2² = 4

• 4⁻¹ = 1/4 = 0,25; 0,25 · 3 = 0,75

Маємо: 4 + 0,75 = 4,75.

Відповідь: 4,75.

• Сплутано (−2)⁴ = 16 і −2⁴ = −16. Запам'ятай: дужки змінюють усе. Якщо мінус у дужках — підносимо від'ємне число; якщо мінус перед степенем — спочатку степінь, потім мінус.

• Від'ємний показник дає від'ємне число: 2⁻³ = −8 чи −1/8 замість 1/8. Від'ємний показник не робить число від'ємним — він лише «перевертає» дріб. 2⁻³ = 1/8 = 0,125 > 0.

• a⁰ = 0 замість a⁰ = 1. Будь-яке число (крім нуля) в нульовому степені дорівнює одиниці. 5⁰ = 1, (−3)⁰ = 1, 100⁰ = 1.

• Під час множення степенів показники перемножено: 2³ · 2⁴ = 2¹² замість 2⁷. При множенні показники додають, а не множать: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.

• Перемножено основи різних степенів: 2³ · 3² = 6⁵. Не можна перемножувати основи й додавати показники, якщо основи різні. 2³ · 3² = 8 · 9 = 72, а 6⁵ = 7776.

• (a/b)⁻ⁿ обчислено без «перевертання» дробу: (2/3)⁻² = 4/9. Правильно: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4 = 2,25. Дріб треба перевернути.

• Складено показники в сумі: 2³ + 2³ = 2⁶. Для суми степенів окремих правил немає. 2³ + 2³ = 2 · 2³ = 2⁴ = 16.

Означення й властивості степеня з натуральним і цілим показником входять до теми 1.1 програми НМТ («Дійсні числа …, порівняння чисел та дії з ними») розділу «Числа і вирази», а перетворення степеневих виразів — до теми 1.3 («… вирази та їх перетворення»).

Завдання на степені трапляються в кількох форматах НМТ:

• *№ 17 — «логічні пари» (1–3 → А–Д, 0–3 бали): *у демоваріанті НМТ-2026 це значення виразів з модулем і степенями з цілим та нульовим показником. Потрібно зіставити вираз із його числовим значенням.

• *№ 4–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), 0 або 1 бал: *обчислити значення виразу зі степенями або спростити степеневий вираз.

• *Інші завдання: *обчислення зі степенями трапляються як проміжні кроки, зокрема в завданнях з короткою відповіддю (№ 19–22, 0 або 2 бали). Відповідь у них записують лише десятковим дробом. Наприклад, 2⁻³ записують як 0,125. Якщо результат від'ємний, знак «мінус» ставлять перед першою цифрою.

Стратегія: завдання на степені — одні з найпростіших у тесті. Не поспішай, уважно перевіряй знаки й не плутай дужки. Один правильно обчислений степінь може дати тобі 1–2 бали.

• Парний показник дає невід'ємний результат, непарний зберігає знак основи.

• a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0; (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ.

• При множенні показники додають, при діленні віднімають, при піднесенні степеня до степеня множать.

• Для суми степенів окремих правил немає.

• Обчислення зі степенями — один з найпростіших балів тесту, тож головне тут — безпомилковість.

• Коротку відповідь записують десятковим дробом.