Розведення, випарювання і змішування розчинів

Ключова ідея всього цього уроку вміщується в одне речення: коли ти доливаєш воду до розчину або випаровуєш воду з розчину, маса розчиненої речовини не змінюється. Змінюється лише маса розчину, а отже — і масова частка. Це і є баланс маси розчиненої речовини: скільки грамів речовини було в розчині спочатку, стільки ж лишиться й після будь-якої зміни кількості води.

Запишемо це формулою. Нехай до зміни розчин мав масу m₁ і масову частку w₁, а після зміни — m₂ і w₂. Маса розчиненої речовини в обох випадках однакова:

$$m(\text{в})=w_1\cdot m_1=w_2\cdot m_2$$

Тут w — масова частка, виражена часткою одиниці (наприклад, 20 % = 0,2). Ця рівність — твій головний інструмент: з неї можна знайти будь-яку з чотирьох величин, якщо відомі три інші.

Розведення водою

Під час розведення до розчину доливають чисту воду. Маса розчину зростає на масу долитої води:

$$m_2=m_1+m(\text{води})$$

Маса речовини лишається сталою, тому масова частка зменшується. Розгляньмо приклад: є 150 г 20 % розчину. Скільки води треба долити, щоб отримати 10 % розчин?

1. Знаходимо масу речовини: m(в) = 0,2 · 150 г = 30 г.

2. Записуємо баланс: 30 г = 0,1 · m₂, звідки m₂ = 30 : 0,1 = 300 г.

3. Води треба долити: m(води) = m₂ − m₁ = 300 − 150 = 150 г.

Зверни увагу: ми не «розбавляли» відсотки відніманням (20 % − 10 % = 10 % — так не працює). Ми спершу порахували, якою має стати маса всього розчину, щоб ті самі 30 г речовини становили 10 %.

Випарювання води

Випарювання — обернена операція: вода йде з розчину, тому маса розчину зменшується:

$$m_2=m_1-m(\text{води})$$

Маса речовини знову стала, але тепер вона припадає на меншу масу розчину, тож масова частка зростає. Приклад: з 300 г 10 % розчину випарили 100 г води. Спочатку в розчині було 0,1 · 300 = 30 г речовини. Після випарювання m₂ = 300 − 100 = 200 г. Нова масова частка:

$$w_2=\frac{30}{200}=0,15=15\%$$

Додавання розчиненої речовини

Третій спосіб змінити концентрацію — досипати в розчин саму речовину. Тут баланс трохи інший: зростає і маса речовини, і маса розчину — на одну й ту саму величину m(дод):

$$w_2=\frac{m_1\cdot w_1+m(\text{дод})}{m_1+m(\text{дод})}$$

Наприклад, до 200 г 5 % розчину додали 10 г тієї самої речовини. Маса речовини стане 0,05 · 200 + 10 = 10 + 10 = 20 г, маса розчину — 210 г, отже w₂ = 20 : 210 ≈ 0,0952 ≈ 9,5 %. Зверни увагу: у чисельнику додається повна маса доданої речовини, а не «відсотки».

Запам'ятай трійку формул: розведення — m₂ = m₁ + m(води); випарювання — m₂ = m₁ − m(води); додавання речовини — m(в)₂ = m(в)₁ + m(дод) і m₂ = m₁ + m(дод). У всіх трьох випадках працює один баланс: усе, що було в розчині, нікуди не зникає.

Коли змішують два розчини однієї речовини, додаються і маси розчиненої речовини, і маси самих розчинів. Тому масова частка в суміші — це відношення суми мас речовини до суми мас розчинів:

$$w=\frac{m_1\cdot w_1+m_2\cdot w_2}{m_1+m_2}$$

Тут m₁·w₁ — маса речовини в першому розчині, m₂·w₂ — у другому, а знаменник — загальна маса отриманого розчину. Це пряме застосування балансу маси: скільки речовини було в обох порціях разом, стільки її й у суміші.

Чому не можна просто усереднити відсотки

Найпоширеніша помилка — взяти середнє арифметичне відсотків: (10 % + 20 %) : 2 = 15 %. Це правильно лише тоді, коли маси обох розчинів однакові. Якщо ж розчини взято в різних масах, більша порція «тягне» результат до своєї концентрації. Розгляньмо приклад: змішали 200 г 10 % розчину і 300 г 20 % розчину.

1. Маса речовини в першому розчині: 0,1 · 200 = 20 г.

2. Маса речовини в другому розчині: 0,2 · 300 = 60 г.

3. Разом речовини: 20 + 60 = 80 г; разом розчину: 200 + 300 = 500 г.

4. Масова частка: w = 80 : 500 = 0,16 = 16 %.

Результат 16 % — не 15 %, бо 300 г 20 % розчину «важать» більше, ніж 200 г 10 % розчину. Це загальне правило: результат змішування завжди лежить між двома вихідними концентраціями і ближчий до концентрації того розчину, чия маса більша. Якщо маси рівні — результат рівно посередині.

Об'єми не додають — працюємо з масами

Формула масової частки оперує масами, тому й змішування треба рахувати в масах. Об'єми розчинів додавати не можна: по-перше, об'єм суміші не дорівнює сумі об'ємів компонентів (молекули води «упаковуються» між частинками розчиненої речовини), а по-друге, густини розчинів різної концентрації різні. Якщо в умові дано об'єми, спершу переведи їх у маси через густину:

$$m=V\cdot \rho$$

Наприклад, 200 мл розчину з густиною 1,1 г/мл мають масу 200 · 1,1 = 220 г. Тільки після такого перерахунку можна підставляти значення у формулу змішування.

Правило хреста (його ще називають правилом діагональної суміші або квадратом Пірсона) — це швидкий спосіб знайти співвідношення мас двох розчинів, які треба змішати, щоб отримати розчин із заданою проміжною концентрацією.

Як працює правило

Нехай є два розчини з масовими частками w₁ і w₂, причому w₁ < w₂. Потрібно отримати розчин із масовою часткою w, де w₁ < w < w₂. Тоді співвідношення мас розчинів визначають так:

$$m_1:m_2=(w_2-w):(w-w_1)$$

Інакше кажучи, на діагоналі від більшої концентрації віднімають шукану (w₂ − w), а від шуканої віднімають меншу концентрацію (w − w₁). Отримані числа показують, у якому співвідношенні треба взяти маси — число навпроти більшої концентрації відповідає масі менш концентрованого розчину, і навпаки.

Приклад застосування

Потрібно змішати 10 % і 30 % розчини, щоб отримати 25 % розчин. Записуємо:

m(10 %) : m(30 %) = (30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15 = 1 : 3

Отже, на кожну 1 частину маси 10 % розчину треба взяти 3 частини маси 30 % розчину. Наприклад, 50 г 10 % і 150 г 30 % дадуть 200 г 25 % розчину. Перевір: m(в) = 0,1·50 + 0,3·150 = 5 + 45 = 50 г; m(р) = 200 г; w = 50/200 = 0,25 = 25 %. Працює.

Вода й чиста речовина як крайні випадки

Правило хреста працює і в крайніх випадках:

• Воду вважають розчином із масовою часткою w = 0. Наприклад, скільки води треба додати до 30 % розчину, щоб отримати 10 %? w₁ = 0 (вода), w₂ = 30 %, шукана w = 10 %. m(води) : m(30 %) = (30 − 10) : (10 − 0) = 20 : 10 = 2 : 1. Отже, на кожні 2 частини води — 1 частина 30 % розчину.

• Чисту (безводну) речовину вважають «розчином» із масовою часткою w = 100 % = 1. Для кристалогідрату беруть масову частку безводної солі в ньому (наприклад, для CuSO₄·5H₂O w = 160/250 = 0,64). Наприклад, скільки грамів цукру треба додати до 200 г 5 % розчину, щоб отримати 20 %? w₁ = 5 %, w₂ = 100 %, w = 20 %. m(5 %) : m(цукру) = (100 − 20) : (20 − 5) = 80 : 15 = 16 : 3. З пропорції: m(цукру) = (3/16)·200 = 37,5 г.

Математична основа

Правило хреста — це не магія, а скорочений запис балансу маси. Рівняння для невідомої маси m₁ виглядає так:

$$\frac{m_1\cdot w_1+m_2\cdot w_2}{m_1+m_2}=w$$

Після простих алгебричних перетворень з нього отримують m₁·(w − w₁) = m₂·(w₂ − w), звідки й випливає пропорція правила хреста. Якщо ти сумніваєшся в порядку різниць — просто склади рівняння балансу й розв'яжи його. Це завжди приведе до правильної відповіді.

У цьому розділі розв'яжемо чотири задачі — саме в тих формах, у яких вони трапляються на НМТ: три з короткою відповіддю (число) й одна з вибором однієї відповіді з чотирьох. Кожну задачу розбираємо покроково, щоб ти бачив увесь алгоритм, а не лише відповідь.

Приклад 1. Скільки води долити?

Завдання: до 150 г 20 % розчину солі долили воду й отримали 10 % розчин. Скільки грамів води долили? Відповідь запиши числом.

1. Маса розчиненої речовини не змінюється: m(в) = 0,2 · 150 = 30 г.

2. У новому розчині ці 30 г становлять 10 %, тобто 30 = 0,1 · m₂, звідки m₂ = 30 : 0,1 = 300 г.

3. Маса води, яку долили: m(води) = m₂ − m₁ = 300 − 150 = 150 г.

Відповідь: 150. Типова помилка — відняти відсотки (20 − 10 = 10) або поділити 150 навпіл: обидва шляхи ігнорують баланс маси речовини й дають неправильне число.

Приклад 2. Змішування двох розчинів

Завдання: змішали 200 г 10 % розчину й 300 г 20 % розчину однієї речовини. Обчисли масову частку речовини в отриманому розчині. Відповідь запиши у відсотках числом.

1. Маса речовини в першому розчині: 0,1 · 200 = 20 г.

2. Маса речовини в другому розчині: 0,2 · 300 = 60 г.

3. Сума мас речовини: 20 + 60 = 80 г; сума мас розчинів: 200 + 300 = 500 г.

4. Масова частка: w = 80 : 500 = 0,16 = 16 %.

Відповідь: 16. Якби ти просто усереднив відсотки, отримав би 15 — але це правильно лише для рівних мас. Тут більша маса 20 % розчину «тягне» результат угору, до 16 %.

Приклад 3. Випарювання води

Завдання: з 300 г 10 % розчину солі випарили 100 г води. Обчисли масову частку солі в отриманому розчині. Відповідь запиши у відсотках числом.

1. Маса речовини до й після випарювання однакова: m(в) = 0,1 · 300 = 30 г.

2. Маса розчину після випарювання: m₂ = 300 − 100 = 200 г.

3. Нова масова частка: w₂ = 30 : 200 = 0,15 = 15 %.

Відповідь: 15. Зверни увагу: випаровування збільшує концентрацію, бо та сама маса речовини тепер припадає на меншу масу розчину. Помилка «10 % + 100 г = …» безглузда — відсотки й грами не можна додавати напряму.

Приклад 4. Правило хреста

Завдання: у якому співвідношенні за масою треба змішати 10 % і 30 % розчини однієї речовини, щоб отримати 25 % розчин?

• 1 : 3

• 3 : 1

• 1 : 1

• 2 : 3

Розв'язання. За правилом хреста: m(10 %) : m(30 %) = (30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15 = 1 : 3. Отже, на 1 частину маси 10 % розчину припадає 3 частини маси 30 % розчину.

Відповідь: 1 : 3. Розберемо, чому інші варіанти неправильні. Співвідношення 3 : 1 — це переплутані різниці: хтось узяв (25 − 10) : (30 − 25), тобто поставив різниці в зворотному порядку. Варіант 1 : 1 відповідає рівним масам, але тоді результат був би (10 + 30) : 2 = 20 %, а не 25 %. Варіант 2 : 3 не випливає з жодного коректного обчислення.

Задачі на розчини здаються простими, але саме тут легко втратити бали через кілька повторюваних помилок. Розберімо кожну, щоб ти впізнавав її в себе й одразу виправляв.

• Віднімати або усереднювати відсотки без урахування мас розчинів. «20 % розбавили водою до 10 % — отже, відняли 10 %» або «(10 % + 20 %) : 2 = 15 %» — так не можна. Відсоток — це відношення, а не кількість. Правильно: спершу порахувати масу речовини, потім поділити її на нову масу розчину.

• Вважати, що під час розведення маса речовини зменшується. Коли доливають воду, речовина нікуди не зникає — змінюється лише маса розчину. Саме тому m(в) = w₁·m₁ = w₂·m₂. Якщо в розв'язку маса речовини «зменшилась» — ти десь помилився.

• Плутати різниці в правилі хреста. У чисельнику стоїть різниця з другого боку від шуканої концентрації: m₁ : m₂ = (w₂ − w) : (w − w₁). Переплутавши порядок, отримаєш обернене співвідношення (3 : 1 замість 1 : 3). Перевіряй себе: більшої маси має бути більше того розчину, чия концентрація ближча до шуканої.

• Додавати об'єми розчинів різної густини замість мас. Масова частка визначена через маси, а об'єм суміші не дорівнює сумі об'ємів. Якщо дано об'єми — спершу переведи кожен у масу через густину (m = V·ρ), і лише потім змішуй.

• Забувати, що вода має w = 0, а безводна речовина — 100 %. У правилі хреста вода — це «розчин» із нульовою концентрацією, а чиста сіль чи цукор — «розчин» із концентрацією 100 %. Без цього не розв'язати задачі на розведення водою чи досипання речовини.

Універсальна перевірка будь-якого результату: масова частка після змішування завжди лежить між двома вихідними концентраціями. Якщо в тебе вийшло менше за меншу або більше за більшу — шукай помилку в арифметиці чи в порядку різниць.

Тема 4.2 програми НМТ з хімії вимагає вміти обчислювати масову частку розчиненої речовини, масу розчину й розчинника, а також масу розчиненої речовини. Задачі на розведення, випарювання та змішування розчинів — це пряме застосування цих умінь: у них ти переходиш від однієї масової частки до іншої, не втрачаючи масу речовини.

Такі обчислення можуть бути в задачах з короткою відповіддю (у НМТ-2026 це завдання 21–24). Неструктуровані задачі 22–24 оцінюють жорстко: 0 або 2 бали, без часткових балів за проміжні кроки. Тому навіть дрібна арифметична помилка в кінці обнуляє всю задачу — варто перевіряти результат на розумність (чи лежить він між вихідними концентраціями).

У демоваріанті 2026 року із теми 4.2 представлено завдання 22 — насичений розчин за кривою розчинності. Це сусідня тема, але вона показує, як виглядає типова «розчинна» задача: дано графік або таблицю, треба зняти з нього розчинність і перейти до масової частки. У нашій темі графіків немає — є лише маси й відсотки, але логіка балансу маси та сама.

Важлива деталь: формул у довідкових матеріалах НМТ немає. Ти маєш пам'ятати означення масової частки w = m(в)/m(р) і вміти виводити з нього все інше. У періодичній системі, яку дають на тесті, відносні атомні маси наведено з десятковими знаками; за інструкцією до завдань 21–24 їх округлюють до одиниць, коли рахуєш молярні маси в комбінованих задачах.

Стратегія розв'язування

1. Запиши, що відомо: маси розчинів і їхні масові частки до зміни.

2. Склади баланс маси розчиненої речовини: до зміни і після зміни розчину.

3. Вирази нову масу розчину через старі маси (долили — додай, випарили — відніми, змішали — додай обидві).

4. Поділи масу речовини на нову масу розчину й перевір, чи результат «розумний».

Оскільки за неструктуровану задачу дають 0 або 2 бали, навчися швидкій самоперевірці: результат змішування завжди між вихідними частками, розведення зменшує частку, випарювання — збільшує. Якщо твій результат суперечить цьому — виправляй одразу, не здавай.

Тут зібрано чотири питання, які найчастіше виникають під час вивчення теми. Розкрий кожне, щоб побачити відповідь.

• Розведення й випарювання: маса розчиненої речовини стала — m(в) = w₁·m₁ = w₂·m₂; змінюється лише маса розчину (розведення: m₂ = m₁ + m(води); випарювання: m₂ = m₁ − m(води)).

• Додавання речовини: і маса речовини, і маса розчину зростають на масу доданої порції: w₂ = (m₁·w₁ + m(дод)) : (m₁ + m(дод)).

• Змішування двох розчинів: w = (m₁·w₁ + m₂·w₂) : (m₁ + m₂) — сума мас речовини ділиться на суму мас розчинів; усереднювати відсотки без урахування мас не можна.

• Результат змішування завжди лежить між двома вихідними концентраціями й ближчий до концентрації того розчину, чия маса більша.

• Працюємо з масами, а не з об'ємами: якщо дано об'єми, спершу переходимо до мас через густину m = V·ρ.

• Правило хреста: m₁ : m₂ = (w₂ − w) : (w − w₁), де w₁ < w < w₂; вода — це «розчин» із w = 0, чиста речовина — «розчин» із w = 100 %.