Рівняння з модулем

Почнемо з означення модуля дійсного числа. Воно є в довідкових матеріалах НМТ, тому варто добре його запам’ятати.

|a| = a, якщо a ≥ 0; |a| = −a, якщо a < 0.

Інакше кажучи, модуль числа — це відстань від цього числа до нуля на числовій прямій. Звідси випливає найважливіша властивість: |a| ≥ 0 для будь-якого дійсного a. Модуль ніколи не буває від’ємним.

Рівняння вигляду |f(x)| = a

Розглянемо рівняння, де під модулем стоїть вираз f(x), а справа — число a. Тут можливі три випадки:

• a > 0: рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: f(x) = a або f(x) = −a.

• a = 0: рівняння зводиться до f(x) = 0.

• a < 0: коренів немає, оскільки модуль не може дорівнювати від’ємному числу.

Розгляньмо приклад. Маємо рівняння |2x − 1| = 5. Оскільки 5 > 0, переходимо до двох рівнянь:

2x − 1 = 5 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3

2x − 1 = −5 ⇒ 2x = −4 ⇒ x = −2

Відповідь: x = 3 або x = −2.

А тепер рівняння |2x − 1| = −3. Оскільки −3 < 0, а модуль завжди невід’ємний, жодне число не може задовольнити цю рівність. Відповідь: коренів немає.

Геометричний зміст модуля: |x − a| = b

Вираз |x − a| — це відстань між точками x і a на числовій прямій. Тому рівняння |x − a| = b (де b > 0) означає: знайди точки x, які містяться на відстані b від числа a. Таких точок дві: праворуч (x = a + b) і ліворуч (x = a − b).

Приклад: |x − 3| = 5. Відстань від x до 3 дорівнює 5. Отже, x = 3 + 5 = 8 або x = 3 − 5 = −2.

Приклад: |x + 4| = 2. Запишемо як |x − (−4)| = 2. Відстань від x до −4 дорівнює 2. Отже, x = −4 + 2 = −2 або x = −4 − 2 = −6.

У попередньому розділі справа стояло число. Але в рівняннях з модулем права частина може містити змінну. Тоді схема розв’язування ускладнюється.

Рівняння |f(x)| = g(x)

Оскільки модуль завжди невід’ємний, права частина g(x) також має бути невід’ємною. Тому алгоритм такий:

1. Розв’яжи два рівняння: f(x) = g(x) і f(x) = −g(x).

2. Для кожного знайденого кандидата x перевір умову g(x) ≥ 0.

3. Ті кандидати, для яких g(x) < 0, відкинь як сторонні.

Розгляньмо приклад: |x − 4| = 2x + 1.

Крок 1. Складаємо два рівняння:

• x − 4 = 2x + 1 ⇒ −x = 5 ⇒ x = −5

• x − 4 = −(2x + 1) ⇒ x − 4 = −2x − 1 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1

Крок 2. Перевіряємо умову g(x) ≥ 0:

• Для x = −5: g(−5) = 2·(−5) + 1 = −9 < 0 — сторонній корінь.

• Для x = 1: g(1) = 2·1 + 1 = 3 ≥ 0 — підходить.

Відповідь: x = 1.

Рівняння |f(x)| = |g(x)|

Тут обидві частини — модулі, тому перевірка на знак не потрібна. Рівняння рівносильне двом:

|f(x)| = |g(x)| ⇔ f(x) = g(x) або f(x) = −g(x).

Приклад: |x − 1| = |2x + 5|.

x − 1 = 2x + 5 ⇒ −x = 6 ⇒ x = −6

x − 1 = −(2x + 5) ⇒ x − 1 = −2x − 5 ⇒ 3x = −4 ⇒ x = −4/3

Відповідь: x = −6 або x = −4/3.

Рівняння з x² і |x|: заміна t = |x|

Корисний факт: x² = |x|². Це дає змогу розв’язувати рівняння, де одночасно є x² і |x|, заміною змінної.

Приклад: x² − 3|x| − 4 = 0.

Заміна: t = |x|, t ≥ 0. Тоді x² = t², і рівняння набуває вигляду t² − 3t − 4 = 0.

Розв’язуємо квадратне рівняння: t² − 3t − 4 = 0 ⇒ t = 4 або t = −1.

Оскільки t ≥ 0, t = −1 відкидаємо. Повертаємося до x: |x| = 4 ⇒ x = 4 або x = −4.

Відповідь: x = ±4.

Коли в рівнянні два модулі чи більше, розкривати їх одночасно за означенням стає незручно. На допомогу приходить метод проміжків (його ще називають методом інтервалів для модулів).

Алгоритм методу проміжків

1. Знайди нулі всіх підмодульних виразів — точки, де вирази під модулем дорівнюють нулю.

2. Познач ці точки на числовій прямій. Вони розбивають її на проміжки.

3. На кожному проміжку визнач знак кожного підмодульного виразу.

4. Розкрий модулі відповідно до знаків і розв’яжи отримане рівняння на цьому проміжку.

5. Перевір, чи належить знайдений корінь тому проміжку, на якому його знайдено. Якщо ні — відкинь.

Зручно складати таблицю знаків — це зменшує ризик помилки.

Приклад: |x − 1| + |x + 2| = 5

Крок 1. Нулі підмодульних виразів: x − 1 = 0 ⇒ x = 1; x + 2 = 0 ⇒ x = −2.

Крок 2. Числова пряма ділиться на три проміжки: (−∞; −2), [−2; 1), [1; +∞).

Крок 3. Складемо таблицю знаків:

Крок 4. Розв’язуємо на кожному проміжку:

• x < −2: −(x−1) − (x+2) = 5 ⇒ −x + 1 − x − 2 = 5 ⇒ −2x − 1 = 5 ⇒ −2x = 6 ⇒ x = −3. x = −3 належить проміжку (−∞; −2) — підходить.

• −2 ≤ x < 1: −(x−1) + (x+2) = 5 ⇒ −x + 1 + x + 2 = 5 ⇒ 3 = 5 — хибна рівність, коренів немає.

• x ≥ 1: (x−1) + (x+2) = 5 ⇒ 2x + 1 = 5 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2. x = 2 належить проміжку [1; +∞) — підходить.

Відповідь: x = −3 або x = 2.

Геометрична інтерпретація

Вираз |x − 1| + |x + 2| — це сума відстаней від точки x до точок 1 і −2 на числовій прямій. Якщо x лежить між −2 і 1, ця сума завжди дорівнює 3 (відстань між −2 і 1). Тому:

• Рівняння |x − 1| + |x + 2| = 3 має безліч коренів: увесь проміжок [−2; 1].

• Рівняння |x − 1| + |x + 2| = 2 не має жодного кореня, бо мінімальна сума відстаней дорівнює 3.

Приклад 1. Рівняння |3x − 2| = 7

Завдання: «Розв’яжіть рівняння |3x − 2| = 7». Варіанти відповідей: «−5/3; 3», «3», «−3; 3», «5/3; 3», «коренів немає».

Розв’язання. Оскільки 7 > 0, за означенням модуля маємо два випадки:

3x − 2 = 7 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3

3x − 2 = −7 ⇒ 3x = −5 ⇒ x = −5/3

Відповідь: «−5/3; 3».

Чому інші варіанти неправильні:

• «3» — розглянули лише випадок 3x − 2 = 7 і забули про 3x − 2 = −7.

• «−3; 3» — помилка в знаку: замість −5/3 записали −3.

• «5/3; 3» — помилка в знаку: −5/3 записали як 5/3.

• «коренів немає» — неправильно, бо 7 > 0.

Приклад 2. Рівняння |x + 3| = 2x

Завдання: «Розв’яжіть рівняння |x + 3| = 2x. Якщо коренів кілька, у відповідь запишіть їх суму».

Розв’язання. Це рівняння вигляду |f(x)| = g(x), тому після розкриття модуля перевіряємо g(x) ≥ 0.

Випадок 1: x + 3 = 2x ⇒ x = 3. Перевірка: g(3) = 2·3 = 6 ≥ 0 — підходить.

Випадок 2: x + 3 = −2x ⇒ 3x = −3 ⇒ x = −1. Перевірка: g(−1) = 2·(−1) = −2 < 0 — сторонній корінь.

Єдиний корінь: x = 3. Сума коренів: 3.

Відповідь: 3.

Типова пастка: не перевірити умову 2x ≥ 0 і записати у відповідь суму 3 + (−1) = 2.

Приклад 3. Скільки коренів має рівняння x² − 5|x| + 6 = 0?

Завдання: «Скільки коренів має рівняння x² − 5|x| + 6 = 0?». Варіанти: жодного, 1, 2, 3, 4.

Розв’язання. Заміна t = |x|, t ≥ 0. Оскільки x² = |x|² = t², маємо t² − 5t + 6 = 0.

Корені квадратного рівняння: t = 2 або t = 3. Обидва задовольняють t ≥ 0.

Повертаємося до x: |x| = 2 ⇒ x = ±2; |x| = 3 ⇒ x = ±3.

Усього 4 корені: −3, −2, 2, 3.

Відповідь: 4.

Пастка: розв’язати x² − 5x + 6 = 0 (без модуля) і отримати лише x = 2 і x = 3, втративши від’ємні корені.

Приклад 4. Добуток коренів рівняння |x − 2| + |x + 1| = 7

Завдання: «Знайдіть добуток коренів рівняння |x − 2| + |x + 1| = 7».

Розв’язання методом проміжків. Нулі підмодульних виразів: x = 2 і x = −1.

Проміжок 1: x < −1. Розкриваємо: −(x−2) − (x+1) = 7 ⇒ −x + 2 − x − 1 = 7 ⇒ −2x + 1 = 7 ⇒ −2x = 6 ⇒ x = −3. x = −3 належить (−∞; −1) — підходить.

Проміжок 2: −1 ≤ x < 2. Розкриваємо: −(x−2) + (x+1) = 7 ⇒ −x + 2 + x + 1 = 7 ⇒ 3 = 7 — хибна рівність, коренів немає.

Проміжок 3: x ≥ 2. Розкриваємо: (x−2) + (x+1) = 7 ⇒ 2x − 1 = 7 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4. x = 4 належить [2; +∞) — підходить.

Корені: −3 і 4. Добуток: (−3)·4 = −12.

Відповідь: −12.

Пастка: розкрити обидва модулі зі знаком «+» (ніби підмодульні вирази завжди додатні) і знайти лише x = 4, отримавши добуток 4.

• Розглядають лише один випадок. У рівнянні |f(x)| = a (a > 0) забувають про f(x) = −a і гублять половину коренів. Завжди записуй два рівняння.

• Шукають корені для |f(x)| = −3. Модуль не може дорівнювати від’ємному числу. Відповідь: «коренів немає». Жодні перетворення не змінять цього факту.

• Не перевіряють умову g(x) ≥ 0 у рівнянні |f(x)| = g(x). Наприклад, для |x − 4| = 2x + 1 знаходять x = −5 і не перевіряють, що 2·(−5) + 1 = −9 < 0. Сторонній корінь потрапляє у відповідь.

• Неправильно розкривають модуль зі знаком «мінус». Наприклад, −(x − 4) записують як −x − 4. Правильно: −x + 4. Змінюй знак кожного доданка всередині дужок.

• У методі проміжків не перевіряють належність кореня проміжку. Корінь, знайдений на одному проміжку, може не належати йому. Такий корінь треба відкинути.

• Розв’язують x² − 5|x| + 6 = 0 як звичайне квадратне рівняння. Втрачають від’ємні корені, бо x² = |x|², а не |x| = x. Використовуй заміну t = |x| ≥ 0.

• Плутають геометричний зміст |x − a|. |x − 3| — це відстань від x до 3, а не до −3. Запам’ятай: |x − a| = відстань до числа a.

Програма НМТ з математики (тема 2.1, рівень стандарту) вимагає вміти розв’язувати «рівняння й нерівності з модулем». Означення модуля дійсного числа та його властивості належать до теми 1.1. У довідкових матеріалах, які ти отримаєш на тестуванні, є лише означення модуля, а його властивостей там немає.

Важливо знати: у довідкових матеріалах НМТ є лише означення модуля, але немає готових схем розв’язування рівнянь з модулем. Тому всі способи — розкриття за означенням, геометричний зміст, метод проміжків — треба опанувати заздалегідь.

У демоваріанті НМТ-2026 модуль фігурує в завданні 17 на відповідність (логічні пари), де треба обчислити значення виразів з модулем і степенями (тема 1.1). Рівняння з модулем можуть з’явитися в будь-якому завданні, що перевіряє тему 2.1.

Форми завдань на НМТ:

• Вибір однієї відповіді з п’яти (завдання 1–15) — 0 або 1 бал. Треба обрати правильний варіант серед п’яти запропонованих.

• Коротка відповідь (завдання 19–22) — 0 або 2 бали. У відповідь записують число (суму, добуток чи кількість коренів) — ціле або десятковим дробом, а не звичайним дробом.

Стратегія: знайдені корені обов’язково підставляй у початкове рівняння з модулем, а не в рівняння без модуля, яке отримав після розкриття. Так ти впевнишся, що не пропустив сторонніх коренів через помилку в знаку чи умові.

• |f(x)| = a: a > 0 ⇒ f(x) = a або f(x) = −a; a = 0 ⇒ f(x) = 0; a < 0 ⇒ коренів немає.

• |x − a| = b: точки на відстані b від числа a: x = a + b або x = a − b.

• |f(x)| = g(x): розв’яжи f(x) = g(x) і f(x) = −g(x), потім для кожного кандидата перевір g(x) ≥ 0.

• |f(x)| = |g(x)|: рівносильне f(x) = g(x) або f(x) = −g(x). Перевірка на знак не потрібна.

• x² = |x|²: рівняння з x² і |x| розв’язуй заміною t = |x| ≥ 0.

• Кілька модулів: знайди нулі підмодульних виразів, розбий числову пряму на проміжки, на кожному проміжку розкрий модулі, розв’яжи рівняння й перевір, чи належить корінь своєму проміжку.