Правила диференціювання: сума, добуток, частка

~15 хв · 9 розділів · 9 тестових запитань

Похідна та інтеграл

Математика НМТ

Частина кар’єрної траєкторії НМТ 2027: 3 обов’язкові + хімія.

Увійдіть, щоб приєднатися Назад до траєкторії

Похідна суми, добутку й частки з табличними функціями, винесення сталого множника, функції виду f(kx + b) та обчислення значення похідної в точці, зокрема для кусково заданих функцій.

Похідна суми, різниці й добутку на число

У попередньому юніті ти вивчив/вивчила таблицю похідних елементарних функцій. Тепер настав час навчитися комбінувати ці правила: додавати, віднімати функції та множити їх на стале число. Саме з цього починається справжнє диференціювання складніших виразів.

Основні правила для суми, різниці та сталої

Ці правила є в довідкових матеріалах НМТ, тож їх не потрібно заучувати напам'ять — достатньо вміти застосовувати.

Правило	Формула	Приклад	Пояснення
Сума / різниця	(u ± v)′ = u′ ± v′	(x² + sin x)′ = 2x + cos x	Похідна кожного доданка окремо
Сталий множник	(C·u)′ = C·u′	(5·x³)′ = 5·3x² = 15x²	Число залишається, множимо похідну
Сталий доданок	C′ = 0	(x³ − 2x² + 5)′ = 3x² − 4x	Похідна сталої дорівнює нулю

Розбираємо на прикладах

Розгляньмо функцію $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 5$ . За правилом суми-різниці диференціюємо кожен доданок окремо:

$f^{'} (x) = (x^{3})^{'} - (2 x^{2})^{'} + (5)^{'} = 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x + 0 = 3 x^{2} - 4 x .$

Зверни увагу: сталий доданок $5$ просто зник — його похідна дорівнює нулю, а множник $2$ перед $x^{2}$ залишився і помножив похідну степеневої функції.

Значення похідної в точці — не плутай із значенням функції

Для тієї самої функції $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 5$ обчислимо $f^{'} (1)$ :

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x \Rightarrow f^{'} (1) = 3 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 = 3 - 4 = - 1.$

А тепер обчислимо значення самої функції в тій самій точці: $f (1) = 1 - 2 + 5 = 4$ . Бачиш? $f (1) = 4$ , а $f^{'} (1) = - 1$ — це різні числа. Похідна показує швидкість зміни функції, а не її значення.

Не плутай f(x₀) і f′(x₀)! Наприклад, у завданні 19 демоваріанта НМТ-2026 треба обчислити і значення функції, і значення її похідної, тож ці величини важливо розрізняти.

Попереднє спрощення виразу

Іноді функцію варто спростити до диференціювання — це зменшує ризик помилки:

$y = (x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1 \Rightarrow y^{'} = 2 x + 2$ (розкриваємо дужки, а потім диференціюємо)
$y = \frac{x ^{3} - 4 x}{x} = x^{2} - 4$ ( $x \neq = 0$ ) $\Rightarrow y^{'} = 2 x$ (ділимо чисельник почленно, спрощуємо)
$y = \frac{3}{x} + 2 x = 3 x^{- 1} + 2 x^{1/2} \Rightarrow y^{'} = - 3 x^{- 2} + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{- 1/2} = - \frac{3}{x ^{2}} + \frac{1}{x}$

Змішані табличні функції

Коли функція поєднує різні табличні похідні, працює те саме правило суми/різниці:

$f (x) = 4 x - 3 ln x$
Спочатку запишемо $x$ як $x^{1/2}$ : $f (x) = 4 x^{1/2} - 3 ln x$
$f^{'} (x) = 4 \cdot \frac{1}{2} x^{- 1/2} - 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x} - \frac{3}{x}$
Обчислимо значення в точці $x = 4$ : $f^{'} (4) = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{2} - 0, 75 = 1 - 0, 75 = 0, 25$

Ще один приклад: $f (x) = 2 sin x - 3 e^{x} \Rightarrow f^{'} (x) = 2 cos x - 3 e^{x}$ . Тут ми просто застосували табличні похідні для синуса й експоненти, помноживши кожну на свій коефіцієнт.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Похідна добутку й частки

Коли функція є добутком або часткою двох інших функцій, діяти «почленно» вже не можна. Тут потрібні окремі правила, які також є в довідкових матеріалах НМТ.

Правило добутку

Похідна добутку двох функцій обчислюється за формулою:

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} .$

Словесно: «похідна першої функції, помножена на другу, плюс перша функція, помножена на похідну другої».

Приклади застосування

$(x^{2} \cdot sin x)^{'} = (x^{2})^{'} \cdot sin x + x^{2} \cdot (sin x)^{'} = 2 x \cdot sin x + x^{2} \cdot cos x$
$(x \cdot e^{x})^{'} = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = e^{x} + x e^{x} = e^{x} (x + 1)$
$(x \cdot ln x)^{'} = 1 \cdot ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1$

Поширена помилка: (uv)′ = u′·v′

Багато хто інтуїтивно припускає, що похідна добутку — це добуток похідних. Перевірмо на простому прикладі: $y = x \cdot x^{2}$ . За правилом-пасткою $u^{'} \cdot v^{'} = 1 \cdot 2 x = 2 x$ . Але насправді $x \cdot x^{2} = x^{3}$ , і $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ . Результати різні! Правило добутку дає: $(x \cdot x^{2})^{'} = 1 \cdot x^{2} + x \cdot 2 x = x^{2} + 2 x^{2} = 3 x^{2}$ — усе збігається.

Запам'ятай: (uv)′ = u′v + uv′, а НЕ u′·v′. Це одна з найчастіших помилок.

Правило частки

Похідна частки двох функцій (за умови $v \neq = 0$ ) обчислюється за формулою:

$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} .$

Словесно: «похідна чисельника, помножена на знаменник, мінус чисельник, помножений на похідну знаменника, усе поділити на квадрат знаменника». Зверни увагу: спершу йде похідна чисельника — саме $u^{'} v$ , а не $u v^{'}$ .

Приклад із часткою

Знайдемо похідну $y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ :

$y^{'} = \frac{( 2 x + 1 ) ^{'} ( x - 3 ) - ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) ^{'}}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{2 ( x - 3 ) - ( 2 x + 1 ) \cdot 1}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{2 x - 6 - 2 x - 1}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}} .$

Зверни увагу: дужки навколо $u v^{'}$ обов'язкові, бо мінус стосується всього добутку $(2 x + 1) \cdot 1$ .

Ще один приклад

Розглянемо $y = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ :

$y^{'} = \frac{1 \cdot ( x ^{2} + 1 ) - x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 1 - 2 x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$

Коли правило частки не потрібне

Іноді дріб можна спростити почленно, і тоді застосовувати складне правило частки не доведеться:

$y = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x + 3$ при $x \neq = 3$ → $y^{'} = 1$ (скоротили дріб, отримали лінійну функцію)
$y = \frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x} = x + x^{- 1}$ → $y^{'} = 1 - \frac{1}{x ^{2}}$ (поділили почленно)
$y = \frac{5}{x} = 5 \cdot x^{- 1}$ → $y^{'} = 5 \cdot (- 1) x^{- 2} = - \frac{5}{x ^{2}}$ (це просто сталий множник)

Перед тим як застосовувати правило частки, завжди перевір, чи не спрощується дріб. Економиш час і зменшуєш ризик помилки.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Похідна функції f(kx + b)

Функції виду $f (k x + b)$ — це окремий випадок складеної функції, де внутрішньою функцією є лінійний вираз $k x + b$ . У довідкових матеріалах НМТ немає окремого правила для такого випадку, але воно легко виводиться із загального правила похідної складеної функції.

Формула й обґрунтування

Похідна функції $f (k x + b)$ обчислюється за формулою:

$(f (k x + b))^{'} = k \cdot f^{'} (k x + b) .$

Це окремий випадок похідної складеної функції $(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ , де $g (x) = k x + b$ і $g^{'} (x) = k$ . Множник $k$ з'являється тому, що похідна лінійної функції $k x + b$ дорівнює $k$ .

Це правило належить до профільного рівня програми (позначка «П»). Окремого «стандартного» НМТ немає: тест укладають за всією програмою, тож правило варто знати напам'ять.

Приклади

Функція	Похідна	Як отримано
$sin 3 x$	$3 cos 3 x$	$k = 3$ , похідна синуса — косинус
$cos (2 x - 1)$	$- 2 sin (2 x - 1)$	$k = 2$ , похідна косинуса — мінус синус
$e^{- 2 x}$	$- 2 e^{- 2 x}$	$k = - 2$ , похідна $e^{x}$ — $e^{x}$
$(2 x - 1)^{4}$	$8 (2 x - 1)^{3}$	$k = 2$ , степінь: $4 (2 x - 1)^{3} \cdot 2$
$ln 5 x$	$\frac{1}{x}$	$5 \cdot \frac{1}{5 x} = \frac{1}{x}$
$4 x + 1$	$\frac{2}{4 x + 1}$	$\frac{1}{2 4 x + 1} \cdot 4 = \frac{2}{4 x + 1}$

Перевірка розкриттям дужок

Правильність формули можна перевірити на прикладі, де функцію можна розкрити:

$((3 x + 1)^{2})^{'} = 2 (3 x + 1) \cdot 3 = 6 (3 x + 1) = 18 x + 6.$

Якщо спочатку розкрити дужки: $(3 x + 1)^{2} = 9 x^{2} + 6 x + 1$ , то $(9 x^{2} + 6 x + 1)^{'} = 18 x + 6$ . Результати збігаються — формула працює.

Типові пастки

Забувають множник $k$ : $(sin 3 x)^{'} = cos 3 x$ (неправильно), правильно: $3 cos 3 x$ .
Змінюють аргумент: $(sin 3 x)^{'} = 3 cos x$ (неправильно), правильно: $3 cos 3 x$ . Аргумент $k x + b$ не змінюють — множник $k$ лише ставлять перед похідною.
Плутають із первісною: $(sin 4 x)^{'} = - \frac{1}{4} cos 4 x$ (це первісна, а не похідна).

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Значення похідної в точці й кусково задана функція

Обчислення значення похідної в заданій точці — уміння з програми НМТ (тема 3.3); у демоваріанті НМТ-2026 воно потрібне в завданні 19. Тут важливо не лише правильно знайти похідну, а й не переплутати її зі значенням самої функції.

Алгоритм: спершу похідна, потім підстановка

Запам'ятай правильний порядок дій:

Знайди похідну $f^{'} (x)$ — продиференціюй функцію.
Спрости отриманий вираз.
Підстав задане значення $x_{0}$ замість $x$ і обчисли число.

Ніколи не підставляй x₀ до функції до диференціювання! Якщо спершу підставити число, функція перетвориться на сталу, а похідна сталої — нуль. Це одна з найпідступніших пасток.

Кусково задана функція

Особливий випадок — кусково задана функція, яка на різних проміжках задається різними формулами. Тут алгоритм доповнюється одним кроком:

Визнач, якому проміжку належить точка $x_{0}$ .
Візьми саме ту формулу, яка діє на цьому проміжку.
Продиференціюй цю формулу.
Підстав $x_{0}$ і обчисли результат.

Розгляньмо функцію:

$f (x) = {x^{2} + 3 x, 2 x + 2, x < 1, x \geq 1.$

Обчислимо $f^{'} (- 2)$ . Точка $x_{0} = - 2$ належить проміжку $x < 1$ , тому беремо першу формулу $f (x) = x^{2} + 3 x$ . Її похідна: $f^{'} (x) = 2 x + 3$ . Підставляємо $x = - 2$ : $f^{'} (- 2) = 2 \cdot (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1$ .

Обчислимо $f^{'} (4)$ . Точка $x_{0} = 4$ належить проміжку $x \geq 1$ , тому беремо другу формулу $f (x) = 2 x + 2$ . Запишемо $x = x^{1/2}$ , тоді $f (x) = 2 x^{1/2} + 2$ . Похідна: $f^{'} (x) = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{- 1/2} = \frac{1}{x}$ . Підставляємо $x = 4$ : $f^{'} (4) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = 0, 5$ .

Комбіновані завдання

На НМТ можуть попросити обчислити суму значення функції та її похідної. Для тієї самої кусково заданої функції:

$f (4) + f^{'} (- 2) = (24 + 2) + (- 1) = (2 \cdot 2 + 2) - 1 = (4 + 2) - 1 = 6 - 1 = 5.$

Зверни увагу: для $f (4)$ беремо другу формулу ( $x \geq 1$ ), а для $f^{'} (- 2)$ — першу ( $x < 1$ ). Кожен раз спершу визначаємо проміжок.

Відповідь десятковим дробом

У завданнях НМТ з короткою відповіддю результат треба записати десятковим дробом. Якщо отримав звичайний дріб, перетвори його на десятковий:

$\frac{1}{4} \to 0, 25$
$- \frac{3}{2} \to - 1, 5$
Мінус ставимо перед першою цифрою: $- 0, 5$ , а не $0, - 5$

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Розбираємо завдання

У цьому розділі розв'яжемо п'ять типових завдань, які можуть зустрітися на НМТ. Кожне розібрано покроково, із поясненням, чому саме така відповідь правильна.

Приклад 1. Похідна добутку (вибір однієї відповіді)

Завдання: Знайдіть похідну функції $f (x) = x^{2} \cdot e^{x}$ .

Розв'язання: Застосовуємо правило добутку $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , де $u = x^{2}$ , $v = e^{x}$ .

$f^{'} (x) = (x^{2})^{'} \cdot e^{x} + x^{2} \cdot (e^{x})^{'} = 2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} = e^{x} (2 x + x^{2}) .$

Відповідь: $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$ .

Чому інші варіанти неправильні:

$2 x \cdot e^{x}$ — це добуток похідних $u^{'} \cdot v^{'}$ , а не правильне правило добутку.
$x^{2} \cdot e^{x}$ — це сама функція, а не її похідна.
$2 x \cdot e^{x} - x^{2} \cdot e^{x}$ — мінус замість плюса, переплутано знак.
$2 x + e^{x}$ — похідна кожного множника окремо, без множення.

Приклад 2. Значення похідної в точці (коротка відповідь)

Завдання: $f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 7$ . Обчисліть $f^{'} (2)$ .

Розв'язання: Спершу знаходимо похідну:

$f^{'} (x) = 2 \cdot 3 x^{2} - 5 \cdot 2 x + 4 - 0 = 6 x^{2} - 10 x + 4.$

Тепер підставляємо $x = 2$ :

$f^{'} (2) = 6 \cdot 2^{2} - 10 \cdot 2 + 4 = 6 \cdot 4 - 20 + 4 = 24 - 20 + 4 = 8.$

Відповідь: 8.

Поширена пастка: обчислити $f (2) = 2 \cdot 8 - 5 \cdot 4 + 8 - 7 = 16 - 20 + 8 - 7 = - 3$ . Це значення самої функції, а не похідної.

Приклад 3. Похідна частки (вибір однієї відповіді)

Завдання: Знайдіть похідну функції $y = \frac{3 x - 1}{x + 2}$ .

Розв'язання: Застосовуємо правило частки $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , де $u = 3 x - 1$ , $v = x + 2$ .

$y^{'} = \frac{( 3 x - 1 ) ^{'} ( x + 2 ) - ( 3 x - 1 ) ( x + 2 ) ^{'}}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{3 ( x + 2 ) - ( 3 x - 1 ) \cdot 1}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{3 x + 6 - 3 x + 1}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{7}{( x + 2 ) ^{2}} .$

Відповідь: $\frac{7}{( x + 2 ) ^{2}}$ .

Чому інші варіанти неправильні:

$- \frac{7}{( x + 2 ) ^{2}}$ — переставлено доданки в чисельнику: $u v^{'} - u^{'} v$ замість $u^{'} v - u v^{'}$ .
$\frac{5}{( x + 2 ) ^{2}}$ — мінус не застосовано до $- 1$ : $3 (x + 2) - (3 x - 1) = 3 x + 6 - 3 x + 1 = 7$ , а не $5$ .
$\frac{7}{x + 2}$ — загублено квадрат знаменника.
$3$ — це $u^{'} / v^{'}$ , а не правильне правило частки.

Приклад 4. Кусково задана функція (коротка відповідь)

Завдання: Дано функцію

$f (x) = {x^{2} + 3 x, 2 x + 2, x < 1, x \geq 1.$

Обчисліть $f (4) + f^{'} (- 2)$ .

Розв'язання: Спочатку визначаємо, якому проміжку належить кожна точка.

Для $f (4)$ : $4 \geq 1$ , тому беремо другу формулу $f (x) = 2 x + 2$ . $f (4) = 24 + 2 = 2 \cdot 2 + 2 = 6$ .

Для $f^{'} (- 2)$ : $- 2 < 1$ , тому беремо першу формулу $f (x) = x^{2} + 3 x$ . Її похідна: $f^{'} (x) = 2 x + 3$ . $f^{'} (- 2) = 2 \cdot (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1$ .

Отже, $f (4) + f^{'} (- 2) = 6 + (- 1) = 5$ .

Відповідь: 5.

Пастка: узяти формулу не того проміжку — наприклад, для $f^{'} (- 2)$ застосувати другу формулу, що дало б неправильний результат.

Приклад 5. Похідна функції f(kx + b) (вибір однієї відповіді)

Завдання: Знайдіть похідну функції $y = sin 4 x$ .

Розв'язання: За правилом $(f (k x + b))^{'} = k \cdot f^{'} (k x + b)$ , де $k = 4$ , $f (x) = sin x$ , $f^{'} (x) = cos x$ :

$(sin 4 x)^{'} = 4 \cdot cos 4 x .$

Відповідь: $4 cos 4 x$ .

Чому інші варіанти неправильні:

$cos 4 x$ — загублено множник $k = 4$ .
$4 cos x$ — множник $4$ прибрали з аргументу: аргумент косинуса має залишитися $4 x$ , а $k$ лише з'являється перед функцією: $(sin 4 x)^{'} = 4 cos 4 x$ .
$- 4 cos 4 x$ — знак мінус з'явився б для $cos 4 x$ , а не для $sin 4 x$ .
$- \frac{1}{4} cos 4 x$ — це первісна, а не похідна.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Типові помилки й пастки

Нижче перелічено найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час обчислення похідних на НМТ. Ознайомся з ними, щоб не потрапити в пастку.

(uv)′ = u′·v′ — похідна добутку як добуток похідних. Правильно: (uv)′ = u′v + uv′.
У правилі частки переставляють доданки — пишуть (uv′ − u′v)/v² замість (u′v − uv′)/v², або забувають квадрат знаменника.
Сталий доданок «зберігається» — помилково вважають, що (x² + 5)′ = 2x + 5. Насправді похідна сталої дорівнює нулю: (x² + 5)′ = 2x.
Губиться сталий множник — наприклад, (5x³)′ = 3x² замість 15x².
У f(kx + b) забувають множник k — пишуть (e^(3x))′ = e^(3x) замість 3e^(3x), або (cos 2x)′ = −sin 2x замість −2sin 2x.
Обчислюють f(x₀) замість f′(x₀) — або підставляють x₀ до диференціювання, що дає нуль.
У кусково заданій функції беруть формулу не того проміжку — спершу перевір, якому проміжку належить точка.
Застосовують правило частки до дробу, який простіше поділити почленно — і помиляються в алгебрі. Спершу спрости дріб.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Як це перевіряють на НМТ

Тема «Правила диференціювання» належить до розділу 3.3 програми НМТ з математики. На рівні стандарту вимагається «знаходити похідну суми, добутку й частки двох функцій» і значення похідної в точці. Похідна складеної функції (зокрема $f (k x + b)$ ) позначена як профільний рівень (П).

Формат завдань на НМТ

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 19 — це обчислення значення кусково заданої функції та її похідної. Воно має формат короткої відповіді: результат записують лише десятковим дробом. За нього можна отримати 0 або 2 бали без часткових балів.

Позиція 19 у тесті змінна. У вибірці з чотирьох тестів 2023–2024 років на цій позиції були прогресія (три тести) й інтеграл (один тест). У демо 2026 — похідна. Тому похідну в точці варто тренувати саме у формі короткої відповіді.

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах, які видають на НМТ, є такі правила:

$(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$
$(C \cdot u)^{'} = C \cdot u^{'}$
$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Правила для $f (k x + b)$ у довідці немає — його потрібно знати окремо або виводити із загального правила похідної складеної функції.

Стратегія виконання

Запиши $f^{'} (x)$ у чернетці, спрости вираз.
Підстав $x_{0}$ окремим рядком — так менше ризику помилитися.
Розв'язання в чернетці не перевіряють, тому обов'язково перевір число, яке вписуєш у поле відповіді й зберігаєш.
Якщо відповідь — звичайний дріб, перетвори його на десятковий.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Питання й відповіді

Чому похідна добутку не дорівнює добутку похідних?

Тому що диференціювання — це лінійна операція лише відносно додавання, а не множення. Інтуїція «що роблять з функцією, те й з її похідною» підводить. Перевір на простому прикладі: $y = x \cdot x^{2} = x^{3}$ . Добуток похідних дав би $1 \cdot 2 x = 2 x$ , а справжня похідна $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ . Правило $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ виводиться з означення похідної через границю — воно враховує, що зміна добутку залежить від зміни обох множників.

Як запам'ятати порядок доданків у чисельнику правила частки?

У формулі $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ спершу йде похідна чисельника $u^{'} v$ . Мнемонічне правило: «похідна того, що зверху, множиться на те, що знизу, мінус те, що зверху, на похідну того, що знизу». Або просто запам'ятай: спершу диференціюємо чисельник (він «головніший»), потім знаменник.

Чи обов'язково застосовувати правило частки до кожного дробу?

Ні. Якщо дріб можна спростити почленно, зроби це. Наприклад, $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x + 3$ (при $x \neq = 3$ ), і похідна дорівнює $1$ . Якщо ж застосувати правило частки, отримаєш те саме, але з більшим ризиком алгебраїчної помилки. Однак для дробів, які не спрощуються (наприклад, $\frac{2 x + 1}{x - 3}$ ), правило частки необхідне.

Що робити з функцією sin 3x, якої немає в таблиці?

У таблиці похідних є $(sin x)^{'} = cos x$ , але немає $sin 3 x$ . Застосовуй правило для $f (k x + b)$ : $(sin 3 x)^{'} = 3 \cdot cos 3 x$ . Множник $k = 3$ з'являється тому, що похідна внутрішньої функції $3 x$ дорівнює $3$ . Це окремий випадок похідної складеної функції.

Як знайти похідну кусково заданої функції в точці?

Спершу визнач, якому проміжку належить задана точка $x_{0}$ . Потім візьми саме ту формулу, яка діє на цьому проміжку, продиференціюй її й підстав $x_{0}$ . Якщо в завданні є кілька точок (наприклад, $f (4) + f^{'} (- 2)$ ), для кожної точки окремо визначай проміжок. Ніколи не бери формулу з іншого проміжку — це одна з найпоширеніших пасток.

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Коротко: головне

$(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$ , $(C u)^{'} = C u^{'}$ , сталий доданок дає 0
$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , а не $u^{'} v^{'}$
$(u / v)^{'} = (u^{'} v - u v^{'}) / v^{2}$ : спершу похідна чисельника
$(f (k x + b))^{'} = k \cdot f^{'} (k x + b)$ — множник $k$ не губимо
$f^{'} (x_{0})$ : спершу похідна, потім підстановка
Кусково задана функція: формула за проміжком, якому належить $x_{0}$

Створіть безкоштовний акаунт, щоб зробити це. Читання лишається відкритим для всіх.

Самоперевірка

Перевірте себе на цьому юніті

Спробуйте ці 5 запитань — оберіть відповідь, щоб побачити, чи ви праві й чому. Приєднайтеся, щоб пройти повний тест юніту, який іде в глибину по цьому юніту.

1. Знайдіть похідну функції $y = \sin 4x$.

2. Знайдіть похідну функції $f(x) = x^2 \cdot \ln x$.

3. Знайдіть похідну функції $y = \dfrac{2x - 5}{x + 1}$.

4. Знайдіть похідну функції $f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 2x - 1$.

5. Знайдіть похідну функції $f(x) = 4\sqrt{x} + \dfrac{3}{x}$.

Це лише дрібка самоперевірки — повний тест юніту йде в глибину й використовує всі 9 запитань цього юніта і точно визначає, що вивчати.

Приєднатися, щоб пройти тест