Перерізи многогранників

У стереометрії перерізом многогранника називають многокутник, який утворюється в результаті перетину многогранника з площиною. Ця площина називається січною. Переріз — це не просто довільна лінія на поверхні: кожна його сторона лежить на одній з граней многогранника, а вершини — на ребрах.

Основні правила побудови перерізу

Правило 1. З'єднуй точки лише в одній грані. Дві точки перерізу, що лежать в одній грані многогранника, можна з'єднати відрізком — це буде сторона перерізу. Точки, що лежать у різних гранях, з'єднувати не можна, тому що такий відрізок пройшов би крізь тіло, а не по його поверхні.

Правило 2. Паралельні грані — паралельні відрізки. Якщо січна площина перетинає дві паралельні грані многогранника, то лінії перетину (відрізки перерізу) в цих гранях обов'язково паралельні. Це випливає з властивості паралельних площин: дві паралельні площини перетинаються третьою по паралельних прямих.

Правило 3 (метод слідів). Якщо на деякій грані немає жодної точки перерізу, але є відрізок на сусідній грані, продовжують цей відрізок до перетину з прямою, що містить спільне ребро цих граней. Отримана точка належить і січній площині, і площині наступної грані — це «слід» січної площини на прямій, що містить ребро. Через цю точку можна провести наступну сторону перерізу.

Скільки сторін може мати переріз?

Кількість сторін перерізу не може перевищувати кількості граней многогранника. Кожна сторона лежить у своїй грані, а одна грань може містити не більше ніж одну сторону перерізу. Тому:

• у куба 6 граней — переріз може мати від 3 до 6 сторін (трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник);

• у трикутної піраміди (тетраедра) 4 грані — переріз може мати 3 або 4 сторони (трикутник або чотирикутник);

• у чотирикутної піраміди 5 граней — переріз може мати від 3 до 5 сторін.

Візуалізація методу слідів

Цей метод універсальний і працює для будь-якого многогранника. Головне — пам'ятати, що всі побудови виконуються в площинах граней, а січна площина задає лінії перетину з кожною гранню.

Куб і прямокутний паралелепіпед — найпростіші многогранники для побудови перерізів, оскільки всі їхні грані — прямокутники (у куба — квадрати), а протилежні грані паралельні. Розглянемо основні види перерізів.

Діагональний переріз куба

Діагональним перерізом куба називають переріз площиною, що проходить через два протилежні ребра. Наприклад, площина AA₁C₁C проходить через ребра AA₁ (бічне) і CC₁ (протилежне бічне). Оскільки AA₁ = a (ребро куба), а AC — діагональ квадрата ABCD, що дорівнює a√2, то переріз AA₁C₁C — прямокутник зі сторонами a і a√2. Його площа:

$$S_{A{A}_1{C}_{1}C}=a\cdot a\sqrt{2}=a^2\sqrt{2}$$

Діагональний переріз прямокутного паралелепіпеда

Нехай прямокутний паралелепіпед має виміри a, b, c. Його діагональний переріз проходить через два протилежні бічні ребра. Наприклад, якщо в основі лежить прямокутник зі сторонами a і b, то діагональ основи дорівнює √(a² + b²). Переріз — прямокутник зі сторонами √(a² + b²) і c, а його площа:

$$S=c\cdot \sqrt{a^2+b^2}$$

Переріз куба площиною через протилежні ребра основи

Розглянемо куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Площина, що проходить через ребро AB нижньої основи й ребро C₁D₁ верхньої основи, дає переріз ABC₁D₁. Це прямокутник: одна сторона — ребро AB = a, друга — відрізок BC₁, який є діагоналлю квадрата BCC₁B₁, тобто a√2. Площа такого перерізу також a²√2.

Переріз куба площиною через три вершини

Нехай січна площина проходить через вершини A, C і D₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. З'єднаємо ці точки:

• A і C лежать в одній грані ABCD — відрізок AC = a√2 (діагональ квадрата);

• C і D₁ лежать в одній грані CDD₁C₁ — відрізок CD₁ = a√2 (діагональ квадрата);

• A і D₁ лежать в одній грані ADD₁A₁ — відрізок AD₁ = a√2 (діагональ квадрата).

Усі три сторони рівні, тому переріз — рівносторонній трикутник зі стороною a√2. Його площа:

$$S=\frac{(a\sqrt{2}{)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{2a^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Інші важливі перерізи куба

Площина, що проходить через середини трьох ребер, які виходять з однієї вершини, дає рівносторонній трикутник зі стороною a√2/2. Його площа — a²√3/8.

Площина, що проходить через середини шести ребер і перпендикулярна до діагоналі куба, утворює правильний шестикутник зі стороною a√2/2 — найбільший за кількістю сторін переріз куба.

Площина, що проходить через деяку точку ребра паралельно одній із граней куба, дає прямокутник, рівний цій грані (тобто квадрат зі стороною a).

Зауваж: діагональний переріз куба — це прямокутник, а не квадрат! Його сторони a і a√2 не рівні.

Перерізи піраміди бувають двох основних типів: паралельні основі (горизонтальні) та через вершину (похилі). Їхні властивості суттєво відрізняються.

Переріз піраміди площиною, паралельною основі

Якщо січна площина паралельна основі піраміди, то переріз — многокутник, подібний до основи. Нехай SO — висота піраміди, а SO₁ — відстань від вершини S до площини перерізу. Тоді коефіцієнт подібності:

$$k=\frac{S{O}_1}{SO}$$

Площа перерізу дорівнює площі основи, помноженій на квадрат коефіцієнта подібності:

$$S_{\text{пер}}=k^2\cdot S_{\text{осн}}$$

Це випливає з властивості подібних фігур: площі подібних многокутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності.

Приклади

Приклад А. Площа основи піраміди дорівнює 36. Площина, паралельна основі, проходить через середину висоти. Оскільки SO₁ = SO/2, маємо k = ½. Тоді Sпер = (½)² · 36 = ¼ · 36 = 9.

Приклад Б. Площина, паралельна основі, ділить висоту піраміди у відношенні 1 : 2, рахуючи від вершини. Це означає, що SO₁ : SO = 1 : (1+2) = 1 : 3, тобто k = ⅓. Якщо площа основи 72, то Sпер = (⅓)² · 72 = 1/9 · 72 = 8.

Важливо! Коефіцієнт k завжди рахують від вершини піраміди, а не від основи. Якщо в умові сказано «ділить висоту у відношенні m : n, рахуючи від основи», то спочатку переформулюй: від вершини до площини частина висоти — n, загальна висота — m + n, тому k = n/(m+n).

Переріз правильної чотирикутної піраміди через вершину й діагональ основи

Розглянемо правильну чотирикутну піраміду SABCD (ABCD — квадрат зі стороною a, S — вершина, SO — висота h). Площина SAC проходить через вершину S і діагональ основи AC. Цей переріз — рівнобедрений трикутник, у якого:

• основа — діагональ квадрата AC = a√2;

• висота — висота піраміди h (оскільки трикутник SAC рівнобедрений, SO — медіана й висота).

Площа такого перерізу:

$$S_{△SAC}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot h$$

Перерізи трикутної піраміди (тетраедра)

Площина, що проходить через середини трьох бічних ребер трикутної піраміди, дає трикутник, подібний до основи з коефіцієнтом k = ½. Його сторони — середні лінії бічних граней. Площа такого перерізу становить чверть площі основи:

$$S_{\text{пер}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot S_{\text{осн}}=\frac{1}{4}{S}_{\text{осн}}$$

Переріз тетраедра площиною, що проходить через середини чотирьох ребер паралельно двом мимобіжним ребрам, — паралелограм. У правильного тетраедра з ребром a такий переріз є квадратом зі стороною a/2.

У цьому розділі розв'яжемо п'ять типових задач на перерізи многогранників. Кожна задача відповідає одному з форматів НМТ.

Приклад 1. Вибір однієї відповіді — який многокутник не може бути перерізом куба?

Умова. Яким із перелічених многокутників не може бути переріз куба площиною?

• А) трикутник

• Б) трапеція

• В) п'ятикутник

• Г) шестикутник

• Д) семикутник

Розв'язання. Переріз куба — це многокутник, кожна сторона якого лежить на одній з граней куба. У куба всього 6 граней, тому кількість сторін перерізу не може перевищувати 6. Отже, переріз може мати від 3 до 6 сторін.

Перевіримо варіанти: трикутник (3 сторони) — можливий; трапеція (4 сторони) — можлива; п'ятикутник (5 сторін) — можливий; шестикутник (6 сторін) — можливий; семикутник (7 сторін) — неможливий, оскільки для нього потрібно 7 граней.

Відповідь: Д) семикутник.

Чому інші варіанти неправильні? Трикутник (варіант А) можна отримати, наприклад, площиною через три вершини, що належать трьом граням, які сходяться в одній вершині. Трапеція (Б) виникає, коли січна площина перетинає дві паралельні грані по паралельних відрізках різної довжини. П'ятикутник (В) і шестикутник (Г) також досяжні — шестикутник з'являється при перерізі площиною, перпендикулярною до діагоналі куба, через середини шести ребер.

Приклад 2. Коротка відповідь — площа діагонального перерізу паралелепіпеда

Умова. Виміри основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 6 і 8, а його висота — 5. Знайдіть площу діагонального перерізу, що проходить через протилежні бічні ребра.

Розв'язання. Діагональний переріз — прямокутник, одна сторона якого — висота паралелепіпеда (c = 5), а друга — діагональ основи. Діагональ основи знаходимо за теоремою Піфагора: d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Площа перерізу: S = c · d = 5 · 10 = 50.

Відповідь: 50.

Типові помилки: якщо взяти за другу сторону одну зі сторін основи (6 або 8), отримаємо 5·6 = 30 або 5·8 = 40 — це неправильно, оскільки діагональний переріз проходить через діагональ, а не через сторону основи. Площа основи (6·8 = 48) теж не є відповіддю — переріз не збігається з основою.

Приклад 3. Вибір однієї відповіді — переріз куба через три вершини

Умова. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ дорівнює 2. Знайдіть площу перерізу куба площиною, що проходить через вершини A, C і D₁.

Розв'язання. Як ми вже з'ясували, переріз через три вершини A, C, D₁ — рівносторонній трикутник. Сторона трикутника — діагональ грані куба: AC = CD₁ = AD₁ = a√2 = 2√2.

Площа рівностороннього трикутника обчислюється за формулою S = (a²√3)/4, де a — сторона. Підставляємо a = 2√2:

$$S=\frac{(2\sqrt{2}{)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{4\cdot 2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{8\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}$$

Відповідь: 2√3.

Розбір дистракторів: 4√2 — це площа діагонального перерізу AA₁C₁C, а не трикутника; 2 — площа прямокутного трикутника з катетами 2 і 2 (½·2·2), але переріз не прямокутний; √3 — отримали б, якби взяли сторону 2 замість 2√2; 4√3 — результат плутанини формул: (a²√3)/2 замість (a²√3)/4.

Приклад 4. Коротка відповідь — переріз піраміди, паралельний основі

Умова. Площа основи піраміди дорівнює 72. Площина, паралельна основі, ділить висоту піраміди у відношенні 1 : 2, рахуючи від вершини. Знайдіть площу перерізу.

Розв'язання. Відношення 1 : 2 від вершини означає, що вся висота поділена на 1 + 2 = 3 рівні частини. Відстань від вершини до площини перерізу становить 1 частину, а вся висота — 3 частини. Отже, коефіцієнт подібності:

$$k=\frac{S{O}_1}{SO}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$$

Площа перерізу: Sпер = k² · Sосн = (⅓)² · 72 = 1/9 · 72 = 8.

Відповідь: 8.

Поширені пастки: 24 — результат множення на k (⅓·72 = 24), а не на k²; 32 — взяли k = ⅔, відрахувавши від основи: (⅔)² · 72 = 32. Запам'ятай: площа зменшується пропорційно квадратові відстані від вершини!

Приклад 5. Вибір однієї відповіді — переріз піраміди через вершину й діагональ основи

Умова. У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює 6, а висота — 5. Знайдіть площу перерізу площиною, що проходить через вершину піраміди й діагональ основи.

Розв'язання. Переріз — рівнобедрений трикутник SAC, де AC — діагональ квадрата в основі. Діагональ квадрата зі стороною 6: AC = 6√2.

Висота трикутника SAC збігається з висотою піраміди, яка дорівнює 5. Отже:

$$S_{△SAC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 5=15\sqrt{2}$$

Відповідь: 15√2.

Аналіз дистракторів: 30√2 — забули поділити на 2 (площа трикутника — половина добутку основи на висоту); 15 — взяли за основу трикутника сторону квадрата (6) замість діагоналі (6√2); 6√17 — взяли за висоту трикутника апофему (√(5² + 3²) = √34), а не висоту піраміди; 36 — площа основи (6²), що не стосується трикутного перерізу.

Розглянемо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на перерізи многогранників. Уникаючи їх, ти значно підвищиш свої шанси на правильну відповідь на НМТ.

• З'єднання точок із різних граней. Найчастіша помилка: проводять відрізок між двома точками, що лежать у різних гранях, не перевіряючи, чи належать вони одній грані. Такий «переріз» проходить крізь тіло многогранника, а не по його поверхні. Правило: з'єднуй відрізком лише ті точки, що лежать в одній грані.

• Непаралельні відрізки в паралельних гранях. Якщо січна площина перетинає дві паралельні грані, то відрізки перетину обов'язково паралельні. Учні часто забувають про цю властивість і проводять довільні лінії, що порушує геометрію перерізу.

• Множення площі основи на k, а не на k². Площа перерізу піраміди, паралельного основі, зменшується пропорційно квадратові коефіцієнта подібності. Якщо k = ½, то площа перерізу становить ¼ площі основи, а не ½. Помилка множення на k замість k² — одна з найпоширеніших.

• Коефіцієнт подібності рахують від основи, а не від вершини. Коефіцієнт k — це відношення відстані від вершини до площини перерізу до всієї висоти піраміди. Якщо в умові сказано «ділить висоту у відношенні 2 : 1, рахуючи від основи», то k = ⅓ (відстань від вершини — 1 частина, вся висота — 3 частини), а не ⅔.

• Діагональний переріз куба вважають квадратом. Поширена омана: оскільки куб складається з квадратів, то й будь-який його переріз — теж квадрат. Насправді діагональний переріз AA₁C₁C — прямокутник зі сторонами a і a√2. Він стає квадратом лише в уяві, але не в реальності.

• Вважають, що переріз куба може бути семикутником, а переріз тетраедра — п'ятикутником. Максимальна кількість сторін перерізу дорівнює кількості граней многогранника. У куба 6 граней — максимум 6 сторін (шестикутник). У тетраедра 4 грані — максимум 4 сторони (чотирикутник). Семикутник у кубі чи п'ятикутник у тетраедрі неможливі.

Тема «Перерізи многогранників» входить до теми «Многогранники, тіла обертання» розділу «Стереометрія» програми НМТ з математики. Перерізи — одна з найскладніших тем стереометрії. Задачі, що потребують перерізу, можуть з'явитися на позиції № 21 — це коротка відповідь зі стереометрії (передостаннє завдання тесту).

Формат завдання № 21. Коротка відповідь (число). За правильну відповідь нараховують 2 бали, за неправильну — 0 балів. Часткових балів не передбачено. Це завдання підвищеної складності, яке потребує не лише знань, а й уміння застосувати їх у нестандартній ситуації.

Демоваріант 2026. У демонстраційному варіанті НМТ-2026 завдання 21 розв'язували через діагональний переріз прямої призми, в основі якої лежить ромб. Це показує, що перерізи можуть комбінуватися з іншими темами: паралельністю прямих, теоремою Піфагора, властивостями ромба.

Довідкові матеріали. У довідці НМТ немає окремих формул для площ перерізів многогранників. Площу перерізу обчислюють планіметрично — за формулами, які є у довідці: площа трикутника (S = ½ · a · h), площа прямокутника (S = a · b), площа трапеції (S = (a + b)/2 · h). Тому важливо вміти визначити, якою плоскою фігурою є переріз, і застосувати відповідну формулу.

Стратегія розв'язання. Найнадійніший спосіб — перенести переріз на окремий плоский рисунок у натуральну величину. Познач на ньому всі відомі довжини сторін. Якщо якісь сторони невідомі, знайди їх через теорему Піфагора, властивості многокутника або коефіцієнт подібності. Після того як усі сторони визначено, обчисли площу плоскої фігури за довідковою формулою.

• Відрізком з'єднуємо лише ті точки перерізу, що лежать в одній грані многогранника.

• Паралельні грані січна площина перетинає по паралельних відрізках.

• Переріз куба — від трикутника до шестикутника (3–6 сторін); переріз тетраедра — трикутник або чотирикутник (3–4 сторони).

• Діагональний переріз куба — прямокутник a × a√2, його площа — a²√2.

• Переріз піраміди, паралельний основі: Sпер = k² · Sосн, де k — відношення відстані від вершини до площини перерізу до всієї висоти.

• Коефіцієнт подібності k завжди рахуємо від вершини піраміди, а не від основи.

• Переріз правильної чотирикутної піраміди через вершину й діагональ основи — рівнобедрений трикутник; його площа S = ½ · a√2 · h.

• Площу перерізу завжди обчислюй на окремому плоскому рисунку — перенеси його в натуральну величину й підпиши довжини сторін.

• У довідці НМТ немає формул для площ перерізів — використовуй планіметричні формули (трикутник, прямокутник, трапеція).