Парні й непарні функції

Поняття парності й непарності — одна з найважливіших властивостей функції, яка значно спрощує дослідження її графіка й обчислення. Розгляньмо строгі означення.

Означення парної функції

Функцію f називають парною, якщо:

• її область визначення D симетрична відносно нуля (тобто для кожного x з D число −x теж належить D);

• для кожного x з D виконується рівність f(−x) = f(x)

Приклади парних функцій: y = x², y = x⁴ − 3x², y = |x|, y = cos x, y = 5 (стала функція).

Означення непарної функції

Функцію f називають непарною, якщо:

• її область визначення симетрична відносно нуля;

• для кожного x з D виконується рівність f(−x) = −f(x)

Приклади непарних функцій: y = x, y = x³, y = 1/x, y = sin x, y = tg x.

Функції, що не є ні парними, ні непарними

Більшість функцій не мають жодної з цих властивостей. Це не «третій вид» — це просто відсутність обох симетрій. Приклади: y = x + 1, y = 2ˣ, y = (x − 1)², y = √x. Окремий випадок: функція y = 0 (нульова) є водночас і парною, і непарною на будь-якій симетричній множині, оскільки f(−x) = 0 = f(x) = −f(x).

Степінь від'ємного аргументу

Під час обчислення f(−x) важливо правильно підносити до степеня:

• якщо n парне: (−x)ⁿ = xⁿ

• якщо n непарне: (−x)ⁿ = −xⁿ

Запам'ятай: −x² і (−x)² — це різні вирази. (−x)² = x², тоді як −x² дорівнює −(x²). Ця різниця часто призводить до помилок.

Щоб визначити, чи є функція парною, непарною або ні тим, ні іншим, дій за трьома кроками.

Крок 1 — перевір область визначення

Область визначення D має бути симетричною відносно нуля: якщо x ∈ D, то й −x ∈ D. Якщо це не так, функція не може бути ні парною, ні непарною — подальші обчислення не потрібні.

• y = √x: D = [0; +∞) — несиметрична, бо −1 ∉ D. Висновок: ні парна, ні непарна.

• y = 1/(x − 2): D = (−∞; 2) ∪ (2; +∞) — несиметрична, бо точка −2 належить, а 2 — ні. Висновок: ні парна, ні непарна.

• y = x² на відрізку [−1; 3]: D = [−1; 3] — несиметрична, бо 3 ∈ D, а −3 ∉ D. Висновок: ні парна, ні непарна, хоча формула x² на всій числовій прямій дає парну функцію.

Крок 2 — обчисли f(−x) і спрости

Підстав у формулу −x замість x і спрости вираз.

Приклад 1: f(x) = x³ − 4x

f(−x) = (−x)³ − 4(−x) = −x³ + 4x = −(x³ − 4x) = −f(x) — отже, функція непарна.

Приклад 2: f(x) = x² − 4|x|

f(−x) = (−x)² − 4|−x| = x² − 4|x| = f(x) — отже, функція парна.

Крок 3 — порівняй f(−x) з f(x) і −f(x)

Якщо f(−x) = f(x) — функція парна. Якщо f(−x) = −f(x) — непарна. Якщо ж f(−x) не збігається ні з тим, ні з іншим, достатньо одного контрприкладу:

f(x) = x² + x. Обчислимо: f(1) = 1² + 1 = 2, f(−1) = (−1)² + (−1) = 0. Оскільки f(−1) ≠ f(1) (0 ≠ 2) і f(−1) ≠ −f(1) (0 ≠ −2), функція ні парна, ні непарна.

Властивості сум і добутків

Дроби й модулі

Для дробів перевір, чи змінює знак чисельник, а чи знаменник:

• f(x) = x/(x² + 1): f(−x) = −x/(x² + 1) = −f(x) — непарна, бо знак змінює лише чисельник.

• f(x) = |x| + cos x: f(−x) = |−x| + cos(−x) = |x| + cos x = f(x) — парна, бо модуль і косинус — парні функції.

Парність і непарність функції мають чіткий геометричний зміст. Завдяки симетрії графіка можна швидко знаходити значення функції й добудовувати її графік.

Симетрія графіка парної функції

Графік парної функції симетричний відносно осі Oy (осі ординат). Це означає: якщо точка (a; b) належить графіку, то й точка (−a; b) теж належить. Наприклад, для y = x² маємо (2; 4) і (−2; 4) — обидві точки лежать на параболі.

Симетрія графіка непарної функції

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат (0; 0). Разом з точкою (a; b) графіку належить точка (−a; −b). Наприклад, для y = x³ маємо (1; 1) і (−1; −1).

Добудова графіка

Якщо відома частина графіка при x ≥ 0, решту можна добудувати:

• для парної функції — відобрази відому частину відносно осі Oy (як дзеркальне відбиття);

• для непарної функції — поверни відому частину на 180° навколо початку координат.

Особливість непарної функції в нулі

Якщо непарна функція визначена в точці x = 0, то f(0) = 0. Доведення: за означенням f(0) = f(−0) = −f(0), звідки 2f(0) = 0. Отже, графік непарної функції завжди проходить через початок координат, якщо нуль належить області визначення.

Обчислення за парністю

Парність дозволяє знаходити значення функції в симетричних точках без обчислень:

• Якщо f непарна і f(3) = 5, то f(−3) = −5.

• Якщо f парна і f(−2) = 7, то f(2) = 7.

• Нехай g(x) = f(x) + x², f непарна, f(2) = 3. Тоді g(−2) = f(−2) + (−2)² = −3 + 4 = 1.

Важливе застереження

Симетрія відносно осі Ox не є ознакою парності чи непарності. Крива, симетрична відносно Ox, яка має хоча б одну точку поза віссю Ox, не є графіком функції: разом із точкою (a; b), b ≠ 0, вона містить і точку (a; −b), тобто одному значенню x* відповідають два різних значення *y.

Приклад 1. Яка з функцій є парною?

Варіанти: А) y = x⁵ Б) y = 2ˣ В) y = x² − 4|x| Г) y = (x − 1)² Д) y = √x

Розв'язання:

• А) y = x⁵: f(−x) = (−x)⁵ = −x⁵ = −f(x) — непарна, не підходить.

• Б) y = 2ˣ: f(−x) = 2⁻ˣ = 1/2ˣ ≠ 2ˣ і не дорівнює −2ˣ. Контрприклад: f(1) = 2, f(−1) = ½ ≠ 2 — ні парна, ні непарна.

• В) y = x² − 4|x|: f(−x) = (−x)² − 4|−x| = x² − 4|x| = f(x) — парна. Це правильний ключ.

• Г) y = (x − 1)²: f(−x) = (−x − 1)² = (x + 1)² ≠ (x − 1)². Наявність квадрата ще не робить функцію парною — зсув аргументу порушує симетрію.

• Д) y = √x: область визначення [0; +∞) несиметрична — одразу ні парна, ні непарна.

Відповідь: В) y = x² − 4|x|

Приклад 2. Яка з функцій є непарною?

Варіанти: А) y = x · sin x Б) y = x³ + 1 В) y = x³ − 4x Г) y = cos x Д) y = x² + x

Розв'язання:

• А) y = x · sin x: x — непарна, sin x — непарна. Добуток двох непарних — функція парна. Не підходить.

• Б) y = x³ + 1: f(−x) = −x³ + 1 — не дорівнює ні f(x) = x³ + 1, ні −f(x) = −x³ − 1 — ні парна, ні непарна.

• В) y = x³ − 4x: f(−x) = −x³ + 4x = −(x³ − 4x) = −f(x) — непарна. Правильний ключ.

• Г) y = cos x: cos(−x) = cos x — парна. Не підходить.

• Д) y = x² + x: f(1) = 2, f(−1) = 0 — ні парна, ні непарна.

Відповідь: В) y = x³ − 4x

Приклад 3. Логічні пари

Функція f визначена на R, f(2) = 3. Установи відповідність (1–3 → А–Д):

• 1. f парна. Знайти f(−2)

• 2. f непарна. Знайти f(−2)

• 3. f непарна, g(x) = f(x) + x². Знайти g(−2)

Значення: А) 3; Б) −3; В) 1; Г) 7; Д) −7.

Розв'язання:

• 1. f парна → f(−2) = f(2) = 3. Відповідь: А.

• 2. f непарна → f(−2) = −f(2) = −3. Відповідь: Б.

• 3. f непарна, g(x) = f(x) + x². g(−2) = f(−2) + (−2)² = −3 + 4 = 1. Відповідь: В.

Ключ: 1–А, 2–Б, 3–В.

Приклад 4. Симетрія графіка непарної функції

На рисунку зображено частину графіка непарної функції при x ≥ 0. Точка (1; 2) належить графіку. Яка точка теж обов'язково належить графіку?

Варіанти: А) (−1; 2) Б) (1; −2) В) (−1; −2) Г) (2; 1) Д) (−2; −1)

Розв'язання:

• Варіант А) (−1; 2) — це симетрія відносно Oy, характерна для парної функції. Для непарної — не підходить.

• Варіант Б) (1; −2) — симетрія відносно Ox. Така крива не була б графіком функції. Не підходить.

• Варіант В) (−1; −2) — симетрія відносно початку координат: (a; b) → (−a; −b). Це правильна відповідь.

• Г) (2; 1) і Д) (−2; −1) — не пов'язані з початковою точкою симетрією непарної функції.

Відповідь: В) (−1; −2).

На НМТ перевіряють не лише знання, а й уважність. Ось найпоширеніші помилки, яких варто уникати.

• Вважати, що кожна функція або парна, або непарна. Насправді більшість функцій не мають жодної з цих властивостей. Не треба шукати «третій вид» — це просто відсутність обох симетрій.

• Не перевіряти область визначення. Функція y = x² на відрізку [−1; 3] не є парною, бо область визначення несиметрична. Завжди починай аналіз із D.

• Помилятися в знаку степеня: (−x)³ = −x³, а не x³; (−x)² = x², а не −x². Запам'ятай: мінус під парним степенем «зникає», під непарним — залишається.

• Робити висновок про парність з однієї пари значень. Рівність f(1) = f(−1) ще не доводить парність — потрібна рівність для всіх x з області визначення. Однак одного контрприкладу достатньо, щоб спростувати парність.

• Плутати симетрію відносно початку координат із симетрією відносно осі Ox чи Oy. Для непарної функції точка (a; b) переходить у (−a; −b), а не в (−a; b) (це парна) і не в (a; −b) (це взагалі не функція).

• Називати y = x² + x парною лише тому, що в ній є x². Наявність парного степеня не робить функцію парною, якщо є й інші доданки, що порушують симетрію.

Парність і непарність функцій належать до розділу «Функції» програми НМТ (тема «Функціональна залежність. Лінійні, квадратні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості»). Вимога програми — уміти «досліджувати функцію на парність (непарність)».

Формати завдань

• Завдання 1–15 (вибір однієї відповіді з п'яти, А–Д, 0 або 1 бал). Типовий приклад: «Яка з функцій є парною?» або «Яка з функцій є непарною?».

• Завдання 16–18 (логічні пари, 1–3 → А–Д, до 3 балів). Парність може фігурувати як одна з властивостей, які потрібно зіставити з функціями. У демоваріанті НМТ-2026 у завданні 16 зіставляли властивості логарифмічної, тригонометричної й дробово-раціональної функцій.

Стратегія виконання

• Спершу перевір область визначення. Якщо вона несиметрична, функція не може бути ні парною, ні непарною — варіант можна одразу відкинути.

• Для швидкого відсіювання варіантів візьми пробну пару x = 1 і x = −1. Якщо значення різні — функція не парна. Якщо однакові — вона може бути парною, але це ще не остаточний висновок.

• Остаточний висновок роби за обчисленням f(−x) і порівнянням із f(x) і −f(x).

• Парна функція: f(−x) = f(x), її графік симетричний відносно осі Oy.

• Непарна функція: f(−x) = −f(x), графік симетричний відносно початку координат.

• Спершу перевір, чи D симетрична відносно нуля — якщо ні, функція не може бути ні парною, ні непарною.

• Більшість функцій ні парні, ні непарні. Не шукай «третій вид».

• Одного контрприкладу досить, щоб заперечити парність чи непарність.

• Парні функції: cos x, |x|, x², x⁴, стала функція.

• Непарні функції: sin x, tg x, x³, x, 1/x.