Основні тригонометричні тотожності

Основна тригонометрична тотожність — це ключове співвідношення, яке пов'язує синус і косинус одного й того самого кута. Вона має вигляд:

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

Ця рівність виконується для будь-якого кута $\alpha$. Запис ${\sin }^2\alpha$ означає $(\sin \alpha {)}^2$ — спершу знаходимо синус кута, потім підносимо його до квадрата. Те саме стосується ${\cos }^2\alpha$.

Геометричний зміст тотожності

Уявімо одиничне коло — коло з радіусом 1 і центром у початку координат. Кожній точці на цьому колі відповідає кут $\alpha$ між додатним напрямком осі $x$ і радіусом, проведеним до цієї точки. Координати точки — це $(\cos \alpha ;\sin \alpha )$. За теоремою Піфагора сума квадратів координат дорівнює квадрату радіуса, тобто 1. Звідси й маємо ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Наслідки з основної тотожності

Із ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ можна виразити одну функцію через іншу:

• ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$

• ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$

• $\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$

• $\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$

Добуваючи квадратний корінь, обов'язково треба поставити знак $\pm$ і вибрати правильний знак залежно від чверті, у якій лежить кут $\alpha$.

Таблиця знаків синуса й косинуса за чвертями

Приклади застосування

Нехай $\cos \alpha =-0,6$ і $\alpha \in (\pi /2;\pi )$ — це II чверть. Тоді:

$${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-(-0,6{)}^2=1-0,36=0,64$$

$$\sin \alpha =\pm \sqrt{0,64}=\pm 0,8$$

У II чверті синус додатний, тому $\sin \alpha =0,8$.

Нехай $\sin \alpha =-5/13$ і $\alpha \in (\pi ;3\pi /2)$ — III чверть. Тоді:

$${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$

$$\cos \alpha =\pm \sqrt{\frac{144}{169}}=\pm \frac{12}{13}$$

У III чверті косинус від'ємний, тому $\cos \alpha =-12/13$.

«Піфагорові» пари для швидкого рахунку

Деякі комбінації синуса й косинуса трапляються в задачах так часто, що їх варто запам'ятати. Їх називають «піфагоровими» парами, оскільки вони задовольняють ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:

Якщо в задачі ти бачиш, наприклад, $\cos \alpha =-7/25$ з II чверті, одразу можеш сказати, що $\sin \alpha =24/25$ (плюс, бо II чверть). Це економить час на НМТ.

Тангенс кута $\alpha$ визначається як відношення синуса до косинуса:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$$

Ця формула має зміст тільки тоді, коли $\cos \alpha \ne 0$, тобто для кутів $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$. Знак тангенса збігається зі знаком добутку $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$: у I та III чвертях тангенс додатний, у II та IV — від'ємний.

Обчислення тангенса за відомими синусом і косинусом

Повернімося до попереднього прикладу: $\cos \alpha =-0,6$, $\sin \alpha =0,8$, $\alpha \in (\pi /2;\pi )$. Тоді:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{0,8}{-0,6}=-\frac{4}{3}$$

Зверни увагу: тангенс вийшов від'ємним, бо синус і косинус у II чверті мають різні знаки. Це загальне правило: у II чверті ($\sin >0$, $\cos <0$) тангенс від'ємний, у III чверті (обидва від'ємні) — додатний.

Тотожність $1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

Ця формула є в довідці НМТ, тож на іспиті ти не мусиш її виводити. Проте розуміти, звідки вона береться, варто:

$$1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$$

Формула дає змогу знайти ${\cos }^2\alpha$ (а отже, і $\cos \alpha$) за відомим тангенсом, навіть не знаючи синуса. Головне — не забути вибрати знак косинуса за чвертю.

Приклад застосування

Нехай $\mathrm{tg}\alpha =2$, $\alpha \in (\pi ;3\pi /2)$ — III чверть. Знайдемо $\cos \alpha$ і $\sin \alpha$.

Крок 1. За формулою $1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =1/{\cos }^2\alpha$:

$$1+2^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow 5=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}$$

Крок 2. Добуваємо корінь:

$$\cos \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{5}}=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$$

У III чверті косинус від'ємний, тому $\cos \alpha =-\sqrt{5}/5$.

Крок 3. Тепер знайдемо синус через визначення тангенса: $\mathrm{tg}\alpha =\sin \alpha /\cos \alpha$, звідки $\sin \alpha =\mathrm{tg}\alpha \cdot \cos \alpha$:

$$\sin \alpha =2\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Синус у III чверті теж від'ємний — це узгоджується зі знаком.

Котангенс (профільний рівень)

Котангенс є в програмі НМТ як вимога профільного рівня. Формул для нього в довідці немає, тому варто знати:

• $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ (обернене до тангенса)

• $\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1$

• $1+{\mathrm{ctg}}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$

Оскільки в довідці НМТ цих формул немає, їх варто вивчити напам'ять разом із формулами для тангенса.

Спрощення тригонометричних виразів — це застосування вивчених тотожностей для перетворення складніших виразів на простіші. Головна ідея: замінювати ${\sin }^2\alpha$ або ${\cos }^2\alpha$ за основною тотожністю, зводити подібні доданки й застосовувати формули скороченого множення.

Заміни з основної тотожності

Найпростіші випадки — це коли вираз містить $1-{\sin }^2\alpha$ або $1-{\cos }^2\alpha$. Їх одразу замінюють на ${\cos }^2\alpha$ або ${\sin }^2\alpha$ відповідно.

Приклад A. Спростити $(1-{\sin }^2\alpha )/\cos \alpha$.

Замінюємо $1-{\sin }^2\alpha$ на ${\cos }^2\alpha$:

$$\frac{1-{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha }=\cos \alpha$$

Тут потрібно, щоб $\cos \alpha \ne 0$, інакше вираз не має змісту.

Приклад B. Спростити $(1-{\cos }^2\alpha )/{\sin }^2\alpha$.

Замінюємо $1-{\cos }^2\alpha$ на ${\sin }^2\alpha$:

$$\frac{1-{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=1$$

Приклад C. Спростити ${\cos }^2\alpha \cdot {\mathrm{tg}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha$.

Замінюємо ${\mathrm{tg}}^2\alpha ={\sin }^2\alpha /{\cos }^2\alpha$:

$${\cos }^2\alpha \cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

Формули скороченого множення

До тригонометричних виразів можна застосовувати звичні формули скороченого множення. Розгляньмо різницю четвертих степенів:

Приклад D. Спростити ${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha$.

За формулою різниці квадратів: $a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)$:

$${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha )({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )$$

Оскільки ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, маємо:

$${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha ={\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha$$

Приклад E. Спростити $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2+(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2$.

Розкриваємо дужки за формулами квадрата суми й різниці:

$$(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2={\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha$$

$$(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2={\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha$$

Додаємо: $2\sin \alpha \cos \alpha$ і $-2\sin \alpha \cos \alpha$ взаємно знищуються. Залишається:

$$({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )+({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=1+1=2$$

Дріб з sin α і cos α за відомим tg α

Це дуже поширений тип задач. Якщо чисельник і знаменник дробу містять $\sin \alpha$ і $\cos \alpha$ в однакових степенях (наприклад, у першому степені), досить знати $\mathrm{tg}\alpha$, щоб обчислити дріб. Для цього ділимо чисельник і знаменник на $\cos \alpha$ (коли $\cos \alpha \ne 0$).

Приклад F. $\mathrm{tg}\alpha =3$. Обчислити $(\sin \alpha +\cos \alpha )/(\sin \alpha -\cos \alpha )$.

Ділимо чисельник і знаменник на $\cos \alpha$:

$$\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }=\frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}=\frac{\mathrm{tg}\alpha +1}{\mathrm{tg}\alpha -1}$$

Підставляємо $\mathrm{tg}\alpha =3$:

$$\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}=2$$

Важливо: цей прийом працює тільки для виразів, де кожен член у чисельнику й знаменнику має однаковий степінь відносно $\sin \alpha$ і $\cos \alpha$.

Обмеження на змінну

Спрощення виконують для тих $\alpha$, за яких вираз має зміст. Наприклад, у виразі $(1-{\sin }^2\alpha )/\cos \alpha$ потрібно $\cos \alpha \ne 0$, тобто $\alpha \ne \pi /2+\pi n$.

У цьому розділі розберемо чотири типові завдання НМТ, які перевіряють уміння застосовувати основні тригонометричні тотожності. Кожен приклад має формат, який ти побачиш на іспиті.

Приклад 1. Вибір однієї відповіді з п'яти

Умова. Відомо, що $\cos \alpha =-0,6$ і $\alpha \in (\pi /2;\pi )$. Знайдіть $\sin \alpha$.

Розв'язання. За основною тригонометричною тотожністю:

$${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-(-0,6{)}^2=1-0,36=0,64$$

$$\sin \alpha =\pm \sqrt{0,64}=\pm 0,8$$

Кут $\alpha$ лежить у II чверті $(\pi /2;\pi )$, де синус додатний. Отже, вибираємо знак «+»: $\sin \alpha =0,8$.

Відповідь: $0,8$.

Чому інші варіанти неправильні? $-0,8$ — не враховано, що в II чверті синус додатний; $0,4$ — помилка $\sin \alpha =1-\cos \alpha$ замість ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$; $0,64$ — знайдено ${\sin }^2\alpha$, але не добуто квадратний корінь; $-0,4$ — поєднання помилок.

Приклад 2. Коротка відповідь (десятковий дріб)

Умова. Відомо, що $\sin \alpha =0,6$ і $\alpha \in (\pi /2;\pi )$. Знайдіть $\mathrm{tg}\alpha$. Відповідь запишіть десятковим дробом.

Розв'язання. Спочатку знайдемо $\cos \alpha$ за основною тотожністю:

$${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-0,36=0,64$$

$$\cos \alpha =\pm \sqrt{0,64}=\pm 0,8$$

У II чверті $(\pi /2;\pi )$ косинус від'ємний, тому $\cos \alpha =-0,8$.

Тепер за означенням тангенса:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{0,6}{-0,8}=-0,75$$

Відповідь: $-0,75$.

Зверни увагу: на НМТ у завданнях з короткою відповіддю (№ 19–22) можна записувати лише десяткові дроби. Відповідь $-3/4$ система не зарахує, а $-0,75$ — зарахує. Знак «мінус» пишемо перед першою цифрою.

Приклад 3. Вибір однієї відповіді з п'яти

Умова. Спростіть вираз $\frac{1-{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }$.

Розв'язання. За основною тригонометричною тотожністю ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, звідки $1-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$. Підставляємо:

$$\frac{1-{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha }=\cos \alpha$$

Відповідь: $\cos \alpha$.

Чому інші варіанти неправильні? $\sin \alpha$ — плутанина з $1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$, а не з $1-{\sin }^2\alpha$; $1/\cos \alpha$ — забули скоротити ${\cos }^2\alpha$ на $\cos \alpha$; $1-\sin \alpha$ — не застосовано тотожність; $\mathrm{tg}\alpha$ — помилкове застосування означення тангенса.

Приклад 4. Коротка відповідь

Умова. Відомо, що $\mathrm{tg}\alpha =3$. Обчисліть значення виразу $\frac{2\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$. Відповідь запишіть десятковим дробом.

Розв'язання. Чисельник і знаменник дробу містять $\sin \alpha$ і $\cos \alpha$ в однаковому (першому) степені. Поділимо чисельник і знаменник на $\cos \alpha$ (за умови $\cos \alpha \ne 0$, що виконується, бо інакше тангенс не існував би):

$$\frac{2\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }=\frac{2\cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}=\frac{2\mathrm{tg}\alpha -1}{\mathrm{tg}\alpha +1}$$

Підставляємо $\mathrm{tg}\alpha =3$:

$$\frac{2\cdot 3-1}{3+1}=\frac{6-1}{4}=\frac{5}{4}=1,25$$

Відповідь: $1,25$.

Нижче наведено найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час застосування основних тригонометричних тотожностей. Уважно їх вивчіть, щоб не втратити бали на НМТ.

• Знак кореня не вибрано за чвертю. Коли ти добуваєш корінь з $1-{\cos }^2\alpha$, результат завжди має два знаки: $\pm \sqrt{\dots }$. Багато учнів пишуть $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$ зі знаком «+» для будь-якого кута. Це правильно лише для I та II чвертей; у III та IV чвертях синус від'ємний, тому треба писати $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$.

• Заміна $\sin \alpha =1-\cos \alpha$. Це груба помилка. З основної тотожності маємо ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$, а не $\sin \alpha =1-\cos \alpha$. Пам'ятай: у квадраті стоїть косинус, а не сам кут.

• Не добуто квадратний корінь. Знайшовши ${\sin }^2\alpha =0,64$, дехто записує відповідь $0,64$, забуваючи добути корінь. Завжди перевіряй: чи справді $\sin \alpha$ дорівнює тому числу, чи це ${\sin }^2\alpha$?

• Перевернуто відношення для тангенса. Запам'ятай: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$, а не навпаки. Корисний мнемонічний прийом: у слові «тангенс» літера «т» нагадує дробову риску: «т» = синус зверху, косинус знизу.

• Помилка з $1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =1/{\cos }^2\alpha$. Знайшовши ${\cos }^2\alpha =1/5$, учень часто забуває добути корінь або вважає, що $\cos \alpha =5$ (обернене число). Насправді ${\cos }^2\alpha =1/5$ дає $\cos \alpha =\pm 1/\sqrt{5}$.

• Ділення на cos α лише в чисельнику. Коли обчислюєш дріб за відомим $\mathrm{tg}\alpha$, треба ділити на $\cos \alpha$ і чисельник, і знаменник. Помилка «поділив лише чисельник» призводить до неправильного результату.

Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу — це тема 1.3 програми НМТ з математики. Вона охоплює як основну тригонометричну тотожність, так і формули тангенса й котангенса.

У довідці, яку ти отримаєш на іспиті, є всі три потрібні формули:

Самостійно тобі треба лише вміти вибрати знак результату залежно від чверті, у якій лежить кут. Формули не потрібно виводити чи запам'ятовувати — вони перед тобою на екрані. Однак на НМТ час обмежений, тому варто вивчити їх напам'ять, щоб не гортати довідку щоразу.

Формати завдань на НМТ

Завдання на тригонометричні тотожності можуть трапитися в різних форматах:

Важливо: у завданнях з короткою відповіддю (№ 19–22) можна записувати лише десяткові дроби. Якщо твій результат — звичайний дріб, перетвори його на скінченний десятковий дріб (наприклад, $-3/4=-0,75$). Якщо ж вийшов нескінченний дріб, перевір розв'язання: відповіді таких завдань зазвичай добирають так, щоб вони записувалися скінченним десятковим дробом. Знак «мінус» пишемо перед першою цифрою.

Стратегія виконання

Найкраща стратегія для задач на тригонометричні тотожності:

1. Намалюй у чернетці одиничне коло.

2. Познач чверть, у якій лежить кут.

3. Визнач знаки синуса й косинуса в цій чверті.

4. Застосуй формулу з довідки.

5. Вибери знак кореня відповідно до чверті.

6. Запиши відповідь у потрібному форматі.

Ця стратегія зводить до мінімуму ризик помилки зі знаком — найпоширенішої проблеми в таких задачах.

Тут зібрано відповіді на найчастіші запитання, які виникають під час вивчення основних тригонометричних тотожностей.

• ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ для будь-якого кута $\alpha$ — це основна тригонометрична тотожність, що випливає з теореми Піфагора на одиничному колі.

• Коли добуваєш корінь ($\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$), знак визначає чверть: у I–II чвертях синус додатний, у III–IV — від'ємний.

• $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ — означення тангенса; знак тангенса збігається зі знаком добутку $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

• $1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ — формула для знаходження косинуса за тангенсом (є в довідці НМТ).

• Дріб, у якому чисельник і знаменник містять $\sin \alpha$ і $\cos \alpha$ в однакових степенях, можна обчислити через $\mathrm{tg}\alpha$, поділивши чисельник і знаменник на $\cos \alpha$.

• $1-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$ — найчастіша заміна під час спрощення тригонометричних виразів.