Комбіновані задачі: поєднання двох алгоритмів

Комбінована задача — це задача, у якій потрібно застосувати два (або більше) різних алгоритми з тих, що ти вже опанував: визначення надлишку, обчислення виходу продукту, перерахунок маси розчину на масу розчиненої речовини, обчислення маси чистої речовини в зразку з домішками, складання системи рівнянь для суміші, об'ємні відношення газів. Програма НМТ обмежує комбіновані задачі поєднанням не більше двох алгоритмів — це означає, що в одній задачі ти ніколи не зустрінеш одночасно, скажімо, надлишок, вихід, домішки й суміш.

Перше, що треба зробити, коли читаєш умову, — назвати вголос (або записати на чернетці), які саме два алгоритми тут потрібні. Типові пари:

• надлишок і вихід продукту — дано маси двох реагентів і вихід у відсотках, питають практичну масу продукту;

• розчин певної масової частки і рівняння — дано масу розчину та його масову частку, питають масу або об'єм продукту;

• домішки й об'єм газу — дано масу зразка з домішками, питають об'єм газу (н. у.);

• суміш двох речовин і дві реакції — дано масу суміші та об'єм газу, питають склад суміші або масу реагенту для другої обробки.

Порядок кроків майже завжди однаковий: спершу звести всі дані до кількості речовини чистих реагентів (якщо дано розчин — знайти масу розчиненої речовини, якщо дано зразок з домішками — знайти масу чистої речовини), потім за рівнянням реакції визначити, який реагент у нестачі, потім обчислити теоретичний продукт, а вже потім — практичний (якщо є вихід).

Найкращий спосіб не загубити жодного кроку — записати план із двох рядків ще до того, як почнеш обчислювати. Наприклад: «Алгоритм 1: надлишок → знайти нестачу → теоретичний продукт. Алгоритм 2: вихід → практичний продукт». Це займає 10 секунд, але рятує від плутанини.

Це одна з типових пар алгоритмів у комбінованих задачах. Умову можна впізнати за двома ключовими ознаками: дано маси (або об'єми) двох реагентів і додатково вказано відсоток виходу продукту. Ти маєш спершу визначити, який реагент у нестачі, обчислити теоретичну масу продукту, а потім застосувати вихід.

Алгоритм покроково

1. Обчислити кількість речовини кожного реагенту: n = m / M.

2. За рівнянням реакції визначити, скільки молей другого реагенту потрібно для повної реакції з першим. Порівняти з наявною кількістю — реагент, якого не вистачає, визначає теоретичний вихід.

3. Обчислити теоретичну кількість (або масу) продукту за нестачею.

4. Помножити теоретичну масу на вихід (у частках одиниці), щоб отримати практичну масу продукту.

Розгорнутий приклад

Розглянемо реакцію синтезу амоніаку:

N₂ + 3H₂ → 2NH₃

Дано: 2,8 г N₂ (M = 28 г/моль) і 1 г H₂ (M = 2 г/моль). Вихід реакції 80 %. Потрібно знайти практичну масу амоніаку.

Крок 1. Кількості речовини:

n(N₂) = 2,8 / 28 = 0,1 моль; n(H₂) = 1 / 2 = 0,5 моль.

Крок 2. За рівнянням на 1 моль N₂ потрібно 3 моль H₂. Отже, на 0,1 моль N₂ потрібно 0,3 моль H₂. Наявний H₂ — 0,5 моль, тобто H₂ у надлишку, а N₂ у нестачі. Саме N₂ визначає, скільки утвориться продукту.

Крок 3. Теоретична кількість NH₃: з 1 моль N₂ утворюється 2 моль NH₃, отже з 0,1 моль N₂ — 0,2 моль NH₃. Теоретична маса: m(NH₃) = 0,2 · 17 = 3,4 г.

Крок 4. Практична маса: 3,4 · 0,8 = 2,72 г.

Важливі правила

• Якщо вихід подано у відсотках (наприклад, 80 %), перетвори його на частку: 80 % = 0,8.

• Якщо шукаєш практичну масу продукту — множиш теоретичну масу на вихід.

• Якщо шукаєш масу реагенту, необхідну для отримання заданої практичної маси продукту, — ділиш задану масу на вихід.

• Проміжна перевірка: теоретична маса продукту не може перевищувати суму мас реагентів (закон збереження маси). У прикладі: 3,4 г < 2,8 + 1 = 3,8 г — правдоподібно.

Ніколи не рахуй продукт за реагентом, що в надлишку! Якщо помилково взяти H₂ (0,5 моль), то n(NH₃) = 2/3 · 0,5 ≈ 0,333 моль, що дало б 5,67 г — це більше за суму мас реагентів, що неможливо.

Цей тип задачі поєднує алгоритм «суміш речовин» (складання системи рівнянь) і алгоритм «розрахунок за рівнянням реакції» для другої обробки. У демоваріанті НМТ-2026 (завдання 24) трапилася суміш середньої й кислої солей; типовий приклад такої суміші — Na₂CO₃ і NaHCO₃, які реагують із кислотою, виділяючи CO₂.

Як працює перша обробка — реакція з кислотою

Обидві солі реагують із хлоридною кислотою:

Na₂CO₃ + 2HCl → 2NaCl + CO₂ + H₂O

NaHCO₃ + HCl → NaCl + CO₂ + H₂O

Зверни увагу: кожна сіль дає по 1 моль CO₂ на 1 моль солі. Тому загальна кількість CO₂ дорівнює сумі кількостей обох солей у суміші. Це дозволяє скласти систему двох рівнянь:

• перше рівняння — за кількістю CO₂: x + y = n(CO₂), де x = n(Na₂CO₃), y = n(NaHCO₃);

• друге рівняння — за масою суміші: 106x + 84y = m(суміші).

Приклад

Суміш Na₂CO₃ та NaHCO₃ масою 19 г обробили надлишком хлоридної кислоти. Виділилося 4,48 л CO₂ (н. у.). Визнач масу NaHCO₃ у суміші.

Крок 1. Обчислимо кількість CO₂: n(CO₂) = 4,48 / 22,4 = 0,2 моль.

Крок 2. Позначимо: x = n(Na₂CO₃), y = n(NaHCO₃). Складаємо систему:

x + y = 0,2 (за кількістю CO₂)

106x + 84y = 19 (за масою суміші)

Крок 3. Розв'язуємо систему. З першого рівняння: x = 0,2 − y. Підставляємо в друге: 106(0,2 − y) + 84y = 19 → 21,2 − 106y + 84y = 19 → −22y = −2,2 → y = 0,1 моль. Тоді x = 0,1 моль.

Крок 4. Маса NaHCO₃: m = 0,1 · 84 = 8,4 г.

Друга обробка — реакція з лугом

У цій самій суміші з NaOH реагує лише кисла сіль — NaHCO₃. Середня сіль Na₂CO₃ з лугом не взаємодіє.

NaHCO₃ + NaOH → Na₂CO₃ + H₂O

Якщо в суміші 0,1 моль NaHCO₃, то для реакції потрібно 0,1 моль NaOH. Маса NaOH: m = 0,1 · 40 = 4 г.

Кожну обробку описують окремим рівнянням. Розв'язувати всю задачу одним рівнянням не можна — це призведе до втрати однієї з реакцій і неправильної відповіді.

Дві дуже поширені пари алгоритмів — це «розчин і рівняння» та «домішки й об'єм газу». Вони мають спільну логіку: спершу звести дані до маси чистої речовини, потім перейти до кількості речовини, а далі — за рівнянням реакції.

Розчин і рівняння

Якщо в умові дано масу розчину та його масову частку, перший крок — обчислити масу розчиненої речовини:

m(речовини) = m(розчину) · w

Далі — звичайний розрахунок за рівнянням: m(речовини) → n → рівняння → шукана величина.

Іноді задача просить обчислити масу розчину після реакції. Тоді до маси вихідного розчину додають масу доданого реагенту (якщо він не в розчині) і віднімають масу газу або осаду, що виділилися.

Домішки й об'єм газу

Якщо дано масу зразка з домішками, спершу знаходять масу чистої речовини:

m(чистої) = m(зразка) · (100 % − w(домішок)) / 100 %

або простіше: m(чистої) = m(зразка) · w(чистої речовини) / 100 %.

Далі: m(чистої) → n → за рівнянням → V(газу).

Вихід реакції може додатися як другий алгоритм. Тоді домішки — перший алгоритм, а вихід — другий. Схема стає такою: m(зразка) → m(чистої) → n → теоретичний V → практичний V (помножити на вихід).

Приклад: домішки + вихід

Розглянемо розклад вапняку:

CaCO₃ → CaO + CO₂

Дано: 62,5 г вапняку, що містить 20 % домішок. Вихід CO₂ становить 80 %. Знайти практичний об'єм CO₂ (н. у.).

Крок 1. Масова частка чистого CaCO₃: 100 % − 20 % = 80 %. Маса чистого CaCO₃: m = 62,5 · 0,8 = 50 г.

Крок 2. Кількість речовини: n(CaCO₃) = 50 / 100 = 0,5 моль.

Крок 3. За рівнянням n(CO₂) = n(CaCO₃) = 0,5 моль. Теоретичний об'єм: V = 0,5 · 22,4 = 11,2 л.

Крок 4. Практичний об'єм: V(практ.) = 11,2 · 0,8 = 8,96 л.

Неструктурована задача (0 або 2 бали) не дає часткових балів. Якщо помилишся на проміжному кроці — втрачаєш усі бали. Тому перевіряй проміжні числа за порядком величини: 50 г CaCO₃ з 62,5 г зразка — правдоподібно (80 %); 0,5 моль — теж; 11,2 л — очікуваний об'єм; 8,96 л — менший за теоретичний через вихід.

Розберемо чотири типові комбіновані задачі, які можуть трапитися на НМТ. Кожна з них поєднує рівно два алгоритми.

Приклад 1. Надлишок і вихід

Умова: 2,8 г азоту (N₂) і 1 г водню (H₂) реагують за рівнянням N₂ + 3H₂ → 2NH₃. Вихід реакції становить 80 %. Обчисли практичну масу амоніаку (NH₃) у грамах.

Розв'язання:

1. n(N₂) = 2,8 / 28 = 0,1 моль; n(H₂) = 1 / 2 = 0,5 моль.

2. На 0,1 моль N₂ потрібно 0,3 моль H₂. H₂ є в надлишку (0,5 > 0,3), N₂ — у нестачі.

3. Теоретична кількість NH₃: з 1 моль N₂ — 2 моль NH₃, отже з 0,1 моль N₂ — 0,2 моль NH₃. Теоретична маса: 0,2 · 17 = 3,4 г.

4. Практична маса: 3,4 · 0,8 = 2,72 г.

Відповідь: 2,72 г.

Чому інші варіанти неправильні? Якщо рахувати за H₂ (у надлишку), отримаєш n(NH₃) = 2/3 · 0,5 ≈ 0,333 моль, маса ≈ 5,67 г — це більше за суму мас реагентів (3,8 г), що неможливо. Якщо забути про вихід, відповідь буде 3,4 г — це теоретична, а не практична маса.

Приклад 2. Суміш двох солей — маса NaHCO₃

Умова: Суміш натрій карбонату (Na₂CO₃) і натрій гідрогенкарбонату (NaHCO₃) масою 19 г обробили надлишком хлоридної кислоти. Виділилося 4,48 л вуглекислого газу (н. у.). Визнач масу NaHCO₃ у суміші (у грамах).

Розв'язання:

1. n(CO₂) = 4,48 / 22,4 = 0,2 моль.

2. Позначимо x = n(Na₂CO₃), y = n(NaHCO₃). Складаємо систему: x + y = 0,2; 106x + 84y = 19.

3. Розв'язуємо: x = 0,2 − y; 106(0,2 − y) + 84y = 19 → 21,2 − 106y + 84y = 19 → −22y = −2,2 → y = 0,1 моль.

4. Маса NaHCO₃: m = 0,1 · 84 = 8,4 г.

Відповідь: 8,4 г.

Чому інші варіанти неправильні? Якщо припустити, що вся суміш — лише Na₂CO₃, маса CO₂ була б 19/106 · 44 ≈ 7,9 г, що не відповідає 4,48 л (8,8 г CO₂). Якщо припустити лише NaHCO₃ — 19/84 · 44 ≈ 9,95 г, теж не збігається. Отже, потрібна система рівнянь.

Приклад 3. Суміш двох солей — друга обробка

Умова: До тієї самої суміші (0,1 моль NaHCO₃) додають розчин NaOH. Обчисли масу NaOH (у грамах), який прореагує з кислою сіллю.

Розв'язання:

1. З NaOH реагує лише NaHCO₃: NaHCO₃ + NaOH → Na₂CO₃ + H₂O.

2. n(NaOH) = n(NaHCO₃) = 0,1 моль.

3. m(NaOH) = 0,1 · 40 = 4 г.

Відповідь: 4 г.

Чому інші варіанти неправильні? Якщо помилково взяти n(NaOH) = n(Na₂CO₃) = 0,1 моль, то відповідь теж 4 г, але з іншої причини — Na₂CO₃ з NaOH не реагує, тому правильна логіка важливіша за збіг числа. Якщо взяти суму обох солей (0,2 моль), то маса NaOH = 8 г — це помилка.

Приклад 4. Домішки й об'єм газу з виходом

Умова: 62,5 г вапняку, що містить 20 % некарбонатних домішок, прожарили. Вихід вуглекислого газу становить 80 %. Обчисли практичний об'єм CO₂ (н. у.) у літрах.

Розв'язання:

1. Масова частка CaCO₃: 100 % − 20 % = 80 %. m(CaCO₃) = 62,5 · 0,8 = 50 г.

2. n(CaCO₃) = 50 / 100 = 0,5 моль.

3. CaCO₃ → CaO + CO₂, отже n(CO₂) = n(CaCO₃) = 0,5 моль. Теоретичний V(CO₂) = 0,5 · 22,4 = 11,2 л.

4. Практичний V(CO₂) = 11,2 · 0,8 = 8,96 л.

Відповідь: 8,96 л.

Чому інші варіанти неправильні? Якщо не врахувати домішки, взяти m(CaCO₃) = 62,5 г, то n = 0,625 моль, V = 14 л — це теоретичний об'єм без домішок. Якщо не врахувати вихід, відповідь 11,2 л — це теоретичний об'єм з урахуванням домішок, але без виходу. Правильна відповідь ураховує обидва алгоритми.

Комбіновані задачі вимагають не лише знати окремі алгоритми, а й правильно їх поєднати. Ось найпоширеніші помилки, яких припускаються учні.

• Розв'язувати всю задачу одним рівнянням і губити одну з реакцій.

• Наприклад, у задачі на суміш двох солей намагаються записати одне рівняння, що нібито описує реакцію обох солей разом. Це неможливо: Na₂CO₃ і NaHCO₃ реагують із HCl по-різному, і кожна потребує окремого рівняння. Завжди записуй стільки рівнянь, скільки різних процесів описано в умові.

• Рахувати продукт за реагентом у надлишку в комбінації з виходом.

• Помилка дає завищену теоретичну масу, яка часто перевищує суму мас реагентів — це суперечить закону збереження маси. Перевіряй: теоретична маса продукту не може бути більшою за масу всіх реагентів разом.

• Не звести розчин чи зразок з домішками до маси чистої речовини перед визначенням нестачі.

• Якщо дано 62,5 г вапняку з 20 % домішок, а ти береш m = 62,5 г замість 50 г, то подальші розрахунки будуть неправильними. Спершу завжди обчислюй масу чистої речовини.

• Переплутати, у якій обробці бере участь кожна сіль.

• У суміші Na₂CO₃ і NaHCO₃ з HCl реагують обидві солі, а з NaOH — лише NaHCO₃. Дехто думає, що Na₂CO₃ теж реагує з лугом, але це не так: натрій карбонат — уже середня сіль і з NaOH не взаємодіє.

• Множити на вихід двічі або взагалі забути про нього.

• Вихід застосовують один раз — до теоретичної маси продукту. Якщо помножити на вихід іще раз проміжний результат, відповідь стане заниженою. Якщо забути про вихід — відповідь буде теоретичною, а не практичною.

• Не перевірити правдоподібність проміжних чисел.

• На НМТ неструктурована задача дає 0 або 2 бали — проміжна помилка коштує всіх балів. Тому після кожного кроку став запитання: «Чи правдоподібне це число?» 50 г чистого CaCO₃ зі 62,5 г зразка — так. 0,5 моль — так. 11,2 л CO₂ — так. 8,96 л — так.

Тема 4.3 програми НМТ з хімії вимагає вміння розв'язувати комбіновані задачі — поєднання не більше двох алгоритмів. У демонстраційному варіанті 2026 року завдання 24 — це саме така задача: суміш середньої й кислої солей, дві обробки, три реакції.

Завдання 22–24 у тесті — неструктуровані задачі, які оцінюються в 0 або 2 бали. Часткових балів за них не дають: якщо ти зробив помилку на проміжному кроці, але далі рахував правильно, усе одно отримуєш 0 балів. Саме тому так важливо перевіряти проміжні числа.

Числові відповіді вводять у спеціальне поле в електронній формі тесту. Значення відносних атомних мас усіх хімічних елементів округлюють до одиниць (так вимагає інструкція до завдань 21–24); якщо в умові задачі дано інше значення, користуються ним. Довідкові матеріали, які надають на НМТ:

• таблиця розчинності кислот, основ і солей у воді;

• електрохімічний ряд напруг металів (ряд активності металів);

• періодична система хімічних елементів.

Формул для розрахунків і хімічних рівнянь у довідці немає — їх треба пам'ятати або виводити самостійно.

Стратегія для розв'язання комбінованої задачі на НМТ:

1. Прочитай умову й назви два алгоритми, які в ній застосовано (надлишок, вихід, домішки, розчин, суміш).

2. Розпиши на чернетці послідовність кроків — план із двох рядків.

3. Лише після цього починай обчислювати, перевіряючи кожне проміжне число.

4. Введи остаточну відповідь у потрібних одиницях у поле відповіді.

Пам'ятай: неструктурована задача не дає права на проміжну помилку. Краще витратити 30 секунд на план, ніж втратити 2 бали через те, що забув один крок.

• Спершу назви два алгоритми, які поєднано в задачі: надлишок, вихід, домішки, розчин, суміш.

• Зведи всі дані до кількості речовини чистих реагентів: розчин → m(речовини); зразок з домішками → m(чистої).

• Визнач нестачу — продукт рахуй за реагентом, якого не вистачає.

• Обчисли теоретичний продукт, потім застосуй вихід (помнож на частку).

• Кожну хімічну реакцію записуй окремим рівнянням — не об'єднуй різні процеси в одне.

• Перевіряй проміжні числа за порядком величини: теоретична маса продукту не перевищує суму мас реагентів.

• Неструктурована задача на НМТ дає 0 або 2 бали — проміжна помилка коштує всіх балів.