Ключовий переріз у задачах на тіла: призма, піраміда, циліндр, конус

У стереометрії досить часто доводиться шукати невідомі елементи тіла — радіус, висоту, твірну, сторону основи, — щоб потім обчислити об’єм чи площу поверхні. Якщо намагатися діяти «наосліп», легко заплутатися в просторових побудовах. Саме тому й існує метод ключового перерізу.

Що таке ключовий переріз?

Ключовий переріз — це такий плоский переріз просторового тіла, у якому лежать ОДНОЧАСНО і всі дані умови, і шуканий елемент. Коли ти виконуєш такий переріз, задача перестає бути стереометричною: на його площині лишається лише планіметрична фігура — прямокутник, трикутник, трапеція, — і далі ти працюєш із теоремою Піфагора, співвідношеннями в прямокутному трикутнику або подібністю.

Алгоритм

1. Випиши окремо всі відомі величини й те, що потрібно знайти.

2. Визнач, через який переріз проходять ці елементи. Якщо дано радіус і висоту циліндра — це осьовий переріз. Якщо дано діагональ призми — це діагональний переріз. Якщо дано відстань від вершини до площини — це переріз, паралельний основі.

3. Перенеси цей переріз на окремий плоский рисунок у натуральну величину. На цьому рисунку тіло «зникає» — лишається тільки плоска фігура з позначеними розмірами.

4. Розв’яжи планіметричну задачу: знайди невідомий відрізок через теорему Піфагора, синус, косинус, тангенс прямокутного трикутника або через коефіцієнт подібності.

5. Повернися до формули об’єму чи площі поверхні тіла й підстав знайдений елемент.

Таблиця: тіло → ключовий переріз → що в ньому видно

Два тіла зі спільною віссю

Якщо в задачі фігурують два тіла обертання зі спільною віссю — наприклад, конус і циліндр на спільній основі, — то ключовим перерізом для обох тіл буде той самий осьовий переріз. На ньому одночасно видно радіуси, висоти й твірні обох тіл, а отже, можна записати співвідношення між ними.

Запам’ятай головне: доки ти не вибрав правильний переріз, задача лишається просторовою й складною. Щойно ти його вибрав і намалював окремо — вона стає планіметричною, а це значить, що ти вже вмієш її розв’язати.

Осьовий переріз — це переріз тіла обертання площиною, яка проходить через його вісь. Для циліндра й конуса він є головним ключовим перерізом, тому що через вісь проходять усі основні елементи: радіус, висота, твірна.

Циліндр

Осьовий переріз циліндра — прямокутник, одна сторона якого дорівнює діаметру основи $2R$, а друга — висоті $H$. Діагональ цього прямокутника з'єднує дві вершини, що не належать одній грані, і є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами $2R$ і $H$.

Приклад 1. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 13, висота дорівнює 12. Знайди об'єм циліндра.

У прямокутному трикутнику осьового перерізу: $(2R{)}^2+12^2=13^2$, звідки $4R^2=169-144=25$, отже $2R=5$, $R=2,5$. Об'єм циліндра: $V=\pi R^{2}H=\pi \cdot 6,25\cdot 12=75\pi$.

Приклад 2. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює $8\sqrt{2}$ і утворює з площиною основи кут 45°. Знайди об'єм циліндра.

Оскільки кут між діагоналлю й основою 45°, то прямокутний трикутник — рівнобедрений: $2R=H$. За теоремою Піфагора $(2R{)}^2+H^2=(8\sqrt{2}{)}^2$, тобто $2H^2=128$, $H^2=64$, $H=8$, $2R=8$, $R=4$. Тоді $V=\pi \cdot 16\cdot 8=128\pi$.

Конус

Осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює $2R$ (діаметр основи), а бічні сторони — твірні $l$. Висота конуса $H$ є медіаною цього трикутника, проведеною до основи. Вона ділить осьовий переріз на два рівні прямокутні трикутники з катетами $H$ і $R$ та гіпотенузою $l$.

Приклад 3. Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 120°, твірна дорівнює 6. Знайди об'єм конуса.

У рівнобедреному трикутнику з кутом 120° при вершині висота ділить його навпіл: кут між твірною й висотою дорівнює 60°. У прямокутному трикутнику: $H=l\cdot \cos 60°=6\cdot 0,5=3$, $R=l\cdot \sin 60°=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$. Об'єм: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H=\frac{1}{3}\pi \cdot 27\cdot 3=27\pi$.

Приклад 4. Площа осьового перерізу конуса дорівнює 12, а радіус основи дорівнює 3. Знайди площу бічної поверхні конуса.

Площа осьового перерізу конуса обчислюється як $S_{перерізу}=\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot H=RH$. Отже $RH=12$, звідки $H=12:3=4$. Твірна: $l=\sqrt{R^2+H^2}=\sqrt{9+16}=5$. Площа бічної поверхні: $S_{бічна}=\pi Rl=\pi \cdot 3\cdot 5=15\pi$.

Пастки вибору: (1) В осьовому перерізі конуса бічна сторона — ТВІРНА, а не висота. Висота — медіана трикутника, вона не є бічною стороною. (2) Діагональ осьового перерізу циліндра — це ГІПОТЕНУЗА трикутника з катетами 2R і H, а не діаметр. Діаметр — лише одна зі сторін прямокутника.

Для многогранників — призми й піраміди — ключових перерізів кілька, і вибір залежить від того, які елементи дано в умові.

Діагональний переріз прямої призми

Діагональний переріз прямої призми — це переріз площиною, що проходить через два бічних ребра, які не належать одній грані. Для правильної чотирикутної призми цей переріз — прямокутник: одна сторона дорівнює діагоналі основи $d=a\sqrt{2}$, друга — висоті $h$. Діагональ призми (просторова) є діагоналлю цього прямокутника.

Приклад 1. Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює 10, висота дорівнює 8. Знайди об'єм.

У діагональному перерізі маємо прямокутний трикутник: діагональ призми 10 — гіпотенуза, висота 8 — катет, діагональ основи $d$ — другий катет. За теоремою Піфагора: $d^2=10^2-8^2=100-64=36$, отже $d=6$. Сторона основи $a=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$. Площа основи: $S_{осн}=a^2=18$ або $S_{осн}=\frac{d^2}{2}=\frac{36}{2}=18$. Об'єм: $V=S_{осн}\cdot h=18\cdot 8=144$.

Перерізи правильної піраміди

У правильній піраміді ключовими є два прямокутні трикутники, які виникають у вертикальному перерізі, що проходить через вершину й центр основи:

• Трикутник SOK — де O — центр основи, K — середина сторони основи. Катети: висота піраміди $h$ (SO) і радіус вписаного кола $r$ (OK). Гіпотенуза: апофема $l$ (SK — висота бічної грані). У цьому трикутнику видно кут нахилу бічної грані до основи.

• Трикутник SOA — де A — вершина основи. Катети: висота $h$ (SO) і радіус описаного кола $R$ (OA). Гіпотенуза: бічне ребро $b$ (SA). У цьому трикутнику видно кут нахилу бічного ребра до основи.

Приклад 2. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6, а бічні грані нахилені до площини основи під кутом 45°. Знайди об'єм і площу бічної поверхні.

У трикутнику SOK (він прямокутний, кут SOK = 90°, бо висота SO перпендикулярна до площини основи) кут SKO дорівнює 45° — це кут нахилу бічної грані. Радіус вписаного кола квадрата: $r=\frac{a}{2}=3$. У прямокутному трикутнику SOK з кутом 45°: $h=r=3$, апофема $l=r\sqrt{2}=3\sqrt{2}$. Об'єм: $V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 3=36$. Периметр основи: $P=4\cdot 6=24$. Бічна поверхня: $S_{бічна}=\frac{1}{2}Pl=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 3\sqrt{2}=36\sqrt{2}$.

Переріз, паралельний основі

Якщо конус або піраміду перетнути площиною, паралельною основі, утворюється фігура, подібна до основи. Для знаходження її розмірів використовують осьовий переріз.

Приклад 3. Радіус основи конуса 6, висота 8. На відстані 2 від основи проведено переріз, паралельний основі. Знайди радіус перерізу.

Від вершини до площини перерізу: $H_1=8-2=6$. В осьовому перерізі конуса утворюються два подібні прямокутні трикутники — великий (з катетами $H=8$ і $R=6$) і малий ($H_1=6$ і $r$ — шуканий). Коефіцієнт подібності: $k=\frac{H_1}{H}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$. Тоді $r=k\cdot R=\frac{3}{4}\cdot 6=4,5$.

Важливо! Коефіцієнт подібності завжди рахують ВІД ВЕРШИНИ, а не від основи. Для піраміди те саме: переріз, паралельний основі, — многокутник, подібний до основи з тим самим коефіцієнтом $k$. Площа перерізу дорівнює $k^2$ від площі основи.

У цьому розділі розберемо п'ять типових задач НМТ, які ілюструють усі види ключових перерізів.

Приклад 1. Циліндр: діагональ осьового перерізу (коротка відповідь)

Умова. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 10, а радіус основи дорівнює 3. Знайди значення $V/\pi$.

Розв'язання. Осьовий переріз — прямокутник зі сторонами $2R$ і $H$. Радіус $R=3$, тому $2R=6$. За теоремою Піфагора: $H=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$. Об'єм: $V=\pi R^{2}H=\pi \cdot 9\cdot 8=72\pi$. Отже $V/\pi =72$.

Відповідь: 72.

Чому не працюють інші варіанти: Якщо взяти радіус 6 (тобто сплутати $R$ і $2R$), то $H=\sqrt{100-36}=8$ — це число збігається, але об'єм став би $\pi \cdot 36\cdot 8=288\pi$ і $V/\pi =288$. Якщо в прямокутному трикутнику взяти катет $R=3$ замість $2R=6$, то $H=\sqrt{100-9}=\sqrt{91}\approx 9,54$, звідки $V/\pi$ помилково ≈ 85,85.

Приклад 2. Конус: кут при вершині (вибір однієї відповіді)

Умова. Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 90°, а твірна дорівнює $6\sqrt{2}$. Знайди об'єм конуса.

Розв'язання. Осьовий переріз — рівнобедрений трикутник із кутом 90° при вершині. Висота ділить його навпіл: у прямокутному трикутнику кут між твірною й висотою 45°. Тому $H=l\cdot \cos 45°=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6$, $R=l\cdot \sin 45°=6$. Об'єм: $V=\frac{1}{3}\pi \cdot 36\cdot 6=72\pi$.

Відповідь: 72π.

Чому не працюють дистрактори: 216π — забули поділити на 3; 72√2π — узяли висоту рівною твірній; 144π — узяли діаметр 12 за висоту; 36π — знайшли лише площу основи.

Приклад 3. Конус: переріз, паралельний основі (коротка відповідь)

Умова. Радіус основи конуса 10, висота 15. На відстані 6 від основи проведено переріз, паралельний основі. Знайди площу цього перерізу, поділену на $\pi$.

Розв'язання. Від вершини до площини перерізу: $H_1=15-6=9$. Коефіцієнт подібності: $k=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$. Радіус перерізу: $r=k\cdot R=\frac{3}{5}\cdot 10=6$. Площа перерізу: $S=\pi r^2=\pi \cdot 36$. Отже $S/\pi =36$.

Відповідь: 36.

Чому не працюють інші варіанти: 16 — узяли коефіцієнт від основи (6/15 = 2/5), тоді r = 4; 60 — помножили площу основи на k (100π · 3/5 = 60π) замість k².

Приклад 4. Призма: діагональний переріз (коротка відповідь)

Умова. Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює 13, висота дорівнює 12. Знайди об'єм призми.

Розв'язання. У діагональному перерізі — прямокутному трикутнику — діагональ основи $d=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$. Площа основи квадрата: $S_{осн}=\frac{d^2}{2}=\frac{25}{2}=12,5$. Об'єм: $V=12,5\cdot 12=150$.

Відповідь: 150.

Чому не працюють інші варіанти: 300 — узяли площу основи як d² = 25 замість d²/2; 60 — знайшли площу діагонального перерізу (d · h = 5 · 12 = 60), а не об'єм.

Приклад 5. Піраміда: бічне ребро й кут нахилу (вибір однієї відповіді)

Умова. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює $6\sqrt{2}$ і нахилене до площини основи під кутом 45°. Знайди об'єм піраміди.

Розв'язання. У трикутнику SOA кут SAO = 45° — кут між бічним ребром і площиною основи. Цей трикутник прямокутний (SO ⟂ OA), тому $h=b\cdot \sin 45°=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6$, $R=b\cdot \cos 45°=6$. Для квадрата $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, тому $a=\frac{2R}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}$. Площа основи: $S_{осн}=(6\sqrt{2}{)}^2=72$. Об'єм: $V=\frac{1}{3}\cdot 72\cdot 6=144$.

Відповідь: 144.

Чому не працюють дистрактори: 432 — забули поділити на 3; 72 — прирівняли сторону основи до R = 6; 288 — взяли сторону основи рівною діагоналі 2R = 12; 144√2 — узяли висоту, рівну бічному ребру.

Розв'язуючи задачі на ключовий переріз, учні найчастіше припускаються цих помилок.

• Обирають неправильний переріз. Наприклад, шукають твірну конуса в перерізі, паралельному основі, — а там твірної немає, там лише круг. Завжди спочатку запитуй себе: «Чи лежать дані й шукана величина в одній площині?»

• Плутають твірну конуса з висотою. В осьовому перерізі конуса бічна сторона — це твірна, а висота — медіана, проведена до основи. Вони ніколи не збігаються: твірна — гіпотенуза, а висота — катет прямокутного трикутника в осьовому перерізі, тому l > H.

• Плутають діагональ осьового перерізу з діаметром. Діагональ прямокутника — гіпотенуза трикутника з катетами 2R і H, а діаметр — лише одна зі сторін. Якщо дано діагональ, не прирівнюй її до 2R.

• Беруть R замість 2R в осьовому перерізі. Сторона прямокутника в осьовому перерізі циліндра — діаметр 2R, а не радіус. Те саме для конуса: основа трикутника — 2R. Забуваючи подвоєння, отримують хибну висоту.

• Не ділять навпіл кут при вершині конуса. Кут при вершині осьового перерізу конуса належить усьому рівнобедреному трикутнику. Щоб потрапити в прямокутний трикутник SOA (де один катет — R, інший — H), цей кут треба поділити на 2.

• У перерізі, паралельному основі, беруть відстань від основи. Коефіцієнт подібності рахують від вершини: $k=H_1/H$, де $H_1$ — відстань від вершини до площини перерізу. Відстань від основи до площини — це $H-H_1$, її не можна ставити в чисельник.

• У діагональному перерізі призми беруть сторону основи. Діагональний переріз правильної чотирикутної призми — прямокутник, одна сторона якого — діагональ основи $d=a\sqrt{2}$, а не сторона $a$. Якщо дано діагональ призми й висоту, то з трикутника знаходять саме $d$, а вже з нього — $a$.

Завдання на ключовий переріз тіл традиційно з'являється в позиції № 21 тесту НМТ з математики. Це завдання з короткою відповіддю, яке оцінюють у 0 або 2 бали — без часткових балів.

У тестах 2023–2024 років на цій позиції були: призма, циліндр, конус, а також задачі з координатами в просторі. У демонстраційному варіанті 2026 року ключем до № 21 був діагональний переріз прямої призми з ромбом в основі.

За експертною оцінкою, № 21 зі стереометрії — серед найскладніших позицій тесту. Потрібні глибоке розуміння планіметрії й просторова уява. Тема 6.2 програми ЗНО/НМТ називає ключові перерізи: перерізи многогранників, осьові перерізи циліндра й конуса та перерізи площинами, паралельними їхнім основам.

У довідці, яку дають на НМТ, є формули об'ємів і бічних поверхонь тіл, а також уся потрібна планіметрія: теорема Піфагора, sin, cos, tg, формули площ. Вибору перерізу там немає — це твоя задача. Відповідь записують як десятковий дріб (ціле число або десятковий дріб), тому якщо в обчисленні лишилося $\pi$, пиши ту величину, яку просить умова (наприклад, «знайдіть $V/\pi$»).

Стратегія на 2 бали: (1) Прочитай умову й випиши, які величини відомі, яку треба знайти. (2) Визнач тіло й обери ключовий переріз за нашою таблицею. (3) На чернетці намалюй цей переріз окремо, познач на ньому всі відомі довжини. (4) Знайди невідомий елемент через теорему Піфагора або тригонометрію. (5) Підстав у формулу об'єму чи площі й обери відповідь, яку просить умова (іноді треба поділити на $\pi$).

• Ключовий переріз — це плоский переріз, у якому лежать і всі дані, і шуканий елемент. Він перетворює стереометричну задачу на планіметричну.

• Осьовий переріз циліндра — прямокутник 2R × H; діагональ цього прямокутника — гіпотенуза з катетами 2R і H.

• Осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник з основою 2R, бічними сторонами l (твірними) і висотою H (медіаною).

• Діагональний переріз прямої призми — прямокутник, одна сторона якого — діагональ основи d, друга — висота h.

• У правильній піраміді ключові — трикутники SOK (h, r, l) для кута нахилу грані та SOA (h, R, b) для кута нахилу ребра.

• Переріз, паралельний основі, дає фігуру, подібну до основи. Коефіцієнт подібності k рахуємо ВІД ВЕРШИНИ, а площа перерізу — k² від площі основи.

• Переріз завжди переносимо на окремий плоский рисунок у натуральну величину — це головний секрет успіху.