Дробово-раціональні рівняння

Раціональним рівнянням називають рівняння, обидві частини якого є раціональними виразами — тобто многочленами або дробами, у яких чисельник і знаменник — многочлени. Серед раціональних рівнянь розрізняють два види: цілі та дробово-раціональні.

Ціле раціональне рівняння не містить ділення на вираз зі змінною. Наприклад, $(x-1)/4=2$ — це ціле рівняння, бо знаменник 4 — число, а не вираз зі змінною. Дробово-раціональне рівняння, навпаки, містить ділення на многочлен зі змінною. Наприклад, $3/(x-2)=1$ — дробово-раціональне, тому що знаменник $x-2$ залежить від $x$.

Область допустимих значень (ОДЗ)

ОДЗ рівняння — це множина всіх значень змінної, за яких кожен вираз у рівнянні має зміст. Для дробово-раціонального рівняння це означає, що жоден знаменник не дорівнює нулю.

Розгляньмо рівняння $1/(x-3)+2/(x^2-9)=1$. Знаменники: $x-3$ і $x^2-9$. Другий знаменник розкладаємо на множники: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Отже, заборонені значення — ті, за яких $x-3=0$ або $x+3=0$, тобто $x\ne 3$ і $x\ne -3$. ОДЗ: $x\ne \pm 3$.

Щоб не пропустити жодного забороненого значення, завжди розкладай знаменники на множники. Наприклад:

• $x^2-4x=x(x-4)\Rightarrow x\ne 0,x\ne 4$

• $x^2-4=(x-2)(x+2)\Rightarrow x\ne \pm 2$

• $x^2-1=(x-1)(x+1)\Rightarrow x\ne \pm 1$

ОДЗ записують на початку розв’язування, до будь-яких перетворень. Після того як знайдено корені цілого рівняння, кожен корінь порівнюють з ОДЗ: якщо корінь не входить до ОДЗ, його відкидають як сторонній.

Запам’ятай: ОДЗ — це не просто формальність. Без неї ти ризикуєш записати у відповідь корінь, який перетворює знаменник на нуль, а ділити на нуль не можна.

Найпростіший випадок дробово-раціонального рівняння — коли в одній частині стоїть дріб, а в другій — нуль. Тут діє чітке правило:

$P(x)/Q(x)=0\iff P(x)=0\text{і}Q(x)\ne 0$

Дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Це випливає з означення дробу: нуль, поділений на будь-яке ненульове число, дає нуль, а ділити на нуль не можна.

Приклад 1

Розв’яжіть рівняння $(x^2-9)/(x+3)=0$.

Крок 1. Прирівнюємо чисельник до нуля: $x^2-9=0\Rightarrow x=\pm 3$.

Крок 2. Перевіряємо знаменник: $x+3\ne 0\Rightarrow x\ne -3$.

Крок 3. Корінь $x=-3$ обнуляє знаменник, тому його відкидаємо. Відповідь: $3$.

Приклад 2

Розв’яжіть рівняння $(x^2-5x+6)/(x-2)=0$.

Крок 1. Розкладаємо чисельник на множники: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Прирівнюємо до нуля: $(x-2)(x-3)=0\Rightarrow x=2$ або $x=3$.

Крок 2. Знаменник: $x-2\ne 0\Rightarrow x\ne 2$.

Крок 3. Корінь $x=2$ сторонній. Відповідь: $3$.

Скорочення дробу не скасовує ОДЗ

Іноді здається, що дріб $(x^2-9)/(x+3)$ можна скоротити на $x+3$ і отримати $x-3$. Але це рівносильне перетворення лише за умови $x\ne -3$. Якщо скоротити дріб у рівнянні, не записавши ОДЗ, ти втратиш заборонене значення й можеш помилково включити $x=-3$ до відповіді.

Пам’ятай: скорочення дробу на вираз зі змінною розширює ОДЗ — зникає заборона на значення, за яких цей вираз дорівнює нулю. Завжди фіксуй умову, за якої скорочення законне.

Коли рівняння містить кілька дробів, його зводять до цілого, помноживши обидві частини на найменший спільний знаменник усіх дробів. Це дає змогу позбутися знаменників і отримати многочленове рівняння.

Алгоритм

1. Розкласти знаменники на множники.

2. Записати ОДЗ (усі знаменники відмінні від нуля).

3. Помножити кожен доданок обох частин рівняння на найменший спільний знаменник.

4. Розв’язати отримане ціле рівняння.

5. Відкинути корені, що не входять в ОДЗ.

6. Записати відповідь.

Приклад: сторонній корінь квадратного рівняння

Розв’яжіть рівняння $3/(x-2)+1=12/(x^2-4)$.

Крок 1. Розкладаємо знаменники: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Найменший спільний знаменник: $(x-2)(x+2)$.

Крок 2. ОДЗ: $x-2\ne 0$ і $x+2\ne 0$, тобто $x\ne \pm 2$.

Крок 3. Множимо кожен доданок на $(x-2)(x+2)$:

$3(x+2)+(x^2-4)=12$

Крок 4. Спрощуємо: $3x+6+x^2-4=12\Rightarrow x^2+3x-10=0$.

Крок 5. Розв’язуємо квадратне рівняння: $x^2+3x-10=0\Rightarrow x=2$ або $x=-5$.

Крок 6. $x=2$ не входить в ОДЗ (обнуляє $x-2$), тому відкидаємо. Відповідь: $-5$.

Однакові знаменники

Якщо обидві частини рівняння мають однаковий знаменник, його можна «скоротити», але знову ж таки — з урахуванням ОДЗ.

Приклад: $x^2/(x-2)=4/(x-2)$. Знаменник однаковий, тому за умови $x\ne 2$ маємо $x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$. Корінь $x=2$ не входить в ОДЗ, тому відповідь: $-2$.

Рівняння-пропорція

Рівняння виду $a/b=c/d$ називають пропорцією. Основна властивість пропорції: $a\cdot d=b\cdot c$ за умови $b\ne 0$ і $d\ne 0$. Цю властивість застосовують разом з ОДЗ, а не замість неї.

Наприклад, $(x+1)/(x-3)=12/(x^2-3x)$. Спочатку знаходимо ОДЗ: $x\ne 0$, $x\ne 3$. Потім застосовуємо властивість пропорції: $(x+1)\cdot (x^2-3x)=12\cdot (x-3)$.

Чому з’являється сторонній корінь?

Множення обох частин рівняння на вираз зі змінною — не рівносильне перетворення. Якщо цей вираз може дорівнювати нулю, то нове рівняння може мати корені, яких не було в початковому. Саме тому ОДЗ записують до множення, а знайдені корені перевіряють.

Приклад 1. Рівняння виду P/Q = 0

Завдання: Розв’яжіть рівняння $(x^2+x-12)/(x+4)=0$.

Розв’язання. Розкладаємо чисельник на множники: $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$. Прирівнюємо чисельник до нуля: $(x+4)(x-3)=0\Rightarrow x=-4$ або $x=3$.

Знаменник: $x+4\ne 0\Rightarrow x\ne -4$. Корінь $x=-4$ обнуляє знаменник, тому його відкидаємо.

Відповідь: $3$.

Чому інші варіанти неправильні? Варіант «$-4$» — це корінь, що обнуляє знаменник. Варіант «$-4;3$» містить сторонній корінь. Варіант «$4;-3$» — корені з протилежними знаками, яких взагалі немає. Варіант «коренів немає» — помилковий, бо корінь $3$ існує.

Приклад 2. Зведення до спільного знаменника

Завдання: Розв’яжіть рівняння $x/(x-1)-2/(x+1)=4/(x^2-1)$. У відповідь запишіть число.

Розв’язання. Знаменник $x^2-1=(x-1)(x+1)$. ОДЗ: $x\ne \pm 1$. Найменший спільний знаменник: $(x-1)(x+1)$.

Множимо кожен доданок: $x(x+1)-2(x-1)=4$.

Спрощуємо: $x^2+x-2x+2=4\Rightarrow x^2-x-2=0$.

Розв’язуємо: $x^2-x-2=0\Rightarrow x=2$ або $x=-1$.

Корінь $x=-1$ не входить в ОДЗ (обнуляє $x+1$). Відповідь: $2$.

Пастка: якщо не відкинути $-1$, сума коренів дорівнює $1$, і деякі учні помилково записують $1$.

Приклад 3. Усі корені сторонні

Завдання: Скільки коренів має рівняння $x/(x-2)-8/(x^2-4)=1$?

Розв’язання. Знаменник $x^2-4=(x-2)(x+2)$. ОДЗ: $x\ne \pm 2$. Найменший спільний знаменник: $(x-2)(x+2)$.

Множимо кожен доданок: $x(x+2)-8=(x-2)(x+2)$.

Спрощуємо: $x^2+2x-8=x^2-4\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$.

Корінь $x=2$ не входить в ОДЗ (обнуляє $x-2$). Жодного кореня немає.

Відповідь: жодного.

Пастка: учень бачить один корінь $2$ і обирає «один», не перевіривши ОДЗ.

Приклад 4. Рівняння-пропорція

Завдання: Розв’яжіть рівняння $(x+1)/(x-3)=12/(x^2-3x)$. Якщо коренів кілька, у відповідь запишіть їх суму.

Розв’язання. Знаменник $x^2-3x=x(x-3)$. ОДЗ: $x\ne 0$, $x\ne 3$.

Застосовуємо основну властивість пропорції: $(x+1)\cdot (x^2-3x)=12\cdot (x-3)$.

Спрощуємо: $(x+1)\cdot x(x-3)=12(x-3)$. Скорочуємо на $x-3$ (за умови $x\ne 3$, що вже в ОДЗ): $x(x+1)=12$.

Розв’язуємо: $x^2+x-12=0\Rightarrow x=3$ або $x=-4$.

Корінь $x=3$ не входить в ОДЗ. Залишається $x=-4$. Оскільки корінь один, сума дорівнює $-4$.

Відповідь: $-4$.

Пастка: сума обох коренів ($3$ і $-4$) дорівнює $-1$, і деякі учні записують $-1$, не відкинувши сторонній корінь.

• Залишають у відповіді корінь, що перетворює знаменник на нуль. Наприклад, у рівнянні $(x^2-9)/(x+3)=0$ записують $\pm 3$, хоча $-3$ обнуляє знаменник. Правильно: завжди перевіряй кожен корінь підстановкою в знаменник.

• Записують ОДЗ лише «$x\ne 2$», хоча знаменник $x^2-4$ забороняє й $x=-2$. Причина: не розклали знаменник на множники. Правильно: $x^2-4=(x-2)(x+2)\Rightarrow x\ne \pm 2$.

• Множать на спільний знаменник не всі доданки. Наприклад, у рівнянні $3/(x-2)+1=12/(x^2-4)$ множать лише дроби, а доданок «$1$» залишають без змін. Правильно: множити кожен доданок обох частин.

• Вважають, що дріб дорівнює нулю, коли знаменник дорівнює нулю. Це груба помилка: на нуль ділити не можна, тому дріб з нульовим знаменником взагалі не має змісту. Дріб дорівнює нулю лише коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник — ні.

• Скорочують дріб на $x-3$ і забувають про заборонене значення $x=3$. Скорочення — рівносильне перетворення лише за умови, що вираз, на який скорочують, не дорівнює нулю.

• Множать на добуток усіх знаменників замість найменшого спільного й заплутуються в громіздкому рівнянні. Наприклад, для $1/(x-1)+1/(x+1)=2/(x^2-1)$ спільний знаменник — $(x-1)(x+1)$, а не $(x-1)(x+1)(x^2-1)$.

Програма НМТ з математики (тема 2.1, рівень стандарту) передбачає «найпростіші рівняння з дробовими раціональними … виразами». Означення ОДЗ виразу позначено в темі 1.3 як профільне (П), але без ОДЗ жодне дробове рівняння не розв’язати правильно.

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 14 — скорочення дробового раціонального виразу (тема 1.3). Ті самі навички розкладання знаменника на множники потрібні й тут.

Форми завдань

• Вибір однієї відповіді з п’яти (0 або 1 бал). Серед варіантів може бути сторонній корінь — так перевіряють, чи ти врахував ОДЗ.

• Коротка відповідь (0 або 2 бали, без часткових балів). Потрібно записати одне число — десятковим дробом або цілим.

Стратегія

• Кожен знайдений корінь підстав у всі знаменники початкового рівняння. Якщо хоча б один знаменник дорівнює нулю — корінь сторонній.

• Якщо серед варіантів відповіді є «коренів немає», перевір, чи не всі корені сторонні. Це можливо, коли єдиний корінь цілого рівняння збігається із забороненим значенням.

• У завданнях на коротку відповідь уважно читай, що саме просять: корінь, суму коренів, кількість коренів чи добуток.

• ОДЗ дробово-раціонального рівняння — усі значення змінної, за яких жоден знаменник не дорівнює нулю. Щоб її знайти, розклади знаменники на множники.

• Рівняння виду $P(x)/Q(x)=0$ рівносильне системі $P(x)=0$ і $Q(x)\ne 0$.

• Множ кожен доданок обох частин рівняння на найменший спільний знаменник — отримаєш ціле рівняння.

• Корінь цілого рівняння, що обнуляє хоча б один знаменник, — сторонній. Його відкидають.

• Відповідь «коренів немає» можлива, якщо всі знайдені корені виявилися сторонніми.