Визначення відстані за масштабом карти

Щоб перейти від довжини відрізка на карті до реальної відстані на місцевості, потрібно знати масштаб карти. Найзручніше працювати з іменованим масштабом — він показує, скільки метрів або кілометрів на місцевості відповідає одному сантиметру на карті.

Алгоритм: від числового до іменованого масштабу

Числовий масштаб записано у вигляді дробу, наприклад $1:10000$ або $1:25000$. Знаменник показує, у скільки разів зменшено реальні відстані. Щоб отримати іменований масштаб, поділи знаменник на 100 (бо в 1 м — 100 см) — дізнаєшся, скільки метрів в 1 см карти. Якщо знаменник дуже великий, поділи ще на 1000, щоб отримати кілометри.

Пряма задача: відстань на місцевості

Коли іменований масштаб відомий, відстань на місцевості обчислюють за формулою:

$$\text{відстань на місцевості}=\text{довжина на карті (см)}\times \text{величина масштабу}$$

Приклад 1. На карті масштабу $1:10000$ відрізок між двома точками дорівнює $3,4$ см. Іменований масштаб: в 1 см — 100 м. Величина масштабу — 100 м. Тоді $3,4\cdot 100=340$ м. Відповідь: 340 м.

Приклад 2. Відрізок $2,7$ см на карті $1:25000$. Іменований масштаб: в 1 см — 250 м. $2,7\cdot 250=675$ м.

Приклад 3. Відрізок $4,6$ см на карті $1:200000$. Іменований масштаб: в 1 см — 2 км. $4,6\cdot 2=9,2$ км. Або в метрах: $4,6\cdot 2000=9200$ м. Результат той самий — $9,2$ км = 9200 м.

Результат не залежить від того, у метрах чи кілометрах узято величину масштабу, якщо правильно переведено одиниці. Головне — записати кінцеву відповідь в одиницях, яких вимагає умова.

Обернена задача: довжина відрізка на карті

Іноді відома відстань на місцевості, а треба знайти, скільки сантиметрів вона займе на карті. Формула:

$$\text{довжина на карті (см)}=\frac{\text{відстань на місцевості}}{\text{величина масштабу}}$$

Важливо: відстань на місцевості й величина масштабу мають бути в однакових одиницях. Приклад: відстань 2 км, карта $1:50000$ (в 1 см — 500 м). Переводимо 2 км у метри: 2000 м. Ділимо: $2000:500=4$ см. Відповідь: 4 см.

Ще один приклад: відстань 1,5 км, карта $1:25000$ (в 1 см — 250 м). $1500:250=6$ см.

На топографічних картах завжди є лінійний масштаб — графічна шкала, поділена на основи (зазвичай по 1 см або 2 см). Він дає змогу вимірювати відстані без обчислень, просто прикладаючи циркуль-вимірювач або смужку паперу.

Як працювати з лінійним масштабом

Візьми циркуль-вимірювач і постав його ніжки на дві точки на карті, відстань між якими хочеш визначити. Не змінюючи розхилу, перенеси циркуль на лінійний масштаб. Праве вістря постав на найближчу поділку праворуч від нуля — це будуть цілі основи. Ліве вістря покаже частку основи на дрібних поділках ліворуч від нуля. Сума цих двох величин — шукана відстань.

Якщо немає циркуля, використай смужку паперу: зроби на ній позначки навпроти точок, потім приклади смужку до лінійного масштабу так само — праве вістря (позначку) на цілу поділку, ліву відрахуй на дрібних.

Ніколи не відраховуй від самого лівого краю шкали! Нуль — це поділка, від якої починаються цілі основи праворуч. Ліворуч від нуля розташована лише дрібна частина основи.

Вимірювання звивистих ліній

Дороги, річки, стежки на карті майже ніколи не бувають прямими. Виміряти їхню справжню довжину лінійкою від початку до кінця — груба помилка, бо пряма відстань завжди коротша за звивистий шлях.

Найпростіший спосіб — розбити лінію на майже прямі ділянки. Наприклад, дорогу на карті можна подумки поділити на відрізки, кожен з яких виміряти лінійкою, а потім додати: $1,2+2,5+0,8=4,5$ см. Далі цю суму множиш на величину масштабу — і отримуєш реальну довжину дороги.

Інші способи:

• Курвіметр — спеціальний прилад із коліщатком, яким прокочують уздовж лінії на карті. Стрілка на циферблаті одразу показує відстань.

• Нитка — вологу нитку акуратно викладають уздовж звивистої лінії, потім розпрямляють і вимірюють лінійкою.

Перевірка правдоподібності

На топографічних картах є кілометрова сітка — квадрати зі стороною 1 км. Це чудовий орієнтир для швидкої оцінки. Якщо об'єкти розташовані в сусідніх квадратах, відстань між ними навряд чи перевищує 2–3 км. Якщо твій розрахунок дав 8 км, а об'єкти лежать у сусідніх квадратах — шукай помилку в нулях.

Наприклад, на карті $1:25000$ сторона квадрата сітки — 4 см (бо 1 км = 1000 м, а 1000 м : 250 м/см = 4 см). Візуально оцінивши, скільки таких квадратів уміщається між об'єктами, легко перевірити, чи правдоподібний результат.

Правильний запис відповіді — це не менш важливо, ніж правильне обчислення. На НМТ завдання з короткою відповіддю оцінюють у 0 або 2 бали, і помилка в одиницях вимірювання коштує всіх балів.

Співвідношення одиниць довжини

Запам'ятай три ключові співвідношення:

• $1$ км $=1000$ м $=100000$ см

• $1$ м $=100$ см

• $1$ см $=10$ мм

Переведення з одних одиниць в інші роби до запису кінцевої відповіді, а не на проміжних кроках. Наприклад, якщо ти обчислюєш відстань у метрах, а в умові просять кілометри — спочатку отримай результат у метрах, потім поділи на 1000.

Похибка вимірювання

На карті лінійкою важко виміряти відрізок точніше ніж до 1 мм. Ця похибка в 1 мм на місцевості перетворюється на:

• карта $1:10000$ — 10 м

• карта $1:25000$ — 25 м

• карта $1:50000$ — 50 м

• карта $1:100000$ — 100 м

Тому невелика розбіжність у вимірюванні між двома учнями дає близькі, але не обов'язково однакові результати. Короткі відповіді на НМТ оцінюють 0 або 2 бали, тому вимірюй якомога ретельніше й записуй число точно в одиницях і з точністю, які вимагає інструкція до завдання.

Вимоги умови до формату відповіді

Уважно читай, у яких одиницях і з якою точністю треба подати відповідь:

• «у метрах» — записуєш ціле число або десятковий дріб, наприклад 800 або 675

• «у кілометрах» — записуєш, наприклад, 2,25 або 9,2

• «до десятих кілометра» — округлюєш до одного знака після коми

• «до цілих метрів» — округлюєш до цілого числа

Відповідь у неправильних одиницях хибна навіть за точного вимірювання. Якщо в умові написано «у метрах», а ти записав 2,25 км — відповідь не зарахують.

Округлення

Округлюй лише кінцевий результат, ніколи — проміжні обчислення. Якщо ти спочатку округлиш $2,7$ см до $3$ см, а потім помножиш на 250 м, отримаєш 750 м замість 675 м — похибка аж 75 м! Правило: обчислюй з повною точністю, округли тільки те число, яке записуєш у відповідь.

Розгляньмо чотири типові задачі, які трапляються на НМТ. Кожна з них ілюструє окремий прийом роботи з масштабом.

Приклад 1. Пряма задача — коротка відповідь

Умова: На карті масштабу $1:25000$ відстань між мостом і школою становить $3,2$ см. Скільки метрів між цими об'єктами на місцевості?

Розв'язання:

• Крок 1. Переводимо числовий масштаб в іменований: $1:25000$ означає «в 1 см — 250 м» (бо $25000:100=250$).

• Крок 2. Величина масштабу — 250 м. Множимо довжину на карті на величину масштабу: $3,2\cdot 250=800$.

• Крок 3. Записуємо відповідь у метрах, як вимагає умова: 800.

Відповідь: 800.

Приклад 2. Вибір однієї відповіді — пастка з нулями

Умова: На карті масштабу $1:200000$ відрізок між двома населеними пунктами дорівнює $4,5$ см. Яка відстань між ними на місцевості?

Розв'язання: Іменований масштаб: $1:200000$ → в 1 см — 2 км (бо $200000:100=2000$ м, а $2000$ м = 2 км). Величина масштабу — 2 км. Множимо: $4,5\cdot 2=9$ км.

Відповідь: 9 км.

Чому інші варіанти хибні:

• 90 км — учень прибрав чотири нулі замість п'яти (в 1 см — 20 км) і помножив $4,5$ на 20.

• 900 м — учень помножив $4,5$ на 200, отримав 900, і записав у метрах, хоча мали бути кілометри.

• 0,9 км — учень поділив $4,5$ на 5 замість помножити на 2.

Приклад 3. Звивиста лінія — коротка відповідь

Умова: Дорога на карті масштабу $1:50000$ складається з трьох майже прямих ділянок завдовжки $1,2$ см, $2,5$ см і $0,8$ см. Яка довжина дороги в кілометрах?

Розв'язання:

• Крок 1. Знаходимо суму ділянок: $1,2+2,5+0,8=4,5$ см.

• Крок 2. Переводимо числовий масштаб в іменований: $1:50000$ → в 1 см — 500 м = 0,5 км.

• Крок 3. Множимо суму на величину масштабу в кілометрах: $4,5\cdot 0,5=2,25$ км.

Відповідь: 2,25.

Приклад 4. Обернена задача — вибір однієї відповіді

Умова: Скільки сантиметрів на карті масштабу $1:25000$ займе відрізок завдовжки 1,5 км на місцевості?

Розв'язання: Іменований масштаб: $1:25000$ → в 1 см — 250 м. Переводимо 1,5 км у метри: 1500 м. Ділимо відстань на місцевості на величину масштабу: $1500:250=6$ см.

Відповідь: 6 см.

Чому інші варіанти хибні:

• 60 см — учень помножив 1,5 на 40 (замість поділити 1500 на 250), переплутавши дію.

• 0,6 см — учень поділив 1,5 на 250, не перевівши кілометри в метри.

• 3,75 см — учень поділив 1500 на 400, переплутавши величину масштабу (взяв 400 м замість 250 м).

Навіть якщо ти добре знаєш формулу, на НМТ легко припуститися помилки через неуважність або неправильне переведення одиниць. Ось найпоширеніші пастки.

• Множать на знаменник числового масштабу й записують сантиметри як метри. Наприклад, $3,4\cdot 10000=34000$ і записують «34 000 м» замість 340 м. Пам'ятай: знаменник — це сантиметри, а не метри. Спочатку переведи числовий масштаб в іменований.

• Плутають одиниці в кінцевій відповіді. Умова просить «у метрах», а учень записує 2,25 км. Або навпаки: просить «у кілометрах», а записує 800 м. Перевіряй одиниці щоразу перед тим, як записати відповідь.

• На лінійному масштабі відраховують від лівого краю шкали. Лінійний масштаб має нуль посередині: праворуч — цілі основи, ліворуч — дрібні поділки. Якщо почати відлік від лівого краю, результат буде завищеним.

• Вимірюють звивисту дорогу прямою лінійкою від початку до кінця. Це дає відстань по прямій, яка завжди менша за реальну довжину дороги. Завжди розбивай звивисту лінію на прямі ділянки або використовуй курвіметр чи нитку.

• Округлюють проміжний результат. Якщо округлити $2,7$ см до $3$ см, а потім помножити на 250 м, похибка становитиме 75 м. Округлюй лише кінцеву відповідь.

• В оберненій задачі множать замість ділити. Коли треба знайти довжину на карті за відомою відстанню на місцевості, діли, а не множ. Наприклад, 2 км на карті $1:50000$: $2000:500=4$ см, а не $2000\cdot 500$.

Тема «Визначення відстані за масштабом карти» входить до теми 1.2 «Способи зображення Землі» розділу I програми НМТ з географії: «Визначати за картою й топографічною картою відстані в кілометрах і метрах та розв'язувати задачі за топографічною картою». Це одна з ключових практичних навичок, яку перевіряють у двох форматах.

Завдання 21–24: коротка відповідь за топокартою

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання 21–24 подаються як блок із чотирьох коротких відповідей до фрагмента топографічної карти масштабу $1:25000$. Кожне таке завдання оцінюють у 0 або 2 бали. Серед обчислень, які там потрібні, аналіз програми називає визначення відстані за масштабом.

У короткій відповіді записують лише кінцеве число — без позначок «м», «км», «см» і без пояснень. Розв'язання в чернетці не перевіряють, тому важливо бути уважним під час обчислень і перевіряти одиниці до того, як ввести число в електронну систему тестування.

Завдання 1–20: вибір однієї відповіді

Задачі на відстань за масштабом можуть трапитися й серед завдань 1–20 у форматі вибору однієї відповіді з чотирьох (у демоваріанті 2026 завдання 2 з теми 1.2 стосується градусної сітки). Кожне таке завдання оцінюють в 1 бал. У задачах на масштаб дистрактори часто будують на помилках в одиницях вимірювання або в кількості нулів.

Стратегія виконання

• Запиши іменований масштаб: «в 1 см — … м (км)».

• Помнож довжину відрізка на карті (см) на величину масштабу.

• Перевір одиниці: чи збігаються з тими, що в умові?

• Оціни правдоподібність: скільки кілометрових квадратів уміщається між об'єктами?

• Відстань на місцевості = довжина на карті (см) × величина іменованого масштабу.

• Довжина на карті (см) = відстань на місцевості : величину масштабу.

• Звивисту лінію вимірюють частинами й додають, або використовують курвіметр чи нитку.

• 1 км = 1000 м = 100 000 см; одиниці й точність відповіді бере з умови.

• 1 мм на карті 1 : 25 000 — це 25 м на місцевості.

• Округлюй лише кінцевий результат, ніколи — проміжні обчислення.