Властивості логарифмів і перехід до нової основи

Логарифм перетворює множення на додавання, а ділення — на віднімання. Це головна ідея, яка робить логарифми такими зручними для спрощення виразів. Розгляньмо дві базові формули, які є в довідці НМТ.

Формули логарифма добутку й частки

Для додатних чисел x і y (x > 0, y > 0) і основи a > 0, a ≠ 1 справджуються рівності:

$${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$$$${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$$

Перша формула каже: логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів. Друга: логарифм частки дорівнює різниці логарифмів. Ці формули працюють в обидва боки — і для розкладання складного логарифма на суму, і для згортання суми в один логарифм.

Чому це працює

Пригадай властивість степенів: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Якщо x = aᵐ і y = aⁿ, то xy = aᵐ⁺ⁿ. Тоді logₐ(xy) = m + n = logₐ x + logₐ y. Логарифм ніби «знижує» операцію: множення перетворює на додавання. Так само ділення перетворює на віднімання, бо aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.

Приклади згортання (сума → один логарифм)

Найчастіше на НМТ треба згорнути суму або різницю логарифмів з однаковою основою в один логарифм і обчислити його за означенням.

• log₆ 4 + log₆ 9 = log₆(4 · 9) = log₆ 36 = 2, бо 6² = 36

• lg 200 − lg 2 = lg(200 / 2) = lg 100 = 2, бо 10² = 100

• log₃ 18 − log₃ 2 = log₃(18 / 2) = log₃ 9 = 2

Чого не можна робити

Дуже важливо: для суми аргументів немає формули! logₐ(x + y) ≠ logₐ x + logₐ y. Перевір на числовому прикладі:

• log₂(4 + 4) = log₂ 8 = 3

• log₂ 4 + log₂ 4 = 2 + 2 = 4

• 3 ≠ 4 — отже, формула не працює

Так само не існує формули для logₐ(x − y). Їх не можна розкладати на суму чи різницю логарифмів.

Запам'ятай: логарифм «дружній» до множення й ділення, але не до додавання й віднімання аргументів.

Коли аргумент логарифма сам є степенем, показник можна винести множником. Це друга ключова властивість, яка є в довідці НМТ.

Формула логарифма степеня

Для x > 0, a > 0, a ≠ 1 і будь-якого дійсного k:

$${\log }_a{x}^k=k\cdot {\log }_{a}x$$

Показник степеня аргументу стає множником перед логарифмом. Наприклад:

• log₂ 8⁵ = 5 · log₂ 8 = 5 · 3 = 15

• lg √10 = lg 10^(1/2) = ½ · lg 10 = ½ · 1 = 0,5

Увага: парний показник і від'ємний аргумент

Якщо показник степеня k — парне число, а x може бути від'ємним (але x ≠ 0), то xᵏ > 0, і логарифм існує. У такому разі:

$${\log }_a{x}^2=2{\log }_a|x|$$

Модуль захищає від втрати знака. Наприклад, log₂(−3) не існує, але log₂ 9 = 2 log₂ 3. Якщо записати 2 log₂(−3) — це помилка, бо логарифм від'ємного числа не визначений.

Внесення коефіцієнта як показника

Формула працює й у зворотний бік: множник перед логарифмом можна «внести» як показник аргументу. Це допомагає згортати вирази:

• 2 log₅ 10 − log₅ 4 = log₅ 10² − log₅ 4 = log₅ 100 − log₅ 4 = log₅(100/4) = log₅ 25 = 2

• ½ log₃ 81 = log₃ 81^(½) = log₃ 9 = 2

Основа-степінь: log з основою aᵏ

Коли основа сама є степенем, використовуй формулу, яка є в довідці НМТ:

$${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}\cdot {\log }_{a}b(a>0,a\ne 1,b>0,k\ne 0)$$

Зверни увагу: множник 1/k, а не k. Поширена помилка — помножити на k замість поділити. Розгляньмо приклади:

• log₈ 32 = log_{2³} 2⁵ = 5/3 (правильно)

• log₉ 27 = log_{3²} 3³ = 3/2

• log_{√3} 9 = log_{3^(½)} 3² = 2 / (½) = 4

Не плутай: (logₐ x)² ≠ 2 logₐ x

Квадрат логарифма — це зовсім інша річ, ніж подвоєний логарифм. (logₐ x)² означає, що спочатку обчислюють логарифм, а потім підносять результат до квадрата. А 2 logₐ x — це логарифм, помножений на 2.

Для lg 100 значення збіглися випадково (бо 2² = 2·2), але для lg 1000 вже 9 ≠ 6. Ніколи не плутай ці вирази.

Іноді логарифми мають різні основи, і їх неможливо спростити без зміни основи. Для цього існує формула переходу до нової основи. Її немає в довідці НМТ, тому її треба вміти виводити або запам'ятати.

Формула переходу до нової основи

Для a > 0, a ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, b > 0:

$${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$$

Формулу виводять з основної логарифмічної тотожності a^(logₐ b) = b. Прологарифмуй обидві частини за новою основою c — і отримаєш log_c b = log_c a · logₐ b, звідки й випливає формула.

Наслідки формули

З формули переходу випливають три важливі наслідки:

• logₐ b = 1 / log_b a — оберненість логарифмів

• logₐ b · log_b a = 1 — добуток взаємно обернених логарифмів дорівнює 1

• logₐ b · log_b c = logₐ c — ланцюжок переходу через проміжну основу

Приклад на наслідок:

$${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}8={\log }_{2}8=3$$

Тут ми перемножили логарифми з різними основами, скориставшись тим, що log₂ 3 · log₃ 8 = log₂ 8.

Частка логарифмів — це не логарифм частки

Поширена помилка: замінювати частку логарифмів на логарифм частки. Наприклад:

• lg 8 / lg 2 ≠ lg(8/2) = lg 4

• Правильно: lg 8 / lg 2 = log₂ 8 = 3 (за формулою переходу до нової основи)

Частка логарифмів з однаковою основою — це перехід до нової основи, а не логарифм частки.

Вираження логарифма через заданий

Такі завдання трапляються в тестах з математики. Дано значення одного логарифма — треба виразити через нього інший.

Приклад: log₂ 3 = a. Виразити log₂ 18.

Розв'язання: розкладаємо 18 на множники: 18 = 2 · 3². Тоді:

$${\log }_{2}18={\log }_2(2\cdot 3^2)={\log }_{2}2+{\log }_2{3}^2=1+2{\log }_{2}3=1+2a$$

Інші приклади:

• log₂ 12 = log₂(2² · 3) = 2 + a

• log₃ 2 = 1 / log₂ 3 = 1/a

• Якщо lg 2 = m, то lg 5 = lg(10/2) = lg 10 − lg 2 = 1 − m

У реальних завданнях НМТ логарифмічні вирази рідко бувають простими — вони поєднують кілька властивостей одночасно. Тут стане в пригоді чіткий алгоритм.

Алгоритм спрощення складених логарифмічних виразів

• Звести всі логарифми до однієї основи (за формулою переходу)

• Унести коефіцієнти як показники аргументів

• Зібрати суму/різницю в один логарифм (добуток/частка)

• Обчислити отриманий логарифм за означенням або основною тотожністю

Приклад 1: різниця логарифмів і перехід до іншої основи

Обчислити (log₂ 48 − log₂ 3) · log₄ 2.

Крок 1. Згортаємо різницю: log₂ 48 − log₂ 3 = log₂(48/3) = log₂ 16 = 4.

Крок 2. Обчислюємо log₄ 2: за формулою основи-степеня 4 = 2², тому log₄ 2 = ½.

Крок 3. Множимо: 4 · ½ = 2.

Приклад 2: сума логарифмів у чисельнику й знаменнику

Обчислити (lg 8 + lg 18) / (2 lg 2 + lg 3).

Крок 1. Чисельник: lg 8 + lg 18 = lg(8 · 18) = lg 144.

Крок 2. Знаменник: 2 lg 2 + lg 3 = lg 2² + lg 3 = lg 4 + lg 3 = lg(4 · 3) = lg 12.

Крок 3. Маємо lg 144 / lg 12. За формулою переходу до нової основи це log₁₂ 144 = 2, бо 12² = 144.

Відповідь: 2.

Основна тотожність разом з властивостями

Основна логарифмічна тотожність a^(logₐ b) = b часто поєднується з властивостями логарифмів.

Приклад 3: обчислити 36^(log₆ 5).

Зауваж, що 36 = 6². Тоді:

$$36^{{\log }_{6}5}=(6^2{)}^{{\log }_{6}5}=6^{2{\log }_{6}5}=6^{{\log }_6{5}^2}=5^2=25$$

Приклад 4: обчислити 10^(1 − lg 4).

$$10^{1-\lg 4}=\frac{10^1}{10^{\lg 4}}=\frac{10}{4}=2,5$$

Пам'ятай: основна тотожність a^(logₐ b) = b — це твій головний інструмент, коли логарифм стоїть у показнику степеня.

Розгляньмо чотири типові завдання НМТ на властивості логарифмів — з детальним розв'язанням і поясненням, чому інші варіанти неправильні.

Приклад 1. Обчислити log₆ 4 + log₆ 9

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти.

Розв'язання. За формулою логарифма добутку: log₆ 4 + log₆ 9 = log₆(4 · 9) = log₆ 36. Оскільки 6² = 36, то log₆ 36 = 2.

Відповідь: 2.

Чому інші варіанти неправильні:

• log₆ 13 — помилка: додали аргументи замість перемножити (log₆(4 + 9) замість log₆(4 · 9))

• 36 — це значення аргументу, а не логарифма

• 6 — log₆ 36 = 2, а не 6

• 1 — log₆ 6 = 1, але тут маємо log₆ 36

Приклад 2. Обчислити (lg 8 + lg 18) / (2 lg 2 + lg 3)

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти.

Розв'язання. Чисельник: lg 8 + lg 18 = lg(8 · 18) = lg 144. Знаменник: 2 lg 2 + lg 3 = lg 2² + lg 3 = lg 4 + lg 3 = lg(4 · 3) = lg 12. Отже, маємо lg 144 / lg 12. За формулою переходу до нової основи це log₁₂ 144. Оскільки 12² = 144, то log₁₂ 144 = 2.

Відповідь: 2.

Чому інші варіанти неправильні:

• lg 12 — помилка: частку логарифмів замінено логарифмом частки (lg(144/12) = lg 12)

• 12 — це значення аргументу, а не логарифма

• 1 — log₁₂ 12 = 1, але маємо log₁₂ 144

• 5 — результат довільних неправильних перетворень

Приклад 3. Логічні пари: вираз ↔ значення

Установи відповідність між виразами (1–3) та їхніми значеннями (А–Д).

Розв'язання.

1) log₂ 3 · log₃ 8 = log₂ 8 = 3 (за наслідком формули переходу: logₐ b · log_b c = logₐ c). Отже, 1 → А.

2) log₈ 32 = log_{2³} 2⁵ = 5/3 (за формулою основи-степеня). Отже, 2 → Б.

3) 36^(log₆ 5) = (6²)^(log₆ 5) = 6^(2 log₆ 5) = 6^(log₆ 5²) = 5² = 25. Отже, 3 → В.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Приклад 4. Виразити log₂ 18 через a, якщо log₂ 3 = a

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти.

Розв'язання. Розкладаємо 18 на множники: 18 = 2 · 3². Тоді:

$${\log }_{2}18={\log }_2(2\cdot 3^2)={\log }_{2}2+{\log }_2{3}^2=1+2{\log }_{2}3=1+2a$$

Відповідь: 1 + 2a.

Чому інші варіанти неправильні:

• 2 + a — так було б, якби 18 = 4 · 3 = 2² · 3, але 18 = 2 · 9 = 2 · 3²

• 1 + a² — квадрат логарифма, а не подвоєний логарифм

• 2a + 2 — подвоєна одиниця замість 1 + 2a

• 6a — log₂ 3⁶ = 6a, але 18 ≠ 3⁶

На НМТ перевіряють не лише вміння застосовувати формули, а й здатність помітити пастку. Ось найпоширеніші помилки, яких варто уникати.

• logₐ(x + y) = logₐ x + logₐ y — це НЕПРАВИЛЬНО. Формула логарифма добутку працює лише для множення, а не для додавання. Правильно: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y.

• Частку логарифмів lg 8 / lg 2 замінюють логарифмом частки lg(8/2) = lg 4. Це помилка: lg 8 / lg 2 = log₂ 8 = 3 за формулою переходу до нової основи.

• (logₐ x)² плутають з 2 logₐ x. Квадрат логарифма — це (logₐ x)·(logₐ x), а подвоєний логарифм — 2·logₐ x. Вони збігаються лише коли logₐ x = 0 або logₐ x = 2.

• У формулі для основи aᵏ помилково множать на k замість ділити: log₈ 32 = 3·5 = 15. Правильно: log_{2³} 2⁵ = 5/3.

• Властивості логарифмів застосовують до логарифмів з різними основами без попереднього переходу до однієї основи. Наприклад, log₂ 5 + log₃ 7 не можна згорнути в один логарифм, доки не зведено до спільної основи.

• logₐ x² = 2 logₐ x записують для від'ємного x, забуваючи про модуль. Правильно: logₐ x² = 2 logₐ |x|, бо логарифм існує лише для додатних аргументів.

Властивості логарифмів належать до теми 1.3 програми НМТ з математики. Розуміння того, як саме їх перевіряють, допоможе ефективно розподілити час на іспиті.

Формати завдань

• Завдання № 4–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), 0 або 1 бал. Типове формулювання: «Обчислити log₆ 4 + log₆ 9» або «Якщо log₂ 3 = a, то log₂ 18 дорівнює…»

• Завдання № 17 — «логічні пари»: три вирази (1–3) і п'ять значень (А–Д), два з яких зайві. Кожна правильна пара дає 1 бал, максимум 3 бали. Приклад: установити відповідність між логарифмічними виразами та їхніми значеннями.

Що можна використовувати з довідки

У довідці НМТ є такі формули:

• Логарифм добутку: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y

• Логарифм частки: logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y

• Логарифм степеня: logₐ xᵏ = k · logₐ x

• Основна логарифмічна тотожність: a^(logₐ b) = b

• Формула для основи aᵏ: log_{aᵏ} b = (1/k) · logₐ b

Загальної формули переходу до нової основи в довідці немає — її треба або запам'ятати, або вміти вивести з основної тотожності.

Де ще знадобляться властивості логарифмів

Властивості логарифмів потрібні не лише в завданнях на обчислення виразів. Вони є ключовим інструментом для розв'язування логарифмічних рівнянь (тема 2.1 програми). Наприклад, у демоваріанті НМТ 2026 року завдання № 4 — найпростіше логарифмічне рівняння.

Порада: на НМТ спочатку перевір, чи можна згорнути суму/різницю логарифмів в один. Якщо основи різні — застосуй формулу переходу. Якщо вираз складний — рухайся за алгоритмом: звести основи → внести коефіцієнти → згорнути → обчислити.

• Логарифм добутку — сума логарифмів: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y

• Логарифм частки — різниця логарифмів: logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y

• Показник степеня аргументу виносимо множником: logₐ xᵏ = k · logₐ x

• Основа aᵏ дає множник 1/k: log_{aᵏ} b = (1/k) · logₐ b

• Формула переходу до нової основи: logₐ b = log_c b / log_c a

• Наслідок: logₐ b · log_b a = 1

• Для суми й різниці аргументів (logₐ(x ± y)) формул немає — не плутай!