Типові завдання НМТ: вирази

Раціональний дріб — це дріб виду P(x)/Q(x), де P(x) і Q(x) — многочлени. Скорочувати такий дріб можна лише після того, як чисельник і знаменник розкладено на множники, — скорочують множники, а не доданки.

Скорочення дробу

Розгляньмо приклад, подібний до завдання № 14 демоваріанта НМТ-2026:

Скоротіть дріб ${}(x^2 - 25)/(x^2 + 5x)$.

Розкладаємо чисельник за формулою різниці квадратів: $x^2-25=(x-5)(x+5)$. У знаменнику виносимо спільний множник $x$: $x^2+5x=x(x+5)$. Тоді:

$$\frac{(x-5)(x+5)}{x(x+5)}=\frac{x-5}{x}$$

Скоротили спільний множник $(x + 5)$. Відповідь — ${}(x - 5)/x$. Вираз має зміст (тобто його можна обчислити) за умови, що знаменник не дорівнює нулю: $x \neq 0$ і $x \neq -5$ — це область допустимих значень (ОДЗ). Поза ОДЗ дріб втрачає зміст.

Розклад на множники

Щоб скоротити дріб, потрібно вміти розкладати многочлени на множники трьома основними способами:

• Винесення спільного множника за дужки: $3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$

• Формули скороченого множення (є в довідці НМТ): $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$; $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

• Розклад квадратного тричлена: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, де $x_1$, $x_2$ — корені рівняння $ax^2 + bx + c = 0$

Приклад: ${}(x^2 - 5x + 6)/(x^2 - 9)$. Квадратний тричлен $x^2 - 5x + 6$ має корені $x_1 = 2$, $x_2 = 3$ (бо $2 + 3 = 5$, $2 \cdot 3 = 6$), отже $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Знаменник — різниця квадратів: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Скорочуємо $(x - 3)$:

$$\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x-2}{x+3}$$

Дії з дробами: додавання й віднімання

Щоб додати або відняти раціональні дроби, зводять їх до спільного знаменника.

Приклад: обчисліть ${}1/(a - 2) - 4/(a^2 - 4)$. Помічаємо, що $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$. Спільний знаменник — $(a - 2)(a + 2)$. Зводимо:

$$\frac{1}{a-2}-\frac{4}{(a-2)(a+2)}=\frac{a+2-4}{(a-2)(a+2)}=\frac{a-2}{(a-2)(a+2)}=\frac{1}{a+2}$$

Протилежні множники

Запам'ятай: $b - a = -(a - b)$. Це часто допомагає скоротити дріб:

$$\frac{a-b}{b-a}=\frac{a-b}{-(a-b)}=-1$$

Так само ${}(x - y)/(y - x) = -1$. Якщо в чисельнику й знаменнику стоять протилежні множники, дріб дорівнює $-1$ — але не забудь перевірити, чи не нульовий знаменник!

У завданнях НМТ трапляються вирази, що містять степені з раціональним показником, корені та логарифми. Головне правило — застосовувати властивості, наведені в довідці, та слідкувати за модулем.

Степені з раціональним показником

Нагадаємо: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$; $(a^{m})^{n} = a^{mn}$; $a^{m} : a^{n} = a^{m-n}$. Ці властивості працюють і для дробових показників.

Приклади:

• $a^{2/3}\cdot a^{1/3}=a^{2/3+1/3}=a^1=a$

• $(a^{3/4}{)}^8=a^{3/4\cdot 8}=a^6$

• $\sqrt[4]{a^8}=a^{8/4}=a^2$ (корінь 4-го степеня — це степінь $1/4$)

Квадратний корінь і модуль

Найпоширеніша пастка: $\sqrt{a^{2}} = |a|$, а не $a$. Арифметичний квадратний корінь завжди невід'ємний.

• Якщо $a \ge 0$, то $\sqrt{a^{2}} = a$

• Якщо $a < 0$, то $\sqrt{a^{2}} = -a$ (наприклад, $\sqrt{(-3)^{2}} = \sqrt{9} = 3 = -(-3)$

Приклад із змінною: спростіть $\sqrt{(x - 3)^{2}}$ за умови $x < 3$. Оскільки $x - 3 < 0$, маємо $\sqrt{(x - 3)^{2}} = -(x - 3) = 3 - x$.

Різниця квадратів із коренями

Якщо вираз містить квадратні корені, застосовуй формули скороченого множення:

• $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$

• $\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ (після домноження чисельника й знаменника на спряжений вираз)

Логарифми зі змінною

Логарифми означені тільки для додатних основ (a > 0, a ≠ 1) і додатних аргументів. Основні властивості з довідки:

• ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$

• ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$

• $a^{{\log }_{a}b}=b$

Приклади:

• ${\log }_2(8a)-{\log }_{2}a={\log }_{2}8+{\log }_{2}a-{\log }_{2}a={\log }_{2}8=3$

• ${\log }_3{a}^2=2{\log }_{3}a$ (при a > 0)

• $10^{\lg a}=a$ — основна логарифмічна тотожність при a > 0

Увага: $\log_{a}(b + c) \neq \log_{a} b + \log_{a} c$! Логарифм суми не дорівнює сумі логарифмів. Це одна з найчастіших помилок типу «властивість».

Тригонометричні вирази на НМТ спрощують за допомогою основних тотожностей, які є в довідці, та формул додавання, яких у довідці немає — їх треба знати напам'ять.

Основна тригонометрична тотожність

Для будь-якого кута α виконується:

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

Звідси:

• $1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$

• $(1-\sin \alpha )(1+\sin \alpha )=1-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$

• ${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha )({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )={\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha =-\cos 2\alpha$

Формули подвійного кута

У довідці НМТ є формули:

• $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

• $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$

Приклад: спростіть ${}\sin 2\alpha / (1 + \cos 2\alpha)$.

$$\frac{\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{2{\cos }^2\alpha }=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\mathrm{tg}\alpha$$

Формули зведення

Формули зведення для кутів $90^{\circ} + \alpha$ (π/2 + α) і $180^{\circ} - \alpha$ (π − α) є в довідці НМТ.

Приклади зі змінною:

• $\sin (\pi -\alpha )+\cos (\pi /2+\alpha )=\sin \alpha -\sin \alpha =0$

• $\mathrm{tg}(\pi +\alpha )=\mathrm{tg}\alpha$

Уважно стеж за знаком у формулах зведення! $\cos(\pi/2 + \alpha) = -\sin\alpha$, а не $\sin\alpha$. Помилка у знаку — один із типових «підводних каменів».

Формули додавання — напам'ять

У довідці НМТ немає формул додавання. Їх обов'язково треба пам'ятати:

• $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

• $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

Ці формули не виводять на тесті — їх просто застосовують до готових числових кутів, тому вивчи їх заздалегідь.

Навіть якщо ти впевнений у перетворенні, варто перевірити результат. На НМТ для цього є простий прийом — частинне значення змінної.

Метод частинного значення

Візьми одне зручне число з ОДЗ, підстав його у вихідний вираз і в отриманий результат. Якщо значення збігаються — перетворення правильне.

Наприклад, спростили ${}(3x^{2} - 12)/(x^{2} + 2x)$ до ${}3(x - 2)/x$. Беремо $x = 4$ (входить в ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq -2$):

Вихідний: ${}(3 \cdot 4^{2} - 12)/(4^{2} + 2 \cdot 4) = (48 - 12)/(16 + 8) = 36/24 = 3/2$

Результат: ${}3(4 - 2)/4 = 3 \cdot 2/4 = 3/2$

Збіглося — молодці!

Три типи помилок

Класифікація допомагає швидко знайти причину неправильної відповіді:

Як працювати зі змішаною серією

У завданні на відповідність № 17 дають три різні вирази — раціональний, степеневий, логарифмічний або тригонометричний. Стратегія:

1. Визнач тип кожного виразу (раціональний дріб / степінь / логарифм / тригонометрія).

2. Згадай властивість, яка потрібна для спрощення.

3. Спрости окремо кожен вираз.

4. Перевір кожен результат частинним значенням.

5. Зістав три відповіді з варіантами А–Д.

Не намагайся вгадати відповідність цілісно: спрощуй кожен вираз незалежно.

Розв'яжемо чотири типові завдання НМТ — три з вибором однієї відповіді й одне на відповідність.

Приклад 1. Скорочення дробово-раціонального виразу

Скоротіть дріб ${}(3x^{2} - 12)/(x^{2} + 2x)$.

Варіанти відповіді: А) ${}(x - 2)/x$; Б) ${}3(x + 2)/x$; В) ${}3(x - 2)/x$; Г) ${}3(x - 2)/(x + 2)$; Д) ${}(3x - 12)/(2x)$.

Крок 1. Розкладаємо чисельник: $3x^{2} - 12 = 3(x^{2} - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$.

Крок 2. Розкладаємо знаменник: $x^{2} + 2x = x(x + 2)$.

Крок 3. Скорочуємо спільний множник $(x + 2)$:

$$\frac{3(x-2)(x+2)}{x(x+2)}=\frac{3(x-2)}{x}$$

Відповідь: В) ${}3(x - 2)/x$.

Розбір дистракторів:

• А) ${}(x - 2)/x$ — забули множник 3, винесений за дужки.

• Б) ${}3(x + 2)/x$ — неправильно розклали різницю квадратів (залишили $x + 2$ замість $x - 2$).

• Г) ${}3(x - 2)/(x + 2)$ — скоротили $x$ замість $x + 2$.

• Д) ${}(3x - 12)/(2x)$ — скоротили доданки $x^{2}$ і $x^{2}$, а не множники (груба помилка).

Приклад 2. Ірраціональний вираз

Спростіть вираз ${}(a - 9)/(\sqrt{a} + 3)$.

Варіанти: А) $\sqrt{a} + 3$; Б) $\sqrt{a} - 3$; В) $a - 3$; Г) $\sqrt{a} - 9$; Д) ${}1/(\sqrt{a} - 3)$.

Крок 1. Помічаємо, що $a - 9 = (\sqrt{a})^{2} - 3^{2} = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$ — різниця квадратів.

Крок 2. Скорочуємо спільний множник $(\sqrt{a} + 3)$:

$$\frac{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)}{\sqrt{a}+3}=\sqrt{a}-3$$

Відповідь: Б) $\sqrt{a} - 3$.

Перевірка: візьмемо $a = 16$ (ОДЗ: $a \ge 0$). Вихідний: ${}(16 - 9)/(4 + 3) = 7/7 = 1$. Результат: $4 - 3 = 1$. Збіг!

Розбір дистракторів: А) $\sqrt{a} + 3$ — переплутали знак; В) $a - 3$ — не помітили коренів; Г) $\sqrt{a} - 9$ — скоротили доданки «a» і «9» окремо; Д) ${}1/(\sqrt{a} - 3)$ — перевернули дріб.

Приклад 3. Тригонометричний вираз

Спростіть вираз ${}(\sin\alpha + \cos\alpha)^{2} - \sin 2\alpha$.

Варіанти: А) $1 - \sin 2\alpha$; Б) $0$; В) $1$; Г) $\cos 2\alpha$; Д) $2$.

Крок 1. Розкриваємо квадрат суми: $(\sin\alpha + \cos\alpha)^{2} = \sin^{2}\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^{2}\alpha$.

Крок 2. Застосовуємо основну тотожність: $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$. Маємо $1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Крок 3. $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$. Отже, $1 + \sin 2\alpha - \sin 2\alpha = 1$.

Відповідь: В) 1.

Розбір дистракторів: А) $1 - \sin 2\alpha$ — помилка «властивість»: квадрат суми взяли як суму квадратів; Б) 0 — загубили одиницю; Г) $\cos 2\alpha$ — сплутали подвійний кут; Д) 2 — подвоїли одиницю.

Приклад 4. Відповідність 1–3 → А–Д

Установіть відповідність між виразами (1–3) та їхніми значеннями (А–Д).

Розв'язання:

Вираз 1: $\log_{2}(4x) - \log_{2} x = \log_{2}\dfrac{4x}{x} = \log_{2} 4 = 2$. Отже, 1 → А.

Вираз 2: $x^{1/2} \cdot x^{3/2} = x^{1/2 + 3/2} = x^{2}$; потім $x^{2} : x^{2} = 1$. Отже, 2 → Б.

Вираз 3: за умови $x < 5$ маємо $x - 5 < 0$, тому $\sqrt{(x - 5)^{2}} = |x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$. Тоді $(5 - x) + x = 5$. Отже, 3 → В.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В. Варіант Г $2x - 5$ виникає, якщо розкрити модуль як $x - 5$ без урахування знака.

Нижче — найпоширеніші помилки, яких припускаються на НМТ під час спрощення виразів. Запам'ятай їх, щоб не втратити бали.

• Скорочувати доданки, а не множники. Приклад: ${}(x^{2} + 2x)/x^{2} \neq 2x$. Скорочувати можна лише множники, тому спершу розкладай чисельник і знаменник.

• Губити множник, винесений за дужки. У виразі ${}(3x^{2} - 12)$ виносять 3: ${}3(x^{2} - 4)$. Після скорочення трійку не можна відкидати.

• Писати $\sqrt{a^{2}} = a$ без модуля. Це правильно лише при $a \ge 0$. Якщо знак змінної невідомий або задано умову $a < 0$, то $\sqrt{a^{2}} = -a$. Приклад: $\sqrt{(x - 5)^{2}}$ при $x < 5$ дорівнює $5 - x$, а не $x - 5$.

• Вважати $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ і $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Це неіснуючі «властивості». Квадрат суми розкривають за формулою, а корінь із суми не розкладається.

• Змінювати знак лише першого доданка чисельника, коли перед дробом стоїть мінус. Правильно: $-\dfrac{a - b}{c} = \dfrac{-a + b}{c}$, а не $\dfrac{-a - b}{c}$.

• Брати для перевірки значення поза ОДЗ. Наприклад, для знаменника $x(x + 2)$ не можна брати $x = 0$ або $x = -2$ — на нуль ділити не можна.

• Шукати формулу $\sin(\alpha + \beta)$ у довідці НМТ — її там немає. Формули додавання треба знати напам'ять.

Перетворення виразів — одна з наскрізних тем НМТ з математики. Розгляньмо, у яких завданнях і в якій формі її перевіряють.

Завдання в демоваріанті 2026 року

За аналізом програми, тема 1.3 дає в середньому близько 2–3 завдань на тест (у вибірці 2023–2024 років). При цьому перетворення раціональних виразів названо серед типових «втрат балів» на простих завданнях.

Форми завдань

• Завдання 1–15: вибір однієї правильної відповіді з п'яти. 0 балів або 1 бал.

• Завдання 16–18: логічні пари (відповідність). Три вирази ліворуч (1–3) і п'ять варіантів праворуч (А–Д, два зайві). До 3 балів, по 1 балу за кожну правильно встановлену пару.

Що є в довідці НМТ

Під час тесту ти матимеш доступ до довідки, яка містить:

• Формули скороченого множення (різниця квадратів, квадрат суми/різниці)

• Розклад квадратного тричлена на множники

• Властивості степенів і коренів

• Властивості логарифмів

• Основні тригонометричні тотожності, формули подвійного кута, формули зведення для $90^{\circ} + \alpha$ і $180^{\circ} - \alpha$

Важливо: формул додавання немає в довідці. $\sin(\alpha + \beta)$, $\cos(\alpha - \beta)$ та похідні від них треба знати напам'ять.

Рекомендована стратегія

1. Прочитай вираз — визнач його тип.

2. Застосуй властивість із довідки (або з пам'яті — для формул додавання).

3. Спрости покроково, не пропускаючи проміжних дій.

4. Перевір результат частинним значенням з ОДЗ.

5. У відповідності (№ 16–18) спрощуй кожен вираз окремо.

Короткі відповіді на найпоширеніші запитання.

• Скорочують лише множники: спершу розклади чисельник і знаменник на множники (винесення, формули скороченого множення, корені квадратного тричлена).

• $\sqrt{a^2}=|a|$ — ніколи не забувай про модуль!

• Мінус перед дробом змінює знак усього чисельника, а не лише першого доданка.

• Формули додавання — напам'ять, їх немає в довідці НМТ.

• Перевіряй результат частинним значенням змінної з ОДЗ.

• Класифікуй помилки за трьома типами: «властивість», «знак», «ОДЗ».