Теорема синусів

Досі в курсі геометрії ти переважно мав справу з гострими кутами — їхні синуси, косинуси й тангенси ти вивчав у прямокутному трикутнику. Але в довільному трикутнику один із кутів може бути тупим (більшим за 90°). Наприклад, у трикутнику з кутами 105°, 45° і 30° перший кут тупий. Синус тупого кута так само потрібен для розв'язування трикутників, і він завжди додатний.

Формула зведення, яку ти знайдеш у довідкових матеріалах НМТ, каже:

$\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$

Це означає, що синус тупого кута дорівнює синусу доповняльного до 180° гострого кута. Наприклад:

• $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-60^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

• $\sin 135^{\circ }=\sin (180^{\circ }-45^{\circ })=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$

• $\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$

Кут 90° — не гострий і не тупий, а прямий. Його синус дорівнює 1, і це також узгоджується з формулою: $\sin 90^{\circ }=1$.

Чому синус тупого кута додатний?

На одиничному колі синус кута — це координата y точки на колі. Для кутів від 0° до 180° ця координата невід'ємна. У трикутнику кути лежать у межах від 0° до 180° (сума кутів 180°), тому синус будь-якого кута трикутника — додатне число. Це важливо пам'ятати: коли обчислюєш синус кута 120°, ти не отримаєш від'ємного значення.

Однакові синуси — різні кути

Оскільки $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$, один і той самий синус можуть мати два різні кути: гострий $\alpha$ і тупий $180^{\circ }-\alpha$. Наприклад, $\sin 30^{\circ }=\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$. Це явище породжує неоднозначність, яку ти навчишся розв'язувати далі в цьому юніті.

Таблиця синусів опорних кутів

Для успішного застосування теореми синусів тобі потрібно швидко називати синуси таких кутів. Вивчи цю таблицю — вона буде інструментом для всіх задач юніта:

Зверни увагу: sin 120° = sin 60° = √3/2, а sin 150° = sin 30° = 1/2. Це прямі наслідки формули зведення.

Теорема синусів — одне з найпотужніших тверджень планіметрії. Вона пов'язує сторони трикутника з синусами протилежних кутів і з радіусом описаного кола.

Формулювання

Для довільного трикутника ABC зі сторонами a, b, c (a лежить проти кута A, b — проти B, c — проти C) і радіусом описаного кола R виконується:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

Цю формулу ти знайдеш у довідкових матеріалах НМТ. Кожен із трьох дробів дорівнює діаметру описаного кола. Рівність справджується для будь-якого трикутника — гострокутного, прямокутного чи тупокутного.

Сторони пропорційні синусам, а не кутам

Часта помилка — вважати, що сторони відносяться як кути. Це не так. Сторони відносяться як синуси протилежних кутів. Наприклад, якщо кути трикутника дорівнюють 30° і 60°, то відношення протилежних сторін дорівнює $\frac{\sin 30^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, а не 1 : 2. Проти більшого кута справді лежить більша сторона, але пряма пропорційність кутів не працює.

Радіус описаного кола через сторону й протилежний кут

З рівності $\frac{a}{\sin A}=2R$ одразу отримуємо спосіб знайти радіус описаного кола:

$$R=\frac{a}{2\sin A}$$

Розгляньмо кілька прикладів:

• Сторона 10 лежить проти кута 30°. Тоді $R=\frac{10}{2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{10}{1}=10$.

• Сторона 6 лежить проти кута 120°. Маємо $R=\frac{6}{2\cdot \sin 120^{\circ }}=\frac{6}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$.

• Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 8, а прямий кут 90°. Тоді $R=\frac{8}{2\cdot 1}=4$. Це відома властивість: у прямокутному трикутнику радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи.

Обернена задача: сторона через радіус і кут

Формулу можна переписати як $a=2R\sin A$. Якщо відомі радіус описаного кола й кут, протилежний шуканій стороні, то сторону знаходять множенням.

• Приклад: R = 5, ∠A = 45°. Тоді $a=2\cdot 5\cdot \sin 45^{\circ }=10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$.

• Приклад: R = 6, ∠B = 60°. Тоді $b=2\cdot 6\cdot \sin 60^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$.

Теорема синусів — універсальний інструмент, але вона підходить не для всіх задач. Навчися розпізнавати ситуації, у яких вона працює, і ті, де вона безсила.

Випадок 1. Відомі два кути й сторона

Це найпростіший випадок. Знаючи два кути, завжди можна знайти третій як 180° − (A + B). Після цього маєш три кути й одну сторону — решту сторін знаходиш пропорцією.

Приклад: ∠A = 45°, ∠B = 60°, a = 6√2. Спершу знаходимо ∠C = 180° − 45° − 60° = 75°. Але нам потрібна сторона b, яка лежить проти кута B. Складаємо пропорцію:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ }}=\frac{b}{\sin 60^{\circ }}$$

$$b=\frac{6\sqrt{2}\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=6\sqrt{3}$$

Випадок 2. Відомі дві сторони й кут проти однієї з них

Тут треба бути обережним — можлива неоднозначність. Нехай a = 6, b = 6√2, ∠A = 30°. За теоремою синусів:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow \frac{6}{\frac{1}{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sin B}\Rightarrow 12=\frac{6\sqrt{2}}{\sin B}\Rightarrow \sin B=\frac{6\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Оскільки $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$, можливі два варіанти: ∠B = 45° або ∠B = 135°. Перевіряємо:

• Якщо ∠B = 45°, то ∠C = 180° − 30° − 45° = 105° — трикутник існує.

• Якщо ∠B = 135°, то ∠C = 180° − 30° − 135° = 15° — трикутник також існує.

Отже, маємо два різні трикутники — обидва задовольняють умову. Це називають «неоднозначним випадком» (або «випадком двох розв'язків»).

Інша ситуація: a = 10, b = 5, ∠A = 30°. Тоді:

$$\frac{10}{\frac{1}{2}}=\frac{5}{\sin B}\Rightarrow 20=\frac{5}{\sin B}\Rightarrow \sin B=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$$

∠B = arcsin(0,25) ≈ 14,5°. Тупий варіант 180° − 14,5° = 165,5° неможливий, бо 30° + 165,5° > 180°. До того ж сторона b = 5 менша за a = 10, а проти меншої сторони лежить менший кут, тому ∠B має бути меншим за ∠A = 30°. Отже, ∠B лише гострий.

Коли теорема синусів не допомагає

Якщо в умові дано дві сторони й кут між ними (наприклад, a, b і ∠C), у тебе немає жодної повної пари «сторона — протилежний кут». Ти не знаєш, який кут лежить проти a чи проти b. У цьому випадку застосовують теорему косинусів — вона є темою наступного юніта.

Так само теорема синусів не допомагає, коли відомі три сторони й потрібно знайти кути — тут теж потрібна теорема косинусів.

Розгляньмо чотири типові задачі НМТ, які охоплюють різні випадки застосування теореми синусів.

Приклад 1. Радіус описаного кола за стороною й кутом

У трикутнику ABC BC = 12, ∠A = 30°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

Розв'язання. Сторона BC лежить проти кута A. За теоремою синусів $\frac{BC}{\sin A}=2R$. Звідси $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{12}{2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{12}{1}=12$.

Відповідь: 12.

Типові помилки:

• Вибір 6 — забули, що в знаменнику 2·sin A, а не просто sin A (тобто поділили 12 на 2, а не на 2·½ = 1).

• Вибір 24 — знайшли 2R, а не R.

• Вибір 4√3 або 6√3 — помилково використали sin 60° замість sin 30° або переплутали формулу.

Приклад 2. Сторона за двома кутами й стороною

У трикутнику ABC ∠A = 45°, ∠B = 30°, BC = 7√2. Знайдіть AC.

Розв'язання. Позначимо сторони: BC = a (проти кута A), AC = b (проти кута B). За теоремою синусів:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow \frac{7\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ }}=\frac{b}{\sin 30^{\circ }}$$

$$b=\frac{7\sqrt{2}\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{7\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{7\sqrt{2}\cdot 1\cdot 2}{2\cdot \sqrt{2}}=7$$

Відповідь: 7.

Пастка: якщо переставити синуси (взяти $\frac{\sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}$ замість правильного співвідношення), отримаєш 14 — це невірно.

Приклад 3. Прикладна задача (тупий кут)

Щоб знайти відстань від точки A на березі до буя C, на березі відклали AB = 40 м і виміряли ∠CAB = 105°, ∠CBA = 45°. Знайдіть AC.

Розв'язання. Трикутник ABC: AB = 40 м (лежить проти кута C), шукаємо AC (лежить проти кута B). Спершу знайдемо кут C:

∠C = 180° − 105° − 45° = 30°.

Тепер за теоремою синусів:

$$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\Rightarrow \frac{40}{\sin 30^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 45^{\circ }}$$

$$AC=\frac{40\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{40\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=40\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2=40\sqrt{2}\text{м}$$

Відповідь: 40√2 м.

Зверни увагу: ∠CAB = 105° — тупий кут, але в пропорції використано кут C = 30°, який гострий. Синус тупого кута 105° знадобився б, якби ми шукали сторону BC. Тут ми його уникнули, обчисливши третій кут.

Дистрактори: 20√2 м (поділили на 2 зайвий раз), 80 м (знайшли AB / sin 30° = 2R = 80 і забули помножити на sin 45°), 40√3 м (переплутали sin 60° і sin 45°), 20√6 м (комбінація кількох помилок).

Приклад 4. Радіус через третій кут

Два кути трикутника дорівнюють 75° і 60°, а сторона, що лежить проти третього кута, дорівнює 10√2. Знайдіть радіус описаного кола.

Розв'язання. Третій кут: 180° − 75° − 60° = 45°. Сторона a = 10√2 лежить проти кута A = 45°. За теоремою синусів:

$$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{10\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ }}=\frac{10\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=10\sqrt{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=20$$

Звідси R = 20 / 2 = 10.

Відповідь: 10.

Пастка: якщо зупинитися на 2R = 20 і записати 20, відповідь буде неправильною і ти втратиш обидва бали: часткових балів за коротку відповідь не нараховують. Уважно читай, що саме питають — R, а не 2R.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, які трапляються в задачах на теорему синусів. Знаючи їх, ти зможеш свідомо їх уникати.

• Беруть кут, прилеглий до сторони, а не протилежний. У теоремі синусів кожна сторона ділиться на синус протилежного кута, а не прилеглого. Наприклад, для сторони BC потрібен ∠A, а не ∠B чи ∠C. Завжди підписуй на рисунку, який кут проти якої сторони лежить.

• Вважають a / sin A рівним R, а не 2R. Формула каже, що дріб дорівнює діаметру (2R), а не радіусу. Якщо ти знайшов 2R = 20, не забудь поділити на 2, щоб отримати R = 10.

• Вважають, що сторони відносяться як кути. Наприклад, при кутах 30° і 60° вважають, що сторони відносяться як 1 : 2. Насправді відношення дорівнює sin 30° : sin 60° = 1/2 : √3/2 = 1 : √3.

• Для тупого кута беруть неправильний синус. Поширені помилки: sin 120° = −√3/2 (синус тупого кута в трикутнику завжди додатний!) або sin 120° = 1/2 (плутають із sin 150°). Користуйся формулою зведення: sin 120° = sin 60° = √3/2.

• Знаходячи кут за синусом, пропускають тупий розв'язок або не відкидають неможливий. Якщо sin B = 1/2, то B = 30° або B = 150°. Обидва варіанти треба перевірити: сума з відомим кутом не має перевищувати 180°. Якщо A = 50°, то B = 150° неможливий (50° + 150° > 180°). Якщо A = 20°, то обидва кути можливі.

• Застосовують теорему синусів, коли відомі дві сторони й кут між ними. У цій ситуації немає пари «сторона — протилежний кут» з двома відомими. Потрібна теорема косинусів.

Теорема синусів входить до теми «Трикутники» програми НМТ (рівень стандарту). Уміння, яке перевіряють, — розв'язувати трикутники, тобто знаходити невідомі сторони, кути та радіус описаного кола.

Довідкові матеріали

На НМТ ти отримаєш довідку, у якій теорему синусів подано разом із 2R:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

Там само буде формула зведення sin(180° − α) = sin α і таблиця значень синуса для кутів 30°, 45°, 60°, 90°. Значення для 120°, 135°, 150° ти виводитимеш за формулою зведення. Отже, на тесті ти не мусиш пам'ятати всі значення напам'ять — достатньо вміти швидко скористатися довідкою.

Форми завдань

У цьому юніті ти зустрінеш завдання двох форматів:

• Вибір однієї відповіді з п'яти (завдання 1–15, 0 або 1 бал). Тобі запропонують п'ять варіантів (А–Д), з яких лише один правильний. Уважно перевіряй обчислення — дистрактори часто побудовані на типових помилках.

• Коротка відповідь (завдання 19–22, 0 або 2 бали). Відповідь записують лише десятковим дробом (наприклад, 7 або 10). Якщо в розв'язку з'являється корінь, він має скоротитися — інакше це не завдання на коротку відповідь. Саме тому в прикладі 2 відповідь 7, а в прикладі 4 — 10, хоча проміжні обчислення містили √2.

Стратегія розв'язання

Ось робочий алгоритм, який варто застосувати до будь-якої задачі на теорему синусів:

1. Познач на рисунку (або уяви) сторони й протилежні їм кути: a проти A, b проти B, c проти C.

2. Знайди пару «сторона — протилежний кут», де відомі обидва елементи. Саме від цієї пари будуватимеш пропорцію.

3. Склади пропорцію з двох дробів (або скористайся рівністю 2R) і розв'яжи рівняння.

4. Перевір, чи не потрібно додатково знайти третій кут (сума 180°), і чи не виникає неоднозначність із тупим кутом.

• Теорема синусів: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ — формула є в довідці НМТ.

• Пропорцію складають з пар «сторона — протилежний кут». Не переплутай, який кут проти якої сторони.

• Радіус описаного кола: $R=\frac{a}{2\sin A}$. Обернено: $a=2R\sin A$.

• Синус тупого кута: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$. Значення: sin 120° = √3/2, sin 135° = √2/2, sin 150° = 1/2. Синус будь-якого кута трикутника додатний.

• Коли застосовувати: два кути й сторона — так, теорема синусів; дві сторони й кут між ними — ні, потрібна теорема косинусів (наступний юніт).

• Неоднозначність: якщо sin B = k, то B = α або B = 180° − α. Перевіряй, чи існує трикутник із таким кутом.