Теорема Фалеса й пропорційні відрізки

Теорема Фалеса — одна з найстаріших геометричних теорем, яку пов'язують з іменем давньогрецького математика Фалеса Мілетського (VII–VI ст. до н. е.). Вона описує властивість паралельних прямих, що перетинають сторони кута, і є основою для багатьох задач планіметрії, зокрема для поділу відрізків та обчислення довжин.

Формулювання теореми Фалеса

Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на другій стороні.

Позначимо вершину кута літерою O, а його сторони — промені OA і OB. Нехай паралельні прямі перетинають сторону OA в точках A₁, A₂, A₃, а сторону OB — у точках B₁, B₂, B₃. Тоді:

якщо A₁A₂ = A₂A₃, то B₁B₂ = B₂B₃.

Обов'язкова умова: прямі, що перетинають сторони кута, мають бути паралельними між собою. Без паралельності теорема Фалеса не працює.

Схематичне зображення

На рисунку: паралельні прямі A₁B₁ ∥ A₂B₂ ∥ A₃B₃ перетинають сторони кута AOB. Якщо OA₁ = A₁A₂ = A₂A₃, то OB₁ = B₁B₂ = B₂B₃.

Коли сторони кута — паралельні прямі

Теорема Фалеса не вимагає, щоб дві прямі, які перетинають паралельні, обов'язково утворювали кут. Ними можуть бути будь-які дві прямі, зокрема й паралельні між собою. Наприклад, якщо три паралельні прямі перетинаються з двома іншими паралельними прямими, то відрізки, відтяті на одній із цих двох прямих, дорівнюють відповідним відрізкам на другій.

Наслідок: пряма через середину сторони трикутника

Важливий наслідок теореми Фалеса: пряма, яка проходить через середину сторони трикутника та паралельна другій стороні, ділить третю сторону навпіл.

Нехай у трикутнику ABC точка M — середина AB, і проведено пряму MN ∥ AC, де N лежить на BC. Тоді N — середина BC. Це твердження випливає з теореми Фалеса, оскільки рівному відрізку AM = MB відповідає рівний відрізок CN = NB. (Властивості середньої лінії трикутника розглядають в окремому юніті.)

Поділ відрізка на n рівних частин

Теорема Фалеса дає зручний спосіб поділити будь-який відрізок на n рівних частин без вимірювання довжини:

1. З одного кінця відрізка (назвемо його A) проведіть допоміжний промінь під довільним кутом до відрізка.

2. На цьому промені за допомогою циркуля або лінійки відкладіть n рівних відрізків довільної довжини (один за одним). Позначте точки поділу A₁, A₂, …, Aₙ.

3. Останню точку Aₙ з'єднайте з другим кінцем даного відрізка — точкою B.

4. Через точки A₁, A₂, …, A_{n-1} проведіть прямі, паралельні AₙB. Точки перетину цих прямих з даним відрізком і будуть шуканими точками, які ділять його на n рівних частин.

Цей метод працює тому, що паралельні прямі, відтинаючи рівні відрізки на допоміжному промені, відтинають рівні відрізки й на заданому відрізку.

Класична теорема Фалеса працює тільки для рівних відрізків. Але що робити, якщо на одній стороні кута відкладено нерівні відрізки? Для таких випадків існує узагальнення, яке називають узагальненою теоремою Фалеса або теоремою про пропорційні відрізки.

Формулювання узагальненої теореми Фалеса

Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на сторонах пропорційні відрізки.

Нехай вершина кута — O, сторони перетинають паралельні прямі A₁B₁ ∥ A₂B₂ ∥ A₃B₃ у точках A₁, A₂, A₃ на одній стороні та B₁, B₂, B₃ — на другій. Тоді виконуються пропорції:

A₁A₂ : A₂A₃ = B₁B₂ : B₂B₃

OA₁ : OA₂ = OB₁ : OB₂

OA₁ : A₁A₂ = OB₁ : B₁B₂

Як складати пропорцію

Розв'язання прикладу

Дано: сторони кута O перетнуто паралельними прямими A₁B₁ і A₂B₂. OA₁ = 4 см, A₁A₂ = 6 см, OB₁ = 5 см. Знайти B₁B₂.

Складаємо пропорцію з відрізків однієї сторони (OA₁ і A₁A₂) та відповідних відрізків другої сторони (OB₁ і B₁B₂):

OA₁ : A₁A₂ = OB₁ : B₁B₂ ⟹ 4 : 6 = 5 : x

Звідси x = (6 · 5) / 4 = 30 / 4 = 7,5 см.

Тоді OB₂ = OB₁ + B₁B₂ = 5 + 7,5 = 12,5 см. Перевіряємо: 4 : 10 = 5 : 12,5 — пропорція виконується (0,4 = 0,4).

Відрізки на паралельних прямих

Відрізки на самих паралельних прямих (наприклад, A₁B₁ і A₂B₂) співвідносяться інакше: A₁B₁ : A₂B₂ = OA₁ : OA₂, тобто від вершини, а не між прямими. Це вже стосується подібності трикутників (окремий юніт), але пам'ятай: не плутай A₁B₁ з OA₁.

Запам'ятай: у пропорції завжди порівнюй відрізки, що лежать на одній стороні кута, з відрізками на другій стороні. Не «перестрибуй» через сторону.

Один із найпоширеніших випадків застосування узагальненої теореми Фалеса — задача, де в трикутнику проведено пряму, паралельну одній з його сторін.

Пряма, паралельна стороні трикутника

Нехай у трикутнику ABC проведено пряму MN, паралельну стороні AC, причому M лежить на AB, а N — на BC. Тоді, згідно з узагальненою теоремою Фалеса:

BM : MA = BN : NC

Іншими словами, пряма, паралельна основі трикутника, ділить дві інші сторони пропорційно.

Приклад обчислення

У трикутнику ABC: AB = 15 см, BM = 6 см, BC = 20 см. Знайти BN і NC.

Спочатку знаходимо MA = AB − BM = 15 − 6 = 9 см. Паралельна пряма MN ∥ AC, тому

BM : MA = BN : NC ⟹ 6 : 9 = BN : (20 − BN)

Звідси 6(20 − BN) = 9 · BN ⟹ 120 − 6·BN = 9·BN ⟹ 15·BN = 120 ⟹ BN = 8 см. Тоді NC = 20 − 8 = 12 см.

Поділ відрізка у відношенні m : n

Часто в задачах треба поділити відрізок у заданому відношенні, наприклад 2 : 3. Це означає, що відрізок ділять на дві частини, які відносяться як 2 до 3.

Якщо цілий відрізок дорівнює L, а потрібний поділ у відношенні m : n, то:

• перша частина = m / (m + n) · L

• друга частина = n / (m + n) · L

Зверни увагу: відношення m : n — це не частки від цілого, а співвідношення між частинами. Тому спочатку ділимо ціле на m + n рівних «частинок», а потім беремо m і n таких частинок.

Обернена задача

Буває, що відоме відношення частин і довжина однієї з них. Наприклад, відрізок поділено у відношенні 2 : 3, більша частина дорівнює 12. Знайти меншу частину й довжину всього відрізка.

Оскільки відношення 2 : 3, більша частина відповідає 3, менша — 2. Одна «частинка» становить 12 / 3 = 4. Тоді менша частина = 2 · 4 = 8, а весь відрізок = (2 + 3) · 4 = 20.

Практичний зміст

Уявімо два проспекти, які перетинають три паралельні вулиці. Відстань між першою й другою вулицею вздовж першого проспекту — 240 м, між другою й третьою — 360 м. На другому проспекті вся відстань між першою й третьою вулицями — 750 м. Паралельні вулиці грають роль паралельних прямих, а проспекти — сторін кута. Тому відрізки на другому проспекті пропорційні до відрізків на першому.

Так само влаштовані паралельні перекладини на похилих опорах: відрізки на одній опорі пропорційні до відповідних відрізків на другій опорі.

Розгляньмо чотири типові задачі НМТ на теорему Фалеса та пропорційні відрізки. Кожну розберемо покроково.

Приклад 1. Пропорція з двох відрізків

Сторони кута O перетнуто паралельними прямими A₁B₁ і A₂B₂. Відомо: OA₁ = 6 см, A₁A₂ = 9 см, OB₁ = 8 см. Знайдіть B₁B₂.

Розв'язання. Підписуємо всі відомі довжини на рисунку. Складаємо пропорцію: відрізки однієї сторони кута (OA₁ і A₁A₂) відносяться як відповідні відрізки другої сторони (OB₁ і B₁B₂):

OA₁ : A₁A₂ = OB₁ : B₁B₂ ⟹ 6 : 9 = 8 : x

Звідси 6x = 9 · 8 ⟹ 6x = 72 ⟹ x = 12 см.

Відповідь: 12 см.

Чому інші варіанти неправильні:

• 6,75 = 6 · 9 : 8 — переплутали відрізки сторін: склали 8 : 9 = 6 : x замість 6 : 9 = 8 : x

• 20 — знайшли OB₂ (8 + 12 = 20), а не B₁B₂

• 11 — результат помилкового додавання або віднімання

• 9 — взяли відрізок A₁A₂ за відповідь

Приклад 2. Паралельні вулиці (коротка відповідь)

Три паралельні вулиці перетинають два проспекти. На першому проспекті відстань між першою й другою вулицями 240 м, між другою й третьою — 360 м. На другому проспекті відстань між першою й третьою вулицями 750 м. Знайдіть відстань (у м) між першою й другою вулицями вздовж другого проспекту.

Розв'язання. Позначимо шукану відстань x. Відстань між другою й третьою вулицями на другому проспекті дорівнюватиме 750 − x. За узагальненою теоремою Фалеса:

240 : 360 = x : (750 − x)

Скорочуємо 240 : 360 = 2 : 3, отже, 2 : 3 = x : (750 − x). Звідси 2(750 − x) = 3x ⟹ 1500 − 2x = 3x ⟹ 5x = 1500 ⟹ x = 300 м.

Відповідь: 300.

Поширені помилки: 500 — узяли 2/3 від 750 (хоча відношення 2 : 3 дає 2/5 і 3/5, а не 2/3 цілого); 450 — узяли 3/5 від 750, тобто знайшли другу частину.

Приклад 3. Пряма, паралельна стороні трикутника

У трикутнику ABC проведено пряму MN, паралельну AC. Точка M лежить на AB, N — на BC. Відомо: BM = 4 см, MA = 6 см, BC = 15 см. Знайдіть NC.

Розв'язання. Для прямої MN ∥ AC справджується пропорція BM : MA = BN : NC.

Позначимо BN = y, тоді NC = BC − BN = 15 − y.

Складаємо пропорцію: 4 : 6 = y : (15 − y). Скорочуємо 4 : 6 = 2 : 3.

2 : 3 = y : (15 − y) ⟹ 2(15 − y) = 3y ⟹ 30 − 2y = 3y ⟹ 5y = 30 ⟹ y = 6 см (BN).

Тоді NC = 15 − 6 = 9 см.

Відповідь: 9 см.

Чому інші варіанти неправильні:

• 6 — знайшли BN замість NC

• 10 — результат обчислення 4/6 від 15 (тобто 2/3 цілого замість 2/5)

• 22,5 — неправильна пропорція, наприклад 4 : 6 = 15 : x (всю сторону BC поставили навпроти BM)

• 3,75 — поділили BC на BM (15 : 4) замість скласти пропорцію

Приклад 4. Рівні відрізки (коротка відповідь)

На стороні OA кута AOB відкладено рівні відрізки: OA₁ = A₁A₂ = A₂A₃. Через точки A₁, A₂, A₃ проведено паралельні прямі до перетину з стороною OB у точках B₁, B₂, B₃ відповідно. OB₃ = 13,5 см. Знайдіть OB₂.

Розв'язання. Оскільки відрізки на стороні OA рівні, то за теоремою Фалеса рівні також відрізки на стороні OB: OB₁ = B₁B₂ = B₂B₃.

Весь відрізок OB₃ складається з трьох рівних частин: OB₃ = OB₁ + B₁B₂ + B₂B₃ = 3 · OB₁.

Отже, OB₁ = 13,5 / 3 = 4,5 см. Тоді OB₂ = OB₁ + B₁B₂ = 4,5 + 4,5 = 9 см.

Відповідь: 9.

Поширені помилки: 4,5 — знайшли OB₁, а не OB₂; 6,75 — помилково поділили 13,5 на 2 (забули, що частин три).

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на теорему Фалеса та пропорційні відрізки.

• Ставлять у пропорцію невідповідні відрізки. Наприклад, записують OA₁ : A₁A₂ = B₁B₂ : OB₁ — праворуч порядок переставлено. Відрізки другої сторони мають іти в тому самому порядку, що й відповідні відрізки першої: OA₁ : A₁A₂ = OB₁ : B₁B₂. Запис OA₁ : OB₁ = A₁A₂ : B₁B₂ теж правильний — у ньому лише переставлено середні члени пропорції.

• У відношенні 2 : 3 беруть 2/3 цілого замість 2/5. Коли відрізок ділять у відношенні 2 : 3, усього частин 2 + 3 = 5, тому перша частина — це 2/5 довжини, а не 2/3. Наприклад, для відрізка 25 м: правильна відповідь 10 м і 15 м, а помилкова — 16,67 м і 8,33 м.

• Застосовують теорему Фалеса, коли прямі не паралельні. Якщо прямі, що перетинають сторони кута, не паралельні між собою, ні теорема Фалеса, ні узагальнена теорема не працюють. Складена пропорція буде хибною.

• Змішують відрізок від вершини з відрізком між прямими. Наприклад, ставлять OA₂ (від вершини до другої точки) у пару з B₁B₂ (відрізком між першою й другою прямими). Відрізку OA₂ відповідає OB₂, а відрізку A₁A₂ — B₁B₂: кожен відрізок порівнюють лише з відповідним відрізком другої сторони.

• Шукають довжину відрізка паралельної прямої (A₂B₂) за відрізками A₁A₂. Відрізки на паралельних прямих співвідносяться як OA₁ : OA₂ (від вершини), а не як OA₁ : A₁A₂. Це інша тема — подібність трикутників.

• Дають у відповідь не той відрізок. У задачі питають NC, а учень знаходить BN; питають OB₂, а учень дає OB₁. Уважно читай умову: який саме відрізок треба знайти.

Теорема Фалеса й узагальнена теорема Фалеса входять до теми «Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості» розділу «Планіметрія» програми НМТ з математики.

Форми завдань

Для короткої відповіді записуй результат тільки десятковим дробом: 7,5, а не 15/2; 0,75, а не 3/4. Якщо число ціле, пиши його без коми (наприклад, 12).

Довідкові матеріали

Теореми Фалеса в довідкових матеріалах НМТ немає. Це означає, що ти маєш пам'ятати формулювання й уміти самостійно скласти пропорцію.

Стратегія розв'язування

1. Зроби схематичний рисунок і підпиши на ньому всі відомі відрізки.

2. Визнач, які прямі є паралельними — це обов'язкова умова.

3. Запиши пропорцію за правилом: «відрізки першої сторони : відрізки першої сторони = відрізки другої сторони : відрізки другої сторони».

4. Перевір, чи більшому відрізку відповідає більший — це простий спосіб виявити помилку.

5. Обчисли невідому величину та запиши відповідь у потрібному форматі.

• Теорема Фалеса: паралельні прямі, що відтинають рівні відрізки на одній стороні кута, відтинають рівні відрізки й на другій.

• Узагальнена теорема Фалеса: паралельні прямі відтинають на сторонах кута пропорційні відрізки.

• Правило пропорції: відрізки однієї сторони кута відносяться як відповідні відрізки другої сторони. Наприклад, OA₁ : A₁A₂ = OB₁ : B₁B₂.

• Поділ у відношенні m : n: частини становлять m/(m + n) і n/(m + n) цілого відрізка.

• Обернена задача: якщо відоме відношення й одна частина, знайди одну «частинку» діленням, а потім решту.

• Обов'язкова умова: без паралельності прямих пропорції не існує.

• Формат відповіді: у завданнях із короткою відповіддю — тільки десятковий дріб.