Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника

У прямокутному трикутнику сторони мають спеціальні назви: дві сторони, що утворюють прямий кут, називають катетами, а найдовшу сторону, що лежить навпроти прямого кута, — гіпотенузою. Для будь-якого гострого кута α в прямокутному трикутнику означено три основні тригонометричні відношення: синус, косинус і тангенс. Вони пов'язують міру кута з довжинами сторін і дають змогу, знаючи один кут і одну сторону, знайти всі інші сторони.

Означення

Нехай у прямокутному трикутнику ABC ∠C = 90°. Розглянемо гострий кут A. Тоді:

• катет BC — протилежний до кута A, бо лежить навпроти нього;

• катет AC — прилеглий до кута A, бо виходить із вершини A і є однією з його сторін (разом із гіпотенузою);

• AB — гіпотенуза.

Звідси одразу випливає важлива тотожність: tg α = sin α / cos α, адже (BC/AB) : (AC/AB) = BC/AC.

Властивості для гострого кута

Значення синуса, косинуса й тангенса залежать лише від кута, а не від того, який саме прямокутний трикутник розглядати. Якщо взяти два різних прямокутних трикутники з однаковим гострим кутом, вони подібні, тому відношення сторін у них однакові.

Для будь-якого гострого кута α (0° < α < 90°) справджуються такі нерівності:

• 0 < sin α < 1 — катет коротший за гіпотенузу;

• 0 < cos α < 1 — з тієї ж причини;

• tg α > 0 — тангенс може бути будь-яким додатним числом (0 < tg α < +∞).

Зв'язок між гострими кутами

У прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°: α + β = 90°, тобто β = 90° − α. Для другого гострого кута β протилежним стає той катет, який для α був прилеглим, і навпаки. Тому:

• sin β = cos α

• cos β = sin α

• tg β = 1 / tg α

Це правило іноді називають «додаткові кути»: синус кута дорівнює косинусу доповнення до 90°, і навпаки.

Основна тригонометрична тотожність

З теореми Піфагора (a² + b² = c²) випливає найважливіше співвідношення:

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

Дійсно, (a/c)² + (b/c)² = (a² + b²)/c² = c²/c² = 1. Це дає змогу знаходити косинус за відомим синусом (або навпаки) без знання сторін трикутника.

Наприклад, якщо sin α = 5/13, то cos²α = 1 − (25/169) = 144/169, отже cos α = 12/13 (беремо додатне значення, бо кут гострий). Тоді tg α = (5/13) : (12/13) = 5/12.

У задачах найчастіше використовують кути 30°, 45° і 60°, бо для них відомі точні значення sin, cos і tg. Їхні синуси, косинуси й тангенси варто знати напам'ять, хоч вони й наведені в довідкових матеріалах (для кутів, виражених у радіанах: π/6, π/4, π/3). Швидке відтворення цих значень заощаджує час на тестуванні.

Таблиця значень

Зверни увагу на симетрію: sin 30° = cos 60° = 1/2, sin 60° = cos 30° = √3/2 — це прямий наслідок властивості sin(90° − α) = cos α.

Катет, що лежить проти кута 30°

Окрема важлива властивість: катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Це випливає з sin 30° = 1/2: якщо α = 30°, то a = c · sin 30° = c · 1/2. І навпаки: якщо в прямокутному трикутнику катет дорівнює половині гіпотенузи, то кут навпроти нього дорівнює 30°.

Розгляньмо приклад. Нехай гіпотенуза дорівнює 14, а один із гострих кутів — 30°. Тоді:

• катет, протилежний до кута 30°: a = 14 · 1/2 = 7;

• другий катет (прилеглий до кута 30°): b = 14 · cos 30° = 14 · (√3/2) = 7√3.

Стандартні трикутники

У задачах часто фігурують два особливих види прямокутних трикутників:

• Рівнобедрений прямокутний трикутник (кути 45°, 45°, 90°): катети рівні (позначимо їх a), гіпотенуза дорівнює a√2.

• Трикутник з кутами 30°, 60°, 90°: сторони відносяться як 1 : √3 : 2, де 1 — катет проти кута 30°, √3 — катет проти кута 60°, 2 — гіпотенуза.

Підказка: трикутник 30°–60°–90° легко отримати, провівши висоту в рівносторонньому трикутнику. Вона ділить його на два однакові прямокутні трикутники з кутами 30°, 60°, 90°.

Розв'язати прямокутний трикутник — означає знайти всі його невідомі сторони й кути за відомими елементами. Завдяки синусу, косинусу й тангенсу це можна зробити, знаючи лише один гострий кут і одну сторону.

Основні формули

Нехай у прямокутному трикутнику c — гіпотенуза, a — катет, протилежний до кута α, b — катет, прилеглий до кута α. Тоді:

Приклад 1: знаходимо катети за гіпотенузою й кутом

Гіпотенуза дорівнює 20, гострий кут α = 60°. Знайдемо катети.

• Протилежний до кута 60° катет: a = 20 · sin 60° = 20 · (√3/2) = 10√3.

• Прилеглий до кута 60° катет: b = 20 · cos 60° = 20 · (1/2) = 10.

Перевірка за теоремою Піфагора: (10√3)² + 10² = 300 + 100 = 400 = 20².

Приклад 2: знаходимо сторону за катетом і кутом

У прямокутному трикутнику катет, прилеглий до кута 30°, дорівнює 6. Знайдемо протилежний катет і гіпотенузу.

• Протилежний катет: a = b · tg 30° = 6 · (√3/3) = 2√3.

• Гіпотенуза: c = b / cos 30° = 6 / (√3/2) = 6 · 2/√3 = 12/√3 = 4√3 (після раціоналізації).

Знаходження кута за сторонами

Якщо відомі дві сторони, кут можна знайти через обернені тригонометричні функції (arcsin, arccos, arctg), але на НМТ частіше трапляються випадки, коли відношення збігається з табличним значенням.

Приклад: катети дорівнюють 5 і 5√3. Тоді tg α (проти меншого катета) = 5 / (5√3) = 1/√3 = √3/3. Це tg 30°, отже кут проти меншого катета дорівнює 30°.

Інший приклад: катет дорівнює 4, гіпотенуза — 8. Sin α = 4/8 = 1/2, отже α = 30°.

Практичні задачі

Тригонометрія прямокутного трикутника має безліч практичних застосувань:

• Висота дерева: якщо тінь дерева має довжину L, а сонячні промені падають під кутом α до горизонту, то висота H = L · tg α.

• Висота щогли: якщо трос завдовжки c натягнуто від верхівки щогли до землі під кутом α до землі, то висота щогли h = c · sin α.

• Кут підйому пандуса: якщо пандус має висоту h і довжину похилої поверхні l, то sin α = h / l, звідки знаходимо кут.

Розгляньмо чотири типові завдання НМТ на тригонометрію прямокутного трикутника. Перші два — вибір однієї відповіді, третє — логічні пари, четверте — знову вибір однієї відповіді.

Приклад 1. Знаходження синуса за двома катетами

Умова: У трикутнику ABC ∠C = 90°, AC = 12, BC = 5. Знайдіть sin A.

Розв'язання:

1. Визначаємо гіпотенузу AB за теоремою Піфагора: AB² = AC² + BC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169, отже AB = 13.

2. Для кута A протилежним катетом є BC = 5 (лежить навпроти вершини A).

3. sin A = BC / AB = 5/13.

Відповідь: $5/13$. Дистрактори:

• 12/13 — це cos A (прилеглий катет / гіпотенуза);

• 5/12 — це tg A (5/12 = протилежний / прилеглий);

• 12/5 — помилка: прилеглий / протилежний, що не є жодним із трьох відношень;

• 13/5 — помилка: гіпотенуза / катет (значення > 1, не може бути sin).

Приклад 2. Катет, прилеглий до кута 30°

Умова: Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 18, один із гострих кутів дорівнює 30°. Знайдіть катет, прилеглий до цього кута.

Розв'язання:

1. Прилеглий катет — це той, що виходить із вершини кута 30° разом із гіпотенузою.

2. За означенням косинуса: cos 30° = прилеглий катет / гіпотенуза.

3. Катет = 18 · cos 30° = 18 · (√3/2) = 9√3.

Відповідь: $9\surd 3$. Дистрактори:

• 9 — це протилежний катет (18 · sin 30° = 18 · 1/2 = 9);

• 18√3 — узяли гіпотенузу 18 і помножили на √3 замість √3/2;

• 6√3 — помилка: 18 · (√3/3) = 6√3 (це tg 30°, а не cos 30°);

• 36 — помилка: 18 / (1/2) = 36.

Приклад 3. Логічні пари (відповідність)

Умова: У трикутнику ABC ∠C = 90°, ∠A = 30°, AB = 12. CH — висота, проведена до гіпотенузи. Установіть відповідність між відрізком (1 — BC, 2 — AC, 3 — CH) і його довжиною (А — 3, Б — 6, В — 3√3, Г — 6√3, Д — 12√3).

Розв'язання:

1. BC — катет, протилежний до кута 30°. За властивістю: BC = (1/2) · AB = 6. Отже 1 → Б.

2. AC — катет, прилеглий до кута 30°: AC = AB · cos 30° = 12 · (√3/2) = 6√3. Отже 2 → Г.

3. CH — висота з прямого кута на гіпотенузу. У прямокутному трикутнику CH = BC · AC / AB = (6 · 6√3) / 12 = 36√3 / 12 = 3√3. Або: CH = BC · sin B, де ∠B = 60°, sin 60° = √3/2, CH = 6 · (√3/2) = 3√3. Отже 3 → В.

Відповідь: 1–Б, 2–Г, 3–В. Букви А (3) і Д (12√3) зайві.

Приклад 4. Практична задача (щогла)

Умова: Трос завдовжки 20 м натягнуто від верхівки щогли до землі під кутом 60° до землі. Знайдіть висоту щогли.

Розв'язання:

1. Трос — це гіпотенуза (20 м). Кут між тросом і землею — 60°.

2. Висота щогли — це катет, протилежний до кута 60°.

3. h = 20 · sin 60° = 20 · (√3/2) = 10√3 м.

Відповідь: $10\surd 3$ м. Дистрактори:

• 10 м — помилка: узяли cos 60° = 1/2 замість sin 60° (знайшли прилеглий катет, а не висоту);

• 20√3 м — помилка: забули поділити на 2: 20 · √3 замість 20 · √3/2;

• 40 м — помилка: 20 / (1/2) = 40;

• 10√2 м — помилка: використали значення sin 45° = √2/2.

На НМТ з математики помилки в тригонометричних задачах часто виникають не через складність теми, а через неуважність або плутанину в базових поняттях. Розберімо найпоширеніші пастки.

• Плутають протилежний і прилеглий катети, а отже — синус і косинус. Наприклад, для кута A у трикутнику ABC (∠C = 90°) катет AC є прилеглим, а BC — протилежним. Запам'ятай: протилежний катет не дотикається до вершини кута, а лежить навпроти.

• Ділять гіпотенузу на катет і отримують «синус», більший за 1. Синус і косинус гострого кута завжди менші за 1 (бо катет коротший за гіпотенузу). Якщо ти отримав sin > 1 або cos > 1 — відразу шукай помилку.

• Плутають sin 30° і sin 60°, cos 30° і cos 60°. Простий спосіб: чим більший гострий кут (до 90°), тим більший його синус. Тому sin 30° = 1/2, sin 60° = √3/2 ≈ 0,866. Для косинуса навпаки: cos 30° = √3/2, cos 60° = 1/2.

• Вважають, що половині гіпотенузи дорівнює катет проти кута 60°. Ні, це хибна думка. Катет проти кута 60° дорівнює половині гіпотенузи, помноженій на √3. Лише катет проти кута 30° дорівнює рівно половині гіпотенузи.

• Рахують tg α як прилеглий / протилежний. Правильно: tg α = протилежний / прилеглий. Не плутай із котангенсом: ctg α = прилеглий / протилежний = 1 / tg α (котангенс є в програмі на профільному рівні).

• Застосовують означення синуса, косинуса й тангенса до непрямокутного трикутника. Ці означення працюють ТІЛЬКИ для гострого кута прямокутного трикутника. Для довільних трикутників існують теорема синусів і теорема косинусів — окремі теми програми.

Тригонометрія прямокутного трикутника — одна з ключових тем розділу «Планіметрія» програми НМТ (тема 5.3). Уміння, яке перевіряють, — «розв'язувати трикутники»: знаходити невідомі сторони й кути, використовуючи співвідношення між ними.

Довідкові матеріали

У довідці, яку надають на НМТ, є два потрібні блоки:

• для прямокутного трикутника — теорема Піфагора й означення sin, cos, tg як відношень сторін;

• у тригонометрії — таблиця значень sin, cos, tg для кутів 0, π/6, π/4, π/3, π/2 (тобто 0°, 30°, 45°, 60°, 90°).

Це означає, що тобі не потрібно пам'ятати числа — достатньо вміти ними скористатися. Але, як показує досвід, вивчені напам'ять значення дають виграш у часі.

Формати завдань

Завдання на цю тему можуть бути подані в різних форматах:

Зокрема, у демоваріанті НМТ-2026 завдання 18 — геометрична відповідність про відрізки прямокутної трапеції; її можна розв'язати і теоремою Піфагора, і через тригонометричні співвідношення.

Стратегія для завдання «логічні пари»

Коли бачиш завдання на відповідність з геометричним малюнком, дотримуйся такого плану:

1. Визнач величину, від якої залежать усі інші (найчастіше — гіпотенузу або один із катетів).

2. Знайди її й перевір обчислення — це «фундамент» для решти пар.

3. Послідовно обчисли решту відрізків, кожного разу звіряючи зі списком-довідкою (А–Д). У списку дві відповіді зайві — це нормально, не намагайся використати всі.

4. Заповни пари. Кожна правильна пара дає 1 бал, тож три вірні збіги — це 3 бали з 3 можливих.

• sin α = протилежний катет / гіпотенуза; cos α = прилеглий катет / гіпотенуза; tg α = протилежний / прилеглий.

• Катет через гіпотенузу: a = c · sin α (протилежний), b = c · cos α (прилеглий); катет через катет: a = b · tg α.

• Катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

• Табличні значення: sin 30° = cos 60° = 1/2; sin 45° = cos 45° = √2/2; tg 45° = 1; sin 60° = cos 30° = √3/2; tg 60° = √3; tg 30° = √3/3.

• Основна тригонометрична тотожність: sin²α + cos²α = 1.

• Для додаткових кутів: sin(90° − α) = cos α; cos(90° − α) = sin α; tg(90° − α) = 1 / tg α.

• Значення синуса, косинуса й тангенса залежать лише від кута, а не від розмірів трикутника.