Суміжні й вертикальні кути, бісектриса кута

У планіметрії все починається з найпростіших фігур: точки, прямої, променя й відрізка. Точка — це ідеальний об'єкт без розмірів, який позначають великою латинською літерою. Через дві точки можна провести лише одну пряму. Пряма нескінченна в обидва боки; її частина, обмежена двома точками, — відрізок. Промінь — це частина прямої, що має початок, але не має кінця.

Кут — це фігура, утворена двома променями, що виходять з однієї точки. Цю точку називають вершиною кута, а промені — сторонами кута. Кут позначають трьома літерами: ∠AOB, де O — вершина, а A і B — точки на сторонах. Якщо з контексту зрозуміло, про який кут ідеться, можна писати ∠O.

Розгорнутий кут і види кутів

Якщо сторони кута є доповняльними променями (тобто лежать на одній прямій і направлені в протилежні боки), такий кут називають розгорнутим. Його градусна міра дорівнює 180°. Залежно від величини кути поділяють на:

• гострий — менше за 90°

• прямий — дорівнює 90°

• тупий — більший за 90°, але менший за 180°

• розгорнутий — дорівнює 180°

Градусна міра кута вимірюється в градусах. Один градус (1°) дорівнює 60 кутовим хвилинам (60′). Наприклад, кут 30° 30′ — це 30 з половиною градусів.

Основна властивість вимірювання кутів

Якщо промінь OB проходить усередині кута AOC, то він ділить цей кут на два кути, причому сума їхніх градусних мір дорівнює мірі всього кута:

$$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC$$

Ця властивість є основою для всіх обчислень, пов'язаних із кутами.

Перпендикулярні прямі

Дві прямі називають перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом (90°). Записують це так: a ⊥ b. Кут між прямими, що перетинаються, — це менший з утворених кутів, тому він ніколи не перевищує 90°. Якщо прямі перпендикулярні, то всі чотири кути при їхньому перетині дорівнюють 90°.

Суміжні кути — одна з найважливіших конфігурацій у планіметрії. Два кути називають суміжними, якщо в них одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями, тобто разом утворюють пряму лінію. Іншими словами, суміжні кути разом складають розгорнутий кут.

Сума суміжних кутів дорівнює 180°.

Це твердження випливає безпосередньо з означення: дві зовнішні сторони суміжних кутів утворюють розгорнутий кут, градусна міра якого 180°.

Наслідки з означення

• Кут, суміжний з гострим, завжди тупий (і навпаки).

• Кут, суміжний з прямим, теж прямий: 180° − 90° = 90°.

• Якщо суміжні кути рівні, то кожен з них дорівнює 90°.

• Кут, суміжний з 35°, дорівнює 180° − 35° = 145°.

Задачі з рівнянням на суміжні кути

Типові задачі на суміжні кути задають кути не числом, а співвідношенням: один більший за інший на певну величину, або кути відносяться як два числа. Розв'язують такі задачі складанням рівняння на суму 180°.

Приклад 1: один суміжний кут на 40° більший за інший. Нехай менший кут дорівнює x. Тоді більший — x + 40°. Складаємо рівняння:

$$x+(x+40°)=180°$$

$$2x+40°=180°$$

$$2x=140°$$

$$x=70°$$

Отже, менший кут 70°, більший 110°.

Приклад 2: суміжні кути відносяться як 2 : 7. Позначимо кути як 2x і 7x. Тоді:

$$2x+7x=180°$$

$$9x=180°$$

$$x=20°$$

Кути: 2 · 20° = 40° і 7 · 20° = 140°.

Приклад 3: один суміжний кут у 4 рази більший за інший. Нехай менший кут x, тоді більший 4x:

$$x+4x=180°$$

$$5x=180°$$

$$x=36°$$

Кути: 36° і 144°.

Контрприклад: коли кути не суміжні

Не кожна пара кутів зі спільною стороною є суміжною. Розгляньмо ∠AOB = 30° і ∠BOC = 60°. Вони мають спільну сторону OB, але сторони OA і OC не утворюють прямої — разом вони дають лише 90°. Отже, ці кути не суміжні. Запам'ятай: для суміжності потрібно, щоб дві зовнішні сторони були доповняльними променями, тобто лежали на одній прямій.

Вертикальні кути — це кути, у яких сторони одного є доповняльними променями сторін другого. Іншими словами, якщо дві прямі перетинаються, то кути, що лежать навпроти один одного, називають вертикальними.

Вертикальні кути рівні.

Доведення цього факту просте. Нехай при перетині двох прямих утворилися кути ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, де ∠1 і ∠3 — вертикальні. Тоді ∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні) і ∠3 + ∠2 = 180° (як суміжні). Звідси ∠1 = 180° − ∠2 і ∠3 = 180° − ∠2, отже ∠1 = ∠3.

Чотири кути при перетині двох прямих

Коли дві прямі перетинаються, утворюються чотири кути. Вони утворюють дві пари вертикальних (рівних) кутів і чотири пари суміжних кутів. Сума всіх чотирьох кутів дорівнює 360°.

Наприклад, якщо один з кутів дорівнює 50°, то:

• вертикальний до нього кут теж 50°

• суміжні з ним кути: 180° − 50° = 130°

• усі кути: 50°, 130°, 50°, 130°

Задача: сума двох кутів більша за 180°

Якщо сума двох кутів при перетині прямих дорівнює 220°, це більше за 180°, тому ці кути не можуть бути суміжними (сума суміжних завжди 180°). Отже, це вертикальні кути. Кожен з них дорівнює 220° : 2 = 110°. Тоді два інші кути (суміжні до них) дорівнюють 180° − 110° = 70°.

Якщо один з кутів прямий (90°), то всі чотири кути прямі, і прямі є перпендикулярними.

Три прямі, що перетинаються в одній точці

Коли три прямі перетинаються в одній точці, утворюється 6 кутів. Три сусідні кути разом дають розгорнутий кут: α + β + γ = 180°. Це випливає з того, що вони разом заповнюють половину площини навколо точки.

Бісектриса кута — це промінь, що виходить з вершини кута й ділить його на два рівні кути. Якщо кут дорівнює α, то кожна з утворених половин дорівнює α / 2.

Бісектриса ділить кут навпіл.

Наприклад, бісектриса кута 128° утворює з кожною стороною кут 64° (128° : 2 = 64°).

Бісектриси суміжних кутів

Один з найцікавіших фактів: бісектриси суміжних кутів завжди перпендикулярні. Доведемо це. Нехай один суміжний кут дорівнює α, тоді другий дорівнює 180° − α. Бісектриса першого кута утворює зі спільною стороною кут α / 2, а бісектриса другого — кут (180° − α) / 2. Разом ці два кути дають:

$$\frac{\alpha }{2}+\frac{180°-\alpha }{2}=\frac{180°}{2}=90°$$

Отже, кут між бісектрисами суміжних кутів дорівнює 90°, тобто вони перпендикулярні.

Бісектриси вертикальних кутів лежать на одній прямій, оскільки вертикальні кути рівні, а їхні бісектриси є доповняльними променями.

Кут між бісектрисою й продовженням сторони

Розгляньмо задачу: ∠AOB = 80°, OK — бісектриса кута AOB. Промінь OC доповняльний до OA (тобто OA і OC утворюють пряму). Знайдемо ∠KOC.

Спочатку знаходимо половину кута AOB: 80° : 2 = 40°. Кут AOC — розгорнутий (180°). Тому ∠KOC = 180° − 40° = 140°.

Обернена задача

Якщо бісектриса утворює зі стороною кута кут 35°, то сам кут дорівнює 35° · 2 = 70°. Суміжний з ним кут дорівнює 180° − 70° = 110°.

Приклад 1. Один із суміжних кутів на 40° більший за інший

Умова: Один із суміжних кутів на 40° більший за інший. Знайдіть більший із цих кутів.

Розв'язання: Нехай менший кут дорівнює x. Тоді більший кут дорівнює x + 40°. Оскільки кути суміжні, їхня сума 180°. Складаємо рівняння:

$$x+(x+40°)=180°$$

$$2x+40°=180°$$

$$2x=140°$$

$$x=70°$$

Менший кут 70°, більший 70° + 40° = 110°.

Відповідь: 110°.

Чому інші варіанти неправильні? 70° — це менший кут, а питали про більший. 140° — помилка: хтось віднімає 40° від 180°, ігноруючи, що сума двох кутів 180°, а не одного. 90° і 130° не задовольняють умову: різниця між ними не 40°.

Приклад 2. Сума двох кутів при перетині прямих 250°

Умова: Дві прямі перетинаються. Сума двох з утворених кутів дорівнює 250°. Знайдіть менший з кутів.

Розв'язання: Сума двох суміжних кутів завжди 180°. Оскільки 250° > 180°, ці два кути не можуть бути суміжними. Отже, вони вертикальні, а вертикальні кути рівні. Кожен з них дорівнює 250° : 2 = 125°. Тоді суміжні до них кути дорівнюють 180° − 125° = 55°. Менший з усіх кутів — 55°.

Відповідь: 55°.

Чому інші варіанти неправильні? 125° — це більший кут, а питали менший. 110° — помилка: 360° − 250° = 110°, але це сума двох інших кутів, а не один кут (треба ще поділити на 2). 70° — хтось віднімає 250° − 180° = 70°, не розуміючи, що це за число. 65° — випадкове число.

Приклад 3. Суміжні кути й бісектриса

Умова: Кути AOB і BOC суміжні, ∠AOB = 64°, OK — бісектриса кута AOB. Знайдіть ∠KOC.

Розв'язання: Оскільки ∠AOB = 64°, то ∠BOC = 180° − 64° = 116° (суміжні кути). OK — бісектриса ∠AOB, тому ∠KOB = 64° : 2 = 32°. Тоді ∠KOC = ∠KOB + ∠BOC = 32° + 116° = 148°.

Відповідь: 148°.

Чому інші варіанти неправильні? 116° — знайшли тільки суміжний кут, забули додати половину ∠AOB. 32° — знайшли тільки половину ∠AOB. 122° — помилка: наприклад, до 90° додали 32° (вважали ∠BOC прямим). 90° — припустили, що бісектриси суміжних кутів перпендикулярні, але OK — бісектриса лише одного кута.

Приклад 4. Практичний рисунок ножиць

Умова: Кожна половина ножиць — це пряма лінія (лезо й ручка на одній прямій). Кут між лезами ножиць дорівнює 34°. Знайдіть кут між лезом однієї половини й ручкою другої половини.

Розв'язання: Уявімо дві прямі, що перетинаються. Кут між лезами — це один з кутів при перетині, 34°. Кут між лезом однієї половини й ручкою другої — це суміжний кут до кута 34°, оскільки лезо й ручка однієї половини лежать на одній прямій. Отже, шуканий кут = 180° − 34° = 146°.

Відповідь: 146°.

Чому інші варіанти неправильні? 34° — це вертикальний кут до даного, а не суміжний. 56° — хтось помилково доповнив до 90° (90° − 34° = 56°), думаючи про перпендикуляр. 17° — половина від 34°, плутанина з бісектрисою. 124° — 180° − 56° = 124°, помилкове обчислення.

• Вважають суміжними будь-які два кути зі спільною вершиною чи спільною стороною, не перевіривши, що дві інші сторони утворюють пряму. Насправді для суміжності потрібно, щоб зовнішні сторони були доповняльними променями, тобто разом давали 180°.

• Плутають суміжні й вертикальні кути. Запам'ятай: вертикальні кути рівні, а суміжні в сумі дають 180°. Якщо бачиш два кути навпроти один одного — це вертикальні; якщо поруч, зі спільною стороною — це суміжні.

• У задачі «один кут на 40° більший за інший» дають у відповідь менший кут (70°) або обчислюють 180° − 40° = 140° без рівняння. Пам'ятай: 180° — це сума двох кутів, а не одного. Складай рівняння x + (x + 40°) = 180°.

• У задачі з відношенням 2 : 7 ділять 180° на 7 чи на 2, а не на суму частин 9. Правильно: 180° : (2 + 7) = 20°, потім 2 · 20° = 40° і 7 · 20° = 140°.

• Вважають, що бісектриса ділить навпіл суміжний кут чи розгорнутий кут, а не той кут, з вершини якого її проведено. Бісектриса завжди належить тому куту, який вона ділить.

• Намагаються вважати суміжними два кути при перетині прямих, сума яких більша за 180°. Сума суміжних кутів завжди 180°, тому якщо сума більша — це вертикальні кути.

Суміжні й вертикальні кути, бісектриса кута та їхні властивості входять до теми «Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості» розділу «Планіметрія» програми НМТ з математики. Це базовий матеріал, який ти маєш знати напам'ять, адже в довідкових матеріалах НМТ цих властивостей немає — там для геометрії подано лише формули трикутника, площ, кола й тіл.

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 2 (вибір однієї відповіді з п'яти, А–Д, 0 або 1 бал) перевіряє кути прямокутного трикутника на практичному рисунку, де потрібні суміжні кути й сума кутів трикутника. Хоча це завдання про трикутник, без знання суміжних кутів його не розв'язати.

Стратегія розв'язання

На рисунку познач усі кути, що разом утворюють розгорнутий кут. Склади рівняння на 180° і розв'яжи його. Після цього обов'язково перевір відповідь підстановкою в умову задачі: чи справді знайдені кути задовольняють задане співвідношення (різницю, відношення, суму)?

Властивостей суміжних і вертикальних кутів у довідкових матеріалах НМТ немає. Ці факти треба знати напам'ять.

• Суміжні кути мають спільну сторону, а дві інші сторони утворюють пряму; їхня сума 180°.

• Вертикальні кути рівні; дві прямі при перетині дають дві пари рівних кутів, сума всіх чотирьох 360°.

• Бісектриса ділить кут навпіл; бісектриси суміжних кутів перпендикулярні.

• Задачу з різницею чи відношенням розв'язують рівнянням на суму 180°.

• Спільна вершина ще не робить кути суміжними — потрібно, щоб зовнішні сторони утворювали пряму.