Скалярний добуток і кут між векторами

Кут між двома ненульовими векторами визначають так: вектори відкладають від однієї точки й вимірюють менший з утворених кутів. За означенням цей кут лежить у межах від 0° до 180° включно.

Якщо вектори напрямлені в один бік, то кут між ними дорівнює 0° — їх називають співнапрямленими. Якщо вектори напрямлені в протилежні боки, кут дорівнює 180° — це протилежно напрямлені вектори. Якщо кут дорівнює 90°, вектори називають перпендикулярними.

Скалярний добуток: означення через модулі й кут

Скалярним добутком двох ненульових векторів a і b називають число, що дорівнює добутку їхніх модулів на косинус кута між ними:

a · b = |a| · |b| · cos φ

Тут φ — кут між векторами a і b. Важливо запам'ятати: результатом скалярного добутку є число, а не вектор.

Приклади обчислення

Зверни увагу на останній рядок: |a| = √2, |b| = 5, cos 135° = −√2/2, тому a · b = √2 · 5 · (−√2/2) = 5 · (−2/2) = −5.

Знак скалярного добутку й вид кута

Оскільки модулі векторів завжди додатні, знак скалярного добутку визначається знаком косинуса кута. Це дає простий спосіб визначити вид кута між ненульовими векторами без обчислення самого кута:

• a · b > 0 ⇔ кут гострий або дорівнює 0° (0° ≤ φ < 90°)

• a · b = 0 ⇔ кут прямий (φ = 90°)

• a · b < 0 ⇔ кут тупий або розгорнутий (90° < φ ≤ 180°)

Скалярний квадрат

Скалярний добуток вектора самого на себе називають скалярним квадратом. Оскільки кут між вектором і ним самим дорівнює 0°, а cos 0° = 1, маємо:

a · a = |a| · |a| · 1 = |a|²

Отже, a · a = |a|². Цю властивість часто використовують, щоб знайти модуль вектора, знаючи його скалярний квадрат.

Кут між векторами в геометричній фігурі

Розгляньмо рівносторонній трикутник ABC зі стороною 2. Знайдемо скалярні добутки пар векторів, утворених сторонами.

Візьмемо вектори AB і AC. Вони виходять з однієї вершини A, тому кут між ними — це кут A трикутника, який у рівносторонньому трикутнику дорівнює 60°. Отже:

AB · AC = 2 · 2 · cos 60° = 4 · 1/2 = 2

Тепер розгляньмо вектори AB і BC. Вони не виходять з однієї точки — AB починається в A, а BC починається в B. Щоб знайти кут між ними, уявно перенесемо вектор BC в точку A так, щоб його початок збігався з початком AB. Між стороною AB і стороною BC трикутника кут B дорівнює 60°, але вектори AB і BC, відкладені від однієї точки, утворюють зовнішній кут 120° (продовження AB дає суміжний кут). Тому:

AB · BC = 2 · 2 · cos 120° = 4 · (−1/2) = −2

Кут між векторами AB і BC дорівнює 180° − ∠B, а не самому куту B. Завжди перевіряй, чи виходять вектори з однієї точки!

Скалярний добуток часто обчислюють за координатами векторів. Якщо вектори задано на площині координатами a(x₁; y₁) і b(x₂; y₂), то скалярний добуток дорівнює сумі добутків відповідних координат:

a · b = x₁x₂ + y₁y₂

Це теж число — не плутай із записом координат вектора!

Найпростіший приклад

Нехай a(3; −2), b(4; 5). Тоді:

a · b = 3 · 4 + (−2) · 5 = 12 + (−10) = 2

Довідкові матеріали на НМТ

У довідкових матеріалах, якими можна користуватися на НМТ, формула скалярного добутку записана для простору: x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. На площині просто відкидай третій доданок — він дорівнює нулю, бо z-координати відсутні.

Скалярний добуток з лінійною комбінацією

Іноді в завданні спочатку потрібно виконати дії з векторами, а вже потім обчислити скалярний добуток.

Приклад. Дано a(1; 2), b(3; −1). Знайдіть (2a − b) · b.

Крок 1. Знайдемо координати вектора 2a − b:

2a = (2·1; 2·2) = (2; 4)

2a − b = (2 − 3; 4 − (−1)) = (−1; 5)

Крок 2. Обчислимо скалярний добуток:

(2a − b) · b = (−1)·3 + 5·(−1) = −3 − 5 = −8

Скалярний квадрат у координатах

Скалярний квадрат вектора в координатах обчислюють за тією ж формулою:

a · a = x₁·x₁ + y₁·y₁ = x₁² + y₁² = |a|²

Це дає зручний спосіб знаходити модуль вектора: |a| = √(x₁² + y₁²).

Наприклад, для a(3; −4):

a · a = 3² + (−4)² = 9 + 16 = 25, звідки |a| = √25 = 5.

Знаючи скалярний добуток і модулі векторів, можна знайти косинус кута між ними. Формула косинуса кута між векторами:

cos φ = (a · b) / (|a| · |b|)

Якщо вектори задано координатами, отримуємо розгорнутий вираз:

cos φ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁² + y₁²) · √(x₂² + y₂²))

Цю формулу легко вивести з означення скалярного добутку. Запам'ятай її — вона знадобиться в завданнях профільного рівня.

Приклади знаходження кута

Приклад 1. a(1; 0), b(1; 1).

a · b = 1·1 + 0·1 = 1. |a| = √(1² + 0²) = 1. |b| = √(1² + 1²) = √2.

cos φ = 1 / (1 · √2) = 1/√2. Отже, φ = 45°.

Приклад 2. a(3; 4), b(4; 3).

a · b = 3·4 + 4·3 = 12 + 12 = 24. |a| = √(9 + 16) = 5. |b| = √(16 + 9) = 5.

cos φ = 24 / (5 · 5) = 24/25. Кут гострий, cos φ близький до 1, тому сам кут малий.

Умова перпендикулярності векторів

Для перпендикулярних векторів кут дорівнює 90°, а cos 90° = 0. Тому з формули a · b = |a| · |b| · cos φ отримуємо найважливішу умову:

Ненульові вектори a і b перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли a · b = 0.

У координатах це означає: x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

Знаходження параметра

Поширений тип завдання: дано вектори, один із яких містить невідомий параметр m. Потрібно знайти m, за якого вектори перпендикулярні.

Приклад. Вектори a(2; −3) і b(m; 4). Запишемо умову перпендикулярності:

a · b = 0 ⇒ 2·m + (−3)·4 = 0 ⇒ 2m − 12 = 0 ⇒ m = 6.

Кут трикутника за координатами вершин

Щоб знайти кут трикутника, заданого координатами вершин, потрібно взяти вектори, що виходять з його вершини.

Приклад. A(1; 1), B(4; 1), C(1; 5). Знайдемо ∠B.

Крок 1. Знаходимо координати векторів, що виходять із вершини B:

BA = (1 − 4; 1 − 1) = (−3; 0)

BC = (1 − 4; 5 − 1) = (−3; 4)

Крок 2. Обчислюємо скалярний добуток і модулі:

BA · BC = (−3)·(−3) + 0·4 = 9

|BA| = √((−3)² + 0²) = 3; |BC| = √((−3)² + 4²) = √25 = 5

Крок 3. Знаходимо косинус:

cos B = 9 / (3 · 5) = 0,6

Отже, ∠B = arccos 0,6.

Перпендикулярність і колінеарність — не плутай!

Перпендикулярність і колінеарність — різні поняття. Запам'ятай відмінність:

Приклад 1. Скалярний добуток за координатами

Умова. Дано вектори a(−2; 3) і b(4; 1). Знайдіть a · b.

Розв'язання. Обчислюємо за формулою a · b = x₁x₂ + y₁y₂:

a · b = (−2)·4 + 3·1 = −8 + 3 = −5

Відповідь: −5.

Розбір дистракторів.

• Варіант «(−8; 3)» — помилка: записали не число, а вектор. Скалярний добуток — завжди число.

• Варіант «11» — сума модулів добутків: |−8| + |3| = 11. Модулі тут ні до чого.

• Варіант «5» — помилка в знаку: −8 + 3 порахували як 8 − 3 = 5.

• Варіант «−11» — помилка: −8 − 3 взяли замість −8 + 3.

Приклад 2. Параметр перпендикулярності

Умова. При якому значенні m вектори a(3; −2) і b(m; 6) перпендикулярні?

Розв'язання. Записуємо умову перпендикулярності: a · b = 0.

3·m + (−2)·6 = 0 ⇒ 3m − 12 = 0 ⇒ 3m = 12 ⇒ m = 4

Відповідь: 4.

Типові пастки.

• Відповідь −4 — помилка в знаку: 3m + 12 = 0 ⇒ m = −4. Але (−2)·6 = −12, а не +12.

• Відповідь −9 — плутанина з колінеарністю: пропорція 3/m = −2/6 дає m = −9.

Приклад 3. Скалярний добуток через кут

Умова. |a| = 2, |b| = 5, кут між векторами дорівнює 120°. Знайдіть a · b.

Розв'язання. Використовуємо формулу a · b = |a| · |b| · cos φ.

cos 120° = −1/2.

a · b = 2 · 5 · (−1/2) = 10 · (−1/2) = −5

Відповідь: −5.

Розбір дистракторів.

• 5 — узяли cos 120° = +1/2 замість −1/2.

• 5√3 або −5√3 — використали sin 120° = √3/2 замість cos 120°.

• 10 — просто перемножили модулі без косинуса: 2·5 = 10.

Приклад 4. Кут трикутника за координатами

Умова. Дано вершини трикутника A(1; 2), B(4; 6), C(5; −1). Знайдіть градусну міру кута BAC.

Розв'язання. Кут BAC — це кут при вершині A. Беремо вектори, що виходять з точки A: AB і AC.

AB = (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4)

AC = (5 − 1; −1 − 2) = (4; −3)

Обчислюємо скалярний добуток: AB · AC = 3·4 + 4·(−3) = 12 − 12 = 0.

Оскільки скалярний добуток дорівнює нулю, вектори AB і AC перпендикулярні, отже кут BAC = 90°.

Відповідь: 90.

Приклад 5. Кут між векторами за координатами

Умова. Знайдіть кут між векторами a(1; −1) і b(2; 0).

Розв'язання. Використовуємо формулу cos φ = (a · b) / (|a| · |b|).

a · b = 1·2 + (−1)·0 = 2

|a| = √(1² + (−1)²) = √2

|b| = √(2² + 0²) = 2

cos φ = 2 / (√2 · 2) = 1/√2 = √2/2

Отже, φ = 45°.

Відповідь: 45°.

Розбір дистракторів.

• 135° — помилка в знаку: якщо взяти a · b = −2, то cos φ = −√2/2, φ = 135°.

• 90° — плутанина: прирівняли добуток 2 до нуля.

• 60° — cos 60° = 1/2, а в нас √2/2.

• 30° — cos 30° = √3/2, не збігається.

Нижче наведено найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час обчислення скалярного добутку та кутів між векторами. Уважно прочитай кожну — це допоможе не втратити бали на НМТ.

• Запис скалярного добутку як вектора. Помилка: пишуть (x₁x₂; y₁y₂) замість числа x₁x₂ + y₁y₂. Скалярний добуток — це число, а не вектор!

• Плутанина sin і cos у формулі через кут. У формулі a · b = |a|·|b|·cos φ беруть sin φ. Особливо небезпечно для кутів 60° (sin 60° = √3/2, cos = 1/2) і 120° (sin 120° = √3/2, cos = −1/2). Запам'ятай: у скалярному добутку завжди косинус!

• cos 120° = +1/2. Часто забувають, що cos 120° від'ємний. Правильно: cos 120° = −1/2.

• Кут між векторами AB і BC вважають кутом B трикутника. Вектори AB і BC не виходять з однієї точки — AB починається в A, BC — у B. Кут між ними дорівнює 180° − ∠B. Щоб знайти кут B, бери вектори BA і BC, які обидва виходять з вершини B.

• Плутають умову перпендикулярності з умовою колінеарності. Перпендикулярність: x₁x₂ + y₁y₂ = 0 (сума добутків дорівнює нулю). Колінеарність: x₁/x₂ = y₁/y₂ (пропорційні координати). Не плутай ці дві різні умови!

• У формулі косинуса ділять на суму модулів. Правильно: cos φ = a·b / (|a|·|b|) — ділимо на добуток модулів, а не на суму (|a| + |b|).

• Вважають від'ємний скалярний добуток помилкою. Від'ємний скалярний добуток — це нормально, він означає, що кут між векторами тупий або розгорнутий (більший за 90°).

Тема «Кут між векторами; скалярний добуток векторів» належить до теми «Координати та вектори на площині» (розділ «Планіметрія») програми НМТ з математики. Властивості скалярного добутку, формула кута між векторами в координатах і умова перпендикулярності в координатах належать до профільного рівня (П).

Довідкові матеріали

На НМТ дозволено користуватися довідковими матеріалами. У них формула скалярного добутку записана для тривимірного простору: x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. На площині просто відкидай доданок із z.

Формати завдань

• Завдання 1–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д). 0 або 1 бал. Тут можуть запропонувати обчислити скалярний добуток за координатами або через модулі й кут, знайти косинус кута або сам кут між векторами.

• Завдання 19–22 — коротка відповідь. 0 або 2 бали (без часткових балів). Тут теж можна отримати задачу на знаходження параметра m, за якого вектори перпендикулярні, або на обчислення скалярного добутку. Відповідь записують десятковим дробом; якщо число від'ємне — зі знаком «мінус» перед першою цифрою.

Стратегія виконання

• Завжди перевіряй результат знаком. Якщо отримав від'ємний скалярний добуток, але за умовою кут гострий — шукай помилку в обчисленнях.

• У завданні з параметром спочатку запиши умову перпендикулярності (a · b = 0), потім розв'яжи рівняння.

• Якщо треба знайти кут трикутника — обов'язково візьми вектори, що виходять з однієї вершини.

• Не плутай скалярний добуток (число) з координатами вектора-результату (їх дві).

• a · b = |a| · |b| · cos φ = x₁x₂ + y₁y₂ — це число, а не вектор.

• Знак a · b показує вид кута: додатний — гострий (або 0°), нуль — прямий, від'ємний — тупий (або 180°).

• a ⊥ b ⇔ a · b = 0 — умова перпендикулярності ненульових векторів.

• cos φ = (a · b) / (|a| · |b|) — формула косинуса кута між векторами.

• a · a = |a|² — скалярний квадрат дорівнює квадрату модуля.

• Для кута трикутника бери вектори, що виходять з його вершини. Наприклад, для ∠B бери BA і BC.

• Не плутай перпендикулярність (сума добутків координат дорівнює нулю) з колінеарністю (координати пропорційні).