Розклад многочлена на множники

Розкласти многочлен на множники — означає записати його у вигляді добутку кількох многочленів (або одночлена й многочлена). Це дія, зворотна до множення: якщо перемножити всі множники, має вийти початковий многочлен. Саме множенням ти завжди можеш перевірити, чи правильно виконано розклад.

Найпростіший спосіб — винесення спільного множника за дужки. Щоб його застосувати:

• знайди найбільший спільний дільник (НСД) числових коефіцієнтів усіх членів — він стане числовою частиною спільного множника;

• кожну спільну змінну візьми з найменшим показником степеня, що трапляється серед членів многочлена;

• поділи кожен член многочлена на цей спільний множник; отримані частки запиши в дужках.

Розберім на прикладі:

$$6x^{3}y-9x^2{y}^2$$

Числові коефіцієнти — 6 і 9, їхній НСД дорівнює 3. Змінна x трапляється в першому члені в степені 3, у другому — у степені 2; беремо молодший степінь — $x^2$. Змінна y трапляється в першому члені в степені 1, у другому — у степені 2; беремо $y^1$. Отже, спільний множник — $3x^{2}y$.

$$6x^{3}y-9x^2{y}^2=3x^{2}y(2x-3y)$$

Перевірка: $3x^{2}y\cdot 2x=6x^{3}y$, $3x^{2}y\cdot (-3y)=-9x^2{y}^2$ — сума дає початковий вираз.

Що лишається, коли виносиш увесь член?

Якщо член многочлена збігається зі спільним множником, після винесення на його місці лишається 1 (а не 0!). Наприклад:

$$x^3+x=x(x^2+1)$$

Тут перший член $x^3$ поділили на $x$, дістали $x^2$; другий член $x$ поділили на $x$, дістали 1. Без одиниці дужки мали б хибний вигляд $x(x^2)$, а множення $x\cdot x^2=x^3$ не повертає початкового многочлена.

Спільний множник — многочлен

Іноді спільним множником виявляється ціла дужка. Наприклад:

$$5x(x-3)-2(x-3)=(x-3)(5x-2)$$

Тут дужка $(x-3)$ є спільним множником обох доданків — виносимо її за дужки, а в дужках записуємо те, що лишилося: $5x$ і $-2$.

Протилежні дужки

Якщо дужки відрізняються знаком, одну з них можна замінити на протилежну, винісши мінус: $3-x=-(x-3)$. Наприклад:

$$a(x-3)+b(3-x)=a(x-3)-b(x-3)=(x-3)(a-b)$$

Зверни увагу: $+b(3-x)$ перетворили на $-b(x-3)$, бо $3-x=-(x-3)$, а $+b\cdot (-(x-3))=-b(x-3)$.

Спосіб групування застосовують, коли многочлен має чотири (або більше) доданки й не має спільного множника для всіх членів одразу. Ідея: об'єднати доданки в групи так, щоб після винесення спільного множника з кожної групи з'явилася однакова дужка. Цю спільну дужку потім виносять за дужки.

Найпростіший випадок

Розкладемо многочлен $ax+ay+3x+3y$:

$$ax+ay+3x+3y=a(x+y)+3(x+y)=(x+y)(a+3)$$

Перші два доданки об'єднали в групу $ax+ay$ — спільний множник $a$, лишається $(x+y)$. Другі два доданки $3x+3y$ — спільний множник 3, лишається $(x+y)$. Обидві групи дали однакову дужку $(x+y)$, яку виносимо як спільний множник.

Групування з «мінусом»

Коли в другій групі перед першим членом стоїть мінус, винось його разом зі спільним множником. Розгляньмо:

$$x^3-2x^2-3x+6$$

Згрупуймо: $(x^3-2x^2)+(-3x+6)$. З першої групи виносимо $x^2$: $x^2(x-2)$. З другої групи виносимо $-3$: $-3x+6=-3(x-2)$. Маємо:

$$x^3-2x^2-3x+6=x^2(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x^2-3)$$

Зверни увагу: $-3x+6$ — це $-3(x-2)$, а не $-3(x+2)$. Перевір: $-3(x+2)=-3x-6$, а нам потрібно $+6$.

Якщо однакова дужка не з'являється — перестав доданки

Іноді з першої спроби групування не дає спільної дужки. Тоді варто переставити доданки місцями. Наприклад:

$$xy-6+2x-3y$$

Спробуймо згрупувати як $(xy-6)+(2x-3y)$ — з першої групи нічого спільного не виноситься. Переставимо доданки:

$$xy+2x-3y-6=x(y+2)-3(y+2)=(y+2)(x-3)$$

Тут ми згрупували $xy+2x$ (винесли $x$) і $-3y-6$ (винесли $-3$), і дужка $(y+2)$ з'явилася.

Групування з формулою скороченого множення

Іноді групування поєднують із застосуванням формули. Наприклад:

$$x^2-2x+1-y^2$$

Перші три доданки згортаємо за формулою квадрата різниці: $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$. Далі маємо різницю квадратів:

$$(x-1{)}^2-y^2=(x-1-y)(x-1+y)$$

Цей приклад показує, що способи розкладу можна комбінувати — спочатку групування (або згортання за формулою), потім формула різниці квадратів.

Формули скороченого множення працюють в обидва боки: розкривати дужки (множити) і згортати добуток у многочлен (розкладати). Тут ми використовуємо їх для розкладу многочлена на множники.

Різниця квадратів

Формула: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Її застосовують, коли многочлен — це різниця двох квадратів.

Приклад: $16x^2-25$. Тут $a=4x$, $b=5$, бо $(4x{)}^2=16x^2$, $5^2=25$.

$$16x^2-25=(4x-5)(4x+5)$$

Формулу можна застосовувати кілька разів поспіль, поки множники далі розкладаються:

$$x^4-81=(x^2-9)(x^2+9)=(x-3)(x+3)(x^2+9)$$

Тут $x^2-9$ — теж різниця квадратів, тому її розкладаємо далі. А $x^2+9$ — сума квадратів, вона на множники з дійсними числами не розкладається, тому на цьому зупиняємося.

Квадрат двочлена (суми або різниці)

Формули: $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$ і $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$. Щоб розкласти тричлен за цими формулами, перевір, чи є перший і останній члени квадратами, а середній — подвоєним добутком.

Приклад: $9a^2-12a+4$. Перший член — $(3a{)}^2$, останній — $2^2$, подвоєний добуток $2\cdot 3a\cdot 2=12a$. Знак мінус — отже, квадрат різниці:

$$9a^2-12a+4=(3a-2{)}^2$$

Сума й різниця кубів

Формули:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Приклад: $8x^3-1$. Тут $a=2x$ (бо $(2x{)}^3=8x^3$), $b=1$.

$$8x^3-1=(2x-1)((2x{)}^2+2x\cdot 1+1^2)=(2x-1)(4x^2+2x+1)$$

Приклад: $a^3+27$. Тут $a=a$, $b=3$ (бо $3^3=27$).

$$a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9)$$

Що не розкладається?

Запам'ятай: сума квадратів $a^2+b^2$ (наприклад, $x^2+9$) на множники з дійсними коефіцієнтами не розкладається. Так само не розкладаються неповні квадрати $a^2\pm ab+b^2$ (тричлени, схожі на квадрат суми чи різниці, але без подвоєного добутку). Якщо в розкладі з'явився такий множник — це кінцевий результат, далі йти не можна.

Квадратний тричлен — це многочлен виду $a{x}^2+bx+c$, де $a\ne 0$. Його можна розкласти на множники першого степеня через корені відповідного квадратного рівняння.

Формула розкладу

Якщо $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $a{x}^2+bx+c=0$, то:

$$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Ця формула є в довідці НМТ разом із формулою коренів квадратного рівняння. Найпоширеніша помилка — забути множник $a$ перед дужками.

Приклад: розкладімо $2x^2-7x+3$. Знайдемо корені:

$$D=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4}\Rightarrow x_1=3,x_2=\frac{1}{2}$$

За формулою:

$$2x^2-7x+3=2(x-3)\left(x-\frac{1}{2}\right)=(x-3)(2x-1)$$

Зверни увагу: $2(x-3)(x-1/2)=(x-3)(2x-1)$ — множник 2 помножили на другу дужку, щоб позбутися дробу. Обидва записи правильні.

Окремий випадок: дискримінант дорівнює нулю

Якщо $D=0$, то корінь один (два рівні): $x_0=-b/(2a)$. Тоді:

$$a{x}^2+bx+c=a(x-x_0{)}^2$$

Наприклад: $4x^2-12x+9$. $D=144-144=0$, $x_0=12/8=3/2$. Отже, $4x^2-12x+9=4(x-3/2{)}^2=(2x-3{)}^2$.

Якщо D < 0

Квадратний тричлен з від'ємним дискримінантом не має дійсних коренів, тому на множники першого степеня з дійсними коефіцієнтами не розкладається. Наприклад, $x^2+x+1$ — розклад зупиняється.

Повний розклад: порядок дій

Щоб розкласти многочлен до кінця, дотримуйся такого порядку:

1. Винеси спільний множник (якщо є).

2. Подивися, чи можна застосувати формулу скороченого множення.

3. Якщо многочлен має 4 і більше членів — спробуй групування.

4. Для квадратного тричлена — знайди корені й застосуй формулу $a(x-x_1)(x-x_2)$.

5. Перевір, чи кожен отриманий множник можна розкласти далі. Якщо ні — розклад завершено.

Приклад повного розкладу:

$$x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$$

Тут спочатку винесли $x$, потім $x^2-4$ розклали за формулою різниці квадратів. Зупинитися на $x(x^2-4)$ — помилка, розклад неповний.

Ще один приклад:

$$2x^3-8x^2+8x=2x(x^2-4x+4)=2x(x-2{)}^2$$

Тут спільний множник $2x$, тричлен у дужках — квадрат двочлена.

Навіщо потрібен розклад?

Розклад многочлена на множники — основа для:

• скорочення раціональних дробів (виносиш спільний множник у чисельнику й знаменнику та скорочуєш);

• знаходження спільного знаменника кількох дробів;

• методу інтервалів для розв'язування нерівностей;

• розв'язування рівнянь вищих степенів через добуток, що дорівнює нулю.

Крім того, розклад спрощує обчислення. Наприклад, $a^{2}b+a{b}^2=ab(a+b)$. Якщо відомо, що $a+b=5$ і $ab=-2$, то значення виразу дорівнює $-2\cdot 5=-10$ — без розкладу довелося б шукати $a$ і $b$ окремо.

Приклад 1. Розклад многочлена x³ − 4x на множники першого степеня

Завдання: який із наведених виразів є розкладом многочлена $x^3-4x$ на множники першого степеня?

Варіанти: $x(x-2{)}^2$, $x(x-4)(x+4)$, $(x-2)(x+2)$, $x^2(x-4)$, $x(x-2)(x+2)$.

Розв'язання. Спочатку виносимо спільний множник $x$: $x^3-4x=x(x^2-4)$. Далі $x^2-4$ — різниця квадратів: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Отже, повний розклад: $x(x-2)(x+2)$.

Відповідь: $x(x-2)(x+2)$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $x(x-2{)}^2$ — розкривши, отримаємо $x(x^2-4x+4)=x^3-4x^2+4x$, що не дорівнює $x^3-4x$.

• $x(x-4)(x+4)=x(x^2-16)=x^3-16x$ — не те.

• $(x-2)(x+2)=x^2-4$ — загублено множник $x$.

• $x^2(x-4)=x^3-4x^2$ — не те.

Приклад 2. Розклад многочлена a³ − 3a² − 4a + 12

Завдання: розкласти на множники $a^3-3a^2-4a+12$.

Розв'язання. Застосуємо групування. Згрупуємо перші два й останні два доданки:

$$a^3-3a^2-4a+12=a^2(a-3)-4(a-3)=(a-3)(a^2-4)$$

Далі $a^2-4$ — різниця квадратів: $a^2-4=(a-2)(a+2)$. Повний розклад: $(a-3)(a-2)(a+2)$.

Відповідь: $(a-3)(a-2)(a+2)$.

Розбір дистракторів:

• $(a-3)(a^2+4)$ — помилка знака в другій групі: $-4a+12=-4(a-3)$, а не $+4(a-3)$.

• $(a+3)(a-2)(a+2)$ — знак у першій дужці неправильний, бо $a^2(a-3)$ дає $-3a^2$, а не $+3a^2$.

• $(a-3)(a-2{)}^2$ — $a^2-4$ розкладено як $(a-2{)}^2$, але це не квадрат різниці, а різниця квадратів.

• $(a-3)(a-4)(a+4)$ — $a^2-4$ переплутано з $a^2-16$.

Приклад 3. Розклад квадратного тричлена 3x² − 5x − 2

Завдання: який вираз тотожно рівний $3x^2-5x-2$?

Розв'язання. Знайдемо корені рівняння $3x^2-5x-2=0$:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 3\cdot (-2)=25+24=49$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}\Rightarrow x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$$

За формулою розкладу:

$$3x^2-5x-2=3(x-2)\left(x+\frac{1}{3}\right)=(x-2)(3x+1)$$

Відповідь: $(3x+1)(x-2)$.

Розбір дистракторів:

• $(x+1/3)(x-2)$ — загублено множник 3, який має стояти перед дужками.

• $(3x-1)(x+2)$ — корені знайдено неправильно: добуток $(3x-1)(x+2)=3x^2+5x-2$, знак середнього члена не той.

• $3(x+1)(x-2)=3(x^2-x-2)=3x^2-3x-6$ — не те.

• $(3x+2)(x-1)=3x^2-x-2$ — не те.

Приклад 4. Обчислення значення виразу через розклад

Завдання: знайти $a^{2}b+a{b}^2$, якщо $a+b=5$, $ab=-2$.

Розв'язання. Спочатку розкладемо вираз на множники: $a^{2}b+a{b}^2=ab(a+b)$. Тепер підставимо відомі значення: $-2\cdot 5=-10$.

Відповідь: $-10$.

Розбір дистракторів:

• 10 — пропущено знак мінус перед $ab$.

• 3 — замість добутку $ab(a+b)$ узято суму $ab+(a+b)=-2+5=3$.

• $-7$ — помилка в обчисленні добутку $-2\cdot 5$.

• 25 — взято $(a+b{)}^2$ замість $ab(a+b)$.

• Спільний множник винесено не повністю. Наприклад, $6x^3-9x^2=3x(2x^2-3x)$ — це неправильно, бо з $x^3$ і $x^2$ можна винести $x^2$, а не $x$. Правильно: $6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)$.

• Загублено 1 на місці винесеного члена. У виразі $x^3+x$ після винесення $x$ отримуємо $x(x^2+1)$, а не $x\cdot x^2$. Без одиниці перевірка множенням не збігається.

• У групуванні помилка знака. Вираз $-3x+6$ виносять як $-3(x+2)$, а правильно $-3(x-2)$. Перевір: $-3(x-2)=-3x+6$, а $-3(x+2)=-3x-6$.

• У розкладі квадратного тричлена загублено старший коефіцієнт. Для $2x^2-7x+3$ помилковий запис $(x-3)(x-1/2)$ — без множника 2. Правильно: $2(x-3)(x-1/2)=(x-3)(2x-1)$.

• Розклад не доведено до кінця. Зупинитися на $x(x^2-4)$ — помилка, бо $x^2-4$ далі розкладається як $(x-2)(x+2)$. Повний розклад: $x(x-2)(x+2)$.

• Сума квадратів «розкладена» як різниця квадратів. Наприклад, $x^2+9$ іноді помилково записують як $(x-3)(x+3)=x^2-9$. Сума квадратів $a^2+b^2$ на множники з дійсними коефіцієнтами не розкладається.

Розклад многочлена на множники належить до теми 1.3 програми НМТ з математики («Перетворення виразів»). На іспиті це вміння перевіряють:

• окремим завданням серед № 4–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), 0 або 1 бал;

• як перший крок у завданні на скорочення раціонального дробу (у демоваріанті 2026 це № 14);

• у рівняннях і нерівностях теми 2.1, де розкладання на множники названо серед загальних методів розв'язування.

У довідці, яку видають на НМТ, є:

• формули коренів квадратного рівняння та формула розкладу $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$;

• формули $a^2-b^2$ і $(a\pm b{)}^2$;

• формул кубів у довідці немає — їх треба пам'ятати.

Стратегія для швидкої перевірки: перемнож дужки того варіанта, який здається правильним, або підстав у многочлен яке-небудь число (наприклад, $x=1$) і порівняй зі значенням варіанта. Якщо значення збігаються для кількох чисел — варіант правильний. Це займає менше ніж пів хвилини.

• Спершу винеси спільний множник, потім шукай формулу скороченого множення, потім — групування або корені квадратного тричлена.

• Запам'ятай: $a-b=-(b-a)$ — це допомагає вирівняти дужки, коли вони протилежні.

• Квадратний тричлен: $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ — множник $a$ не губити.

• Сума квадратів $a^2+b^2$ і квадратний тричлен з $D<0$ на множники першого степеня з дійсними коефіцієнтами не розкладаються.

• Перевіряй розклад множенням дужок або підстановкою числа — це займає кілька секунд.