Прямокутник, ромб і квадрат

Прямокутник — це паралелограм, у якого один кут прямий. Оскільки сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°, то решта кутів теж прямі. Отже, у прямокутнику всі чотири кути по 90°, і він зберігає всі властивості паралелограма: протилежні сторони паралельні й рівні, діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Властивість діагоналей прямокутника

Найважливіша особливість прямокутника, яка відрізняє його від довільного паралелограма: діагоналі прямокутника рівні. Нехай у прямокутнику ABCD діагоналі AC і BD перетинаються в точці O. Тоді:

• AO = BO = CO = DO = d/2 (оскільки вони рівні й точкою перетину діляться навпіл).

• Трикутники AOB, BOC, COD і DOA — рівнобедрені, бо в кожному з них дві сторони — половини діагоналей.

Ця рівність половинок діагоналей дає змогу знаходити кути між діагоналями через кути, які утворює діагональ зі стороною.

Діагональ прямокутника за сторонами

Діагональ розбиває прямокутник на два рівних прямокутних трикутники, у яких катети — сторони прямокутника a та b, а гіпотенуза — діагональ d. За теоремою Піфагора:

$$d^2=a^2+b^2$$

Приклад: якщо сторони прямокутника 6 см і 8 см, то d = √(36 + 64) = √100 = 10 см. Якщо сторони 5 см і 12 см, то d = √(25 + 144) = √169 = 13 см.

Кути між діагоналлю й сторонами

Розгляньмо прямокутник ABCD, у якому діагональ AC утворює зі стороною AD кут 35°. Оскільки △AOD — рівнобедрений (AO = DO), то ∠ODA = ∠OAD = 35°. Тоді ∠AOD = 180° − 2 · 35° = 110°. Гострий кут між діагоналями ∠AOB = 180° − ∠AOD = 70°.

Ознаки прямокутника

Щоб визначити, чи є чотирикутник прямокутником, можна скористатися однією з ознак:

• Паралелограм, у якого є прямий кут, — прямокутник.

• Паралелограм, діагоналі якого рівні, — прямокутник.

• Чотирикутник, у якого три кути прямі, — прямокутник (четвертий кут теж буде прямим, оскільки сума кутів чотирикутника 360°).

Важливо: твердження «діагональ прямокутника ділить його кут навпіл» правильне лише для квадрата (окремого випадку прямокутника). У звичайному прямокутнику діагональ не є бісектрисою кута.

Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Досить того, щоб дві сусідні сторони були рівними, — тоді всі чотири сторони рівні, оскільки в паралелограма протилежні сторони рівні. Периметр ромба: P = 4a, де a — сторона.

Властивості діагоналей ромба

Діагоналі ромба мають три ключові властивості, яких немає в довільного паралелограма:

• Діагоналі ромба перпендикулярні (AC ⟂ BD).

• Діагоналі точкою перетину діляться навпіл (як у будь-якого паралелограма).

• Кожна діагональ є бісектрисою кутів ромба, тобто ділить кути навпіл.

Завдяки перпендикулярності діагоналі ділять ромб на чотири рівні прямокутні трикутники. Катетами кожного такого трикутника є половини діагоналей d₁/2 та d₂/2, а гіпотенузою — сторона ромба a.

Сторона ромба через діагоналі

За теоремою Піфагора для одного з чотирьох прямокутних трикутників:

$$a^2={\left(\frac{d_1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2$$

Приклад 1: діагоналі ромба 12 см і 16 см. Тоді a² = (12/2)² + (16/2)² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, звідки a = 10 см. Периметр P = 4 · 10 = 40 см.

Приклад 2: діагоналі ромба 10 см і 24 см. Тоді a² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, a = 13 см.

Кути ромба через кут з діагоналлю

Оскільки діагональ ромба є бісектрисою кута, кут між стороною й діагоналлю дорівнює половині кута ромба. Якщо, наприклад, у ромбі кут між стороною й діагоналлю становить 25°, то кут ромба дорівнює 2 · 25° = 50°, а сусідній кут (як сума кутів, прилеглих до однієї сторони, 180°) — 130°.

Особливий випадок: у ромбі з кутом 60° коротша діагональ дорівнює стороні. Справді, трикутник ABD (утворений двома сторонами ромба й коротшою діагоналлю) — рівнобедрений із кутом при вершині A 60°, а отже, рівносторонній.

Ознаки ромба

Чотирикутник є ромбом, якщо виконується одна з таких умов:

• Паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні, — ромб.

• Паралелограм, діагональ якого є бісектрисою його кута, — ромб.

• Чотирикутник, у якого всі чотири сторони рівні, — ромб (навіть якщо він не є паралелограмом за означенням, рівність усіх сторін робить його паралелограмом).

Увага! Чотирикутник з перпендикулярними діагоналями, які не діляться навпіл, не є ромбом. Наприклад, дельтоїд має перпендикулярні діагоналі, але лише одна з них ділить іншу навпіл.

Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Або, що те саме, квадрат — це ромб, у якого всі кути прямі. Таким чином, квадрат поєднує всі властивості і прямокутника, і ромба.

Властивості квадрата

Як паралелограм, квадрат має:

• усі сторони рівні (як у ромба);

• усі кути прямі (як у прямокутника);

• діагоналі рівні (як у прямокутника);

• діагоналі перпендикулярні (як у ромба);

• діагоналі є бісектрисами кутів (як у ромба);

• діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Діагональ квадрата

Якщо сторона квадрата дорівнює a, то діагональ d знаходять за теоремою Піфагора: d² = a² + a² = 2a², звідки:

$$d=a\sqrt{2}$$

Обернена формула: сторона квадрата через діагональ — a = d/√2 = d√2/2.

Приклади: a = 5 ⇒ d = 5√2; d = 8 ⇒ a = 8/√2 = 4√2. Діагональ квадрата утворює зі сторонами кути по 45°, оскільки в рівнобедреному прямокутному трикутнику гострі кути дорівнюють 45°.

Класифікація паралелограмів

Взаємозв'язок між паралелограмом, прямокутником, ромбом і квадратом виглядає так:

Квадрат — це окремий випадок і прямокутника, і ромба. Тобто кожен квадрат є ромбом і кожен квадрат є прямокутником. Але зворотне твердження неправильне: не кожен ромб — квадрат, і не кожен прямокутник — квадрат.

Порівняння властивостей: діагоналі

Порівняння властивостей: сторони й кути

Нагадаймо, що всі чотири фігури (паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат) мають спільну властивість: діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Це властивість будь-якого паралелограма.

Перехідні випадки

• Ромб з рівними діагоналями — квадрат.

• Прямокутник з перпендикулярними діагоналями — квадрат.

• Чотирикутник з перпендикулярними діагоналями, що не діляться навпіл, — не ромб.

Розгляньмо п'ять типових задач, які зустрічаються в НМТ. Кожна розібрана покроково.

Приклад 1. Сторона ромба за діагоналями

Діагоналі ромба дорівнюють 10 см і 24 см. Знайдіть сторону ромба.

Розв'язання. Півдіагоналі: d₁/2 = 5 см, d₂/2 = 12 см. Сторона ромба — гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами 5 см і 12 см:

$$a=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{см}$$

Відповідь: 13 см.

Типові помилки в дистракторах:

• 26 см — підставили в теорему Піфагора цілі діагоналі: √(10² + 24²) = 26, а треба півдіагоналі.

• 17 см — півсума діагоналей (10/2 + 24/2 = 17), а не корінь із суми квадратів.

• 7 см — (24 − 10)/2 = 7, піврізниця діагоналей.

• 52 см — периметр (4 · 13), а не сторона.

Приклад 2. Логічні пари: властивості → фігура

Установіть відповідність між набором властивостей (1–3) і назвою чотирикутника (А–Д).

1) Діагоналі рівні й діляться навпіл, кут між ними може бути не прямим.

2) Усі сторони рівні, кути можуть бути не прямими.

3) Діагоналі рівні, перпендикулярні й діляться навпіл.

А) паралелограм, Б) прямокутник, В) ромб, Г) квадрат, Д) трапеція.

Розв'язання. Властивість 1: рівні діагоналі й поділ навпіл — це ознака прямокутника (1 → Б). Властивість 2: рівність усіх сторін без вимоги прямих кутів — це ромб (2 → В). Властивість 3: рівні, перпендикулярні діагоналі, що діляться навпіл, — це квадрат (3 → Г).

Відповідь: 1–Б, 2–В, 3–Г.

Приклад 3. Кут між діагоналями прямокутника

У прямокутнику ABCD діагональ AC утворює зі стороною AD кут 32°. Знайдіть гострий кут між діагоналями прямокутника.

Розв'язання. Позначмо точку перетину діагоналей O. У △AOD сторони AO = DO (половини рівних діагоналей), тому трикутник рівнобедрений. Тоді ∠ODA = ∠OAD = 32°. ∠AOD = 180° − 2 · 32° = 116°. Гострий кут між діагоналями — це ∠AOB, суміжний до ∠AOD: ∠AOB = 180° − 116° = 64°.

Відповідь: 64°.

Чому інші варіанти неправильні: 116° — це тупий кут між діагоналями (∠AOD), а питали гострий; 32° — кут між діагоналлю й стороною; 58° — якщо відняти 32° від 90°; 90° — діагоналі вважали перпендикулярними, що не так.

Приклад 4. Кут ромба через кут з діагоналлю

У ромбі ABCD ∠ABD = 65°. Знайдіть ∠BAD.

Розв'язання. BD — діагональ ромба, а отже, бісектриса кута B. Тому ∠ABC = 2 · ∠ABD = 130°. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони ромба, дорівнює 180°, тож ∠BAD = 180° − 130° = 50°.

Відповідь: 50°.

Типові помилки: 130° — знайдено ∠B замість ∠A; 65° — узято заданий кут за шуканий; 25° — відняли 65° від 90°; 115° — відняли від 180° сам заданий кут 65° (180° − 65°), а не подвоєний.

Приклад 5. Правильність тверджень про чотирикутники

Яке з наведених тверджень правильне?

• А) Кожен ромб є квадратом.

• Б) Кожен квадрат є ромбом.

• В) Діагоналі будь-якого ромба рівні.

• Г) Діагоналі будь-якого прямокутника перпендикулярні.

• Д) Кожен прямокутник є квадратом.

Розв'язання. За класифікацією паралелограмів, квадрат — окремий випадок ромба, тому кожен квадрат є ромбом (Б — правильне). Інші твердження хибні: ромб не обов'язково має прямі кути, тому не кожен ромб — квадрат; діагоналі ромба не рівні; діагоналі прямокутника не перпендикулярні; не кожен прямокутник має рівні сторони.

Відповідь: Б) Кожен квадрат є ромбом.

Зібрали найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач про прямокутник, ромб і квадрат. Уникай їх!

• Вважають, що кожен ромб — квадрат, а кожен прямокутник — квадрат. Насправді квадрат — окремий випадок ромба й прямокутника, а не навпаки. Ромб може мати кути, відмінні від 90°, а прямокутник — сторони різної довжини.

• Приписують ромбу рівні діагоналі, а прямокутнику — перпендикулярні діагоналі. Запам'ятай: рівні діагоналі — властивість прямокутника, перпендикулярні — властивість ромба. Лише квадрат має і те, й інше.

• У формулі для сторони ромба беруть цілі діагоналі: пишуть a² = d₁² + d₂² замість правильної формули a² = (d₁/2)² + (d₂/2)². Не забувай ділити діагоналі навпіл — вони дають катети прямокутного трикутника.

• Вважають, що діагональ прямокутника ділить його кут навпіл. Це правильне твердження лише для квадрата. У звичайному прямокутнику діагональ не є бісектрисою кутів.

• Записують діагональ квадрата як 2a або a√3 замість правильної формули d = a√2. Запам'ятай: у квадраті діагональ — гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника, звідки й береться √2.

• Кут між стороною ромба й діагоналлю беруть за кут ромба, не подвоюючи його. Оскільки діагональ ромба — бісектриса кута, заданий кут треба помножити на 2, щоб отримати кут ромба.

Тема «Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості» входить до пункту 5.4 програми НМТ з математики. Від тебе вимагають уміння застосовувати означення, ознаки й властивості цих чотирикутників до розв'язування задач.

Формати завдань

• Завдання 1–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), 0 або 1 бал. Типові задачі: обчислити сторону ромба за діагоналями; знайти кут між діагоналями прямокутника; визначити діагональ квадрата за стороною.

• Завдання 18 — логічні пари (1–3 → А–Д), до 3 балів (по 1 балу за кожну правильну пару). Наприклад: установити відповідність між набором властивостей і назвою чотирикутника.

Довідкові матеріали

Під час НМТ ти отримаєш довідкові матеріали, у яких є теорема Піфагора та формули площ прямокутника й ромба. Однак властивостей діагоналей прямокутника, ромба й квадрата в довіднику немає — їх треба знати напам'ять.

Стратегія розв'язування

Коли бачиш задачу про прямокутник, ромб або квадрат:

1. Проведи обидві діагоналі.

2. Познач точку їх перетину — центр фігури.

3. Шукай прямокутний або рівнобедрений трикутник, утворений половинами діагоналей і стороною.

4. Застосуй теорему Піфагора (для прямокутного трикутника) або властивість кутів рівнобедреного трикутника.

Пам'ятай: половини діагоналей прямокутника рівні між собою — це дає рівнобедрені трикутники. Половини діагоналей ромба — катети прямокутних трикутників.

• Прямокутник — паралелограм з прямим кутом. Усі кути 90°. Діагоналі рівні й точкою перетину діляться навпіл.

• Ромб — паралелограм з рівними сторонами. Діагоналі перпендикулярні, є бісектрисами кутів і точкою перетину діляться навпіл.

• Квадрат — і прямокутник, і ромб одночасно. Має всі їхні властивості: рівні сторони, прямі кути, рівні, перпендикулярні діагоналі, які ділять кути навпіл.

• Діагоналі ромба утворюють 4 рівні прямокутні трикутники: a² = (d₁/2)² + (d₂/2)².

• Діагональ прямокутника: d² = a² + b². Діагональ квадрата: d = a√2.

• Квадрат — окремий випадок і ромба, і прямокутника. Зворотне неправильне: не кожен ромб — квадрат, не кожен прямокутник — квадрат.

• Половини діагоналей прямокутника рівні між собою, тому трикутники AOB і AOD — рівнобедрені.

• Щоб знайти кути, завжди шукай прямокутний або рівнобедрений трикутник, утворений діагоналями.