Площа криволінійної трапеції та інтеграл за графіком

У попередніх темах ти навчився обчислювати визначений інтеграл за формулою Ньютона–Лейбніца. Тепер подивимося, який геометричний зміст має цей інтеграл. Виявляється, за його допомогою можна знаходити площі фігур, які не є прямокутниками, трикутниками чи трапеціями — так званих криволінійних трапецій.

Означення криволінійної трапеції

Криволінійною трапецією називають фігуру, обмежену:

• графіком неперервної функції y = f(x), де f(x) ≥ 0 на проміжку [a; b]

• прямою x = a

• прямою x = b

• віссю Ox (тобто прямою y = 0)

Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що площа S такої криволінійної трапеції дорівнює визначеному інтегралу від функції f(x) на проміжку [a; b]:

$$S={\int }_a^{b}f(x)dx$$

Це й називають геометричним змістом визначеного інтеграла.

Приклади обчислення площі

Розгляньмо кілька прикладів, коли функція на всьому проміжку невід'ємна.

Приклад 1. Обчислимо площу фігури, обмеженої графіком y = x², віссю Ox і прямими x = 0, x = 3.

Функція f(x) = x² невід'ємна на [0; 3]. За формулою:

$$S={\int }_0^3{x}^{2}dx={\frac{x^3}{3}|}_0^3=\frac{27}{3}-0=9$$

Отже, площа дорівнює 9 квадратних одиниць.

Приклад 2. Знайдемо площу під графіком y = √x на [0; 4].

$$S={\int }_0^4\sqrt{x}dx={\int }_0^4{x}^{1/2}dx={\frac{x^{3/2}}{3/2}|}_0^4={\frac{2}{3}{x}^{3/2}|}_0^4=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}$$

Площа дорівнює 16/3 ≈ 5,33.

Приклад 3. Обчислимо площу під графіком y = sin x на [0; π].

$$S={\int }_0^{\pi }\sin xdx={(-\cos x)|}_0^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=1+1=2$$

Як знаходити межі інтегрування

Межі інтегрування a та b — це абсциси крайніх точок фігури. Їх можна взяти з рисунка або знайти, розв'язавши рівняння f(x) = 0, якщо фігура обмежена віссю Ox.

Розгляньмо фігуру, обмежену графіком y = 4 − x² і віссю Ox. Знайдемо точки перетину графіка з віссю:

$$4-x^2=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$$

Отже, a = −2, b = 2. На цьому проміжку 4 − x² ≥ 0, тому площа:

$$S={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-2}^2=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=\frac{16}{3}+\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$$

Фігура під віссю Ox

Якщо на проміжку [a; b] функція f(x) ≤ 0, то визначений інтеграл дає від'ємне число, а площа фігури — додатна величина. У цьому випадку:

$$S=-{\int }_a^{b}f(x)dx$$

Розгляньмо функцію y = x² − 1 на проміжку [−1; 1]. На цьому проміжку функція недодатна (її графік лежить під віссю Ox). Обчислимо інтеграл:

$${\int }_{-1}^1(x^2-1)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x\right){|}_{-1}^1=\left(\frac{1}{3}-1\right)-\left(-\frac{1}{3}+1\right)=-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$$

Інтеграл дорівнює −4/3, а площа фігури (яка завжди додатна) становить 4/3. Запам'ятай: коли графік лежить під віссю, інтеграл від'ємний, а площа — модуль цього інтеграла.

На НМТ може трапитися завдання на площу фігури, обмеженої двома графіками: з теми «Первісна та визначений інтеграл» у тесті буває 0–1 завдання (у демоваріанті 2026 — завдання 12, вибір формули площі за рисунком). Загальна формула для цього випадку:

$$S={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$$

за умови, що f(x) ≥ g(x) на всьому проміжку [a; b]. Іншими словами, беремо «верхню функцію мінус нижню». Ця формула правильна навіть тоді, коли частина фігури лежить під віссю Ox, — важливо лише, яка з ліній вища.

Межі інтегрування — абсциси точок перетину

Якщо фігура обмежена двома графіками, то межі інтегрування a та b — це абсциси точок перетину цих графіків. Щоб їх знайти, розв'язуємо рівняння f(x) = g(x).

Приклад 1. Обчислимо площу фігури, обмеженої графіками y = x і y = x².

Знаходимо точки перетину: x = x² ⇒ x² − x = 0 ⇒ x(x − 1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1. На проміжку [0; 1] пряма y = x лежить вище за параболу y = x² (перевірка: при x = 0,5 маємо 0,5 > 0,25). Отже:

$$S={\int }_0^1(x-x^2)dx=\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

Приклад 2. Знайдемо площу фігури між y = 2x + 3 та y = x².

Точки перетину: x² = 2x + 3 ⇒ x² − 2x − 3 = 0 ⇒ x = −1, x = 3. Визначимо, яка функція вища на проміжку [−1; 3]. Візьмемо пробну точку, наприклад x = 0: пряма дає 2·0 + 3 = 3, парабола дає 0. Отже, пряма вища. Тому:

$$S={\int }_{-1}^3(2x+3-x^2)dx=\left(x^2+3x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^3$$

Обчислюємо: при x = 3: 9 + 9 − 9 = 9; при x = −1: 1 − 3 + 1/3 = −5/3. Різниця: 9 − (−5/3) = 9 + 5/3 = 32/3.

Як визначити верхню функцію

Візьми будь-яку точку всередині проміжку (наприклад, середину) й підстав у обидві функції. Та, що дає більше значення, і є верхньою. Якщо маєш рисунок — верхня лінія візуально вища.

Коли межова лінія змінюється

Іноді фігуру обмежують різні лінії на різних ділянках. У такому разі фігуру треба розбити вертикальною прямою на частини й обчислити площу кожної окремо.

Приклад 3. Розгляньмо фігуру, обмежену y = x², y = 2 − x і віссю Ox при x ≥ 0.

На проміжку [0; 1] верхня межа — парабола y = x², нижня — вісь Ox (y = 0). На проміжку [1; 2] верхня межа — пряма y = 2 − x, нижня — вісь Ox. Точка x = 1 — абсциса перетину x² = 2 − x (розв'язок x = 1, другий корінь x = −2 не належить області). Отже:

$$S={\int }_0^1{x}^{2}dx+{\int }_1^2(2-x)dx={\frac{x^3}{3}|}_0^1+\left(2x-\frac{x^2}{2}\right){|}_1^2=\frac{1}{3}+\left((4-2)-(2-0,5)\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$$

Зверни увагу: не можна записати одним інтегралом, коли верхня лінія змінюється.

На НМТ можуть дати рисунок зафарбованої фігури й запропонувати кілька варіантів інтегралів — треба вибрати правильний. Для цього існує чіткий алгоритм.

Алгоритм вибору формули

1. Визнач межі інтегрування a та b — це абсциси крайніх точок фігури (найлівіша й найправіша точки на рисунку).

2. Знайди верхню межову лінію f(x) і нижню межову лінію g(x).

3. Запиши інтеграл ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx. Якщо нижня лінія — вісь Ox (y = 0), то ∫ₐᵇ f(x) dx.

4. Якщо вся фігура лежить під віссю Ox, постав мінус перед інтегралом: S = −∫ₐᵇ f(x) dx.

Які хибні записи можуть бути серед варіантів

Укладачі тестів часто пропонують відповіді з типовими помилками. Ось найпоширеніші:

• переставлені межі — ∫₂⁻¹ … замість ∫₋₁² … (нижня межа більша за верхню)

• «нижня мінус верхня» — ∫ₐᵇ (g(x) − f(x)) dx замість ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx

• інтеграл від однієї функції замість різниці — ∫ₐᵇ f(x) dx, коли фігуру обмежують дві різні лінії

• сума функцій замість різниці — ∫ₐᵇ (f(x) + g(x)) dx

• межі за ординатами (y) замість абсцис — наприклад, ∫₀⁴ … замість ∫₋₁² …

Приклад: фігура між y = √x і y = x/2

Знайдемо площу фігури, обмеженої графіками y = √x та y = x/2.

Крок 1. Точки перетину: √x = x/2 ⇒ x = x²/4 ⇒ x² − 4x = 0 ⇒ x(x − 4) = 0 ⇒ x = 0, x = 4. Межі: a = 0, b = 4.

Крок 2. Визначаємо верхню функцію. При x = 1: √1 = 1, 1/2 = 0,5. Отже, √x вища.

Крок 3. Записуємо інтеграл:

$$S={\int }_0^4\left(\sqrt{x}-\frac{x}{2}\right)dx=\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}-\frac{x^2}{4}\right){|}_0^4=\left(\frac{2}{3}\cdot 8-\frac{16}{4}\right)-0=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}$$

Фігура з двох частин

Якщо фігура складається з двох частин, у яких різні верхні або нижні лінії, не намагайся записати все одним інтегралом. Розбий фігуру вертикальною лінією на частини, обчисли площу кожної окремо й додай результати.

Досі ми розглядали ситуації, коли графік функції не перетинає вісь Ox на проміжку інтегрування. Але що робити, коли частина графіка лежить над віссю, а частина — під нею? Тут важливо розрізняти поняття «інтеграл» і «площа фігури».

Інтеграл як різниця площ

Якщо на проміжку [a; b] графік функції y = f(x) перетинає вісь Ox, то визначений інтеграл дорівнює різниці площ частин над віссю та під нею:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=S_{+}-S_{-}$$

де S₊ — сумарна площа частин графіка, що лежать над віссю Ox (беруться зі знаком «+»), а S₋ — сумарна площа частин під віссю Ox (беруться зі знаком «−»).

Графік з відрізків: ламана лінія

Якщо графік функції складається з відрізків прямої (ламана), інтеграл можна обчислити як суму площ трикутників, прямокутників і трапецій. Формули площ цих фігур є в довідці НМТ:

• трикутник: S = (ah)/2

• прямокутник: S = ab

• трапеція: S = ((a + b)/2) · h

Приклад 1. Розгляньмо ламану, що проходить через точки (0; 0), (2; 4), (4; 4), (6; 0), (7; −2). Обчислимо ∫₀⁷ f(x) dx.

Розбиваємо проміжок на ділянки:

• [0; 6] — фігура над віссю: це трапеція з основами 6 (нижня основа від x = 0 до x = 6) і 2 (верхня основа від x = 2 до x = 4) та висотою 4. Площа: ((6 + 2)/2) · 4 = 4 · 4 = 16.

• [6; 7] — фігура під віссю: це трикутник з основою 1 і висотою 2 (по модулю). Площа: (1 · 2)/2 = 1. Оскільки частина під віссю, беремо її зі знаком «−».

Отже:

$${\int }_0^{7}f(x)dx=16-1=15$$

А площа всієї фігури (без урахування знака) дорівнює 16 + 1 = 17. Бачиш різницю? Інтеграл — 15, а площа — 17.

Площа ≠ інтеграл, коли графік перетинає вісь

Розгляньмо функцію y = x² − 1 на проміжку [0; 2]. На [0; 1] функція від'ємна (графік під віссю), на [1; 2] — додатна.

Обчислимо інтеграл:

$${\int }_0^2(x^2-1)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x\right){|}_0^2=\left(\frac{8}{3}-2\right)-0=\frac{2}{3}$$

А тепер знайдемо площу фігури (додатну величину). На [0; 1] площа під віссю: S₁ = −∫₀¹ (x² − 1) dx = −(1/3 − 1) = 2/3. На [1; 2] площа над віссю: S₂ = ∫₁² (x² − 1) dx = (8/3 − 2) − (1/3 − 1) = 2/3 + 2/3 = 4/3. Повна площа: S = 2/3 + 4/3 = 2.

Отже, інтеграл дорівнює 2/3, а площа — 2. Вони різні, бо інтеграл «віднімає» площу під віссю.

Інтеграл через площу відомої фігури

Іноді функцію задано так, що її графік — частина відомої геометричної фігури. Тоді інтеграл можна знайти без формули Ньютона–Лейбніца.

Приклад 2. Обчислимо ∫₀³ √(9 − x²) dx. Графік функції y = √(9 − x²) — це верхня половина кола радіуса 3 з центром у початку координат (адже x² + y² = 9, y ≥ 0). На проміжку [0; 3] маємо чверть круга. Площа чверті круга:

$${\int }_0^3\sqrt{9-x^2}dx=\frac{1}{4}\pi R^2=\frac{1}{4}\pi \cdot 9=\frac{9\pi }{4}$$

Це набагато швидше, ніж шукати первісну!

У цьому розділі розв'яжемо чотири типові задачі НМТ на площу фігури через інтеграл. Кожна задача супроводжується покроковим розв'язанням і поясненням, чому інші варіанти відповідей хибні.

Приклад 1. Вибір формули площі за рисунком

На рисунку зображено зафарбовану фігуру, обмежену параболою y = x² і прямою y = x + 2. Укажіть формулу для обчислення площі цієї фігури.

Розв'язання. Крок 1 — знаходимо межі інтегрування. Точки перетину параболи та прямої: x² = x + 2 ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ x = −1, x = 2. Отже, a = −1, b = 2.

Крок 2 — визначаємо верхню й нижню лінії. На проміжку [−1; 2] пряма y = x + 2 лежить вище за параболу y = x² (перевірка: при x = 0 маємо 2 > 0).

Крок 3 — записуємо інтеграл: S = ∫₋₁² (x + 2 − x²) dx.

Відповідь: ∫₋₁² (x + 2 − x²) dx.

Чому інші варіанти хибні:

• ∫₋₁² (x² − x − 2) dx — це «нижня мінус верхня», дасть від'ємне число.

• ∫₋₂¹ (x + 2 − x²) dx — хибні межі (переплутано абсциси точок перетину).

• ∫₋₁² (x² + x + 2) dx — сума функцій замість різниці.

• ∫₀⁴ (x + 2 − x²) dx — межі взято за ординатами (y), а не за абсцисами.

Приклад 2. Площа фігури, обмеженої графіком і віссю Ox

Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком y = 6x − 3x² і віссю Ox.

Розв'язання. Крок 1 — знаходимо точки перетину графіка з віссю Ox: 6x − 3x² = 0 ⇒ 3x(2 − x) = 0 ⇒ x = 0, x = 2. Межі: a = 0, b = 2.

Крок 2 — на проміжку [0; 2] функція 6x − 3x² ≥ 0, тому площа дорівнює інтегралу:

$$S={\int }_0^2(6x-3x^2)dx=\left(3x^2-x^3\right){|}_0^2=(12-8)-0=4$$

Відповідь: 4.

Типова пастка: узяти межі «на око» з рисунка, не розв'язавши рівняння 6x − 3x² = 0. Наприклад, дехто бере межі 0 і 3, помилково вважаючи, що парабола перетинає вісь у точці 3.

Приклад 3. Інтеграл за графіком-ламаною

Графік функції y = f(x) на проміжку [−2; 5] — ламана, що проходить через точки (−2; 0), (0; 2), (2; 2), (3; 0), (5; −2). Обчисліть ∫₋₂⁵ f(x) dx.

Розв'язання. Розбиваємо фігуру на частини за знаками:

• Над віссю Ox на [−2; 3]: трапеція з основами 5 (від −2 до 3) і 2 (від 0 до 2) та висотою 2. Площа: ((5 + 2)/2) · 2 = 7.

• Під віссю Ox на [3; 5]: трикутник з основою 2 і висотою 2. Площа: (2 · 2)/2 = 2. Беремо зі знаком «−».

Отже: ∫₋₂⁵ f(x) dx = 7 − 2 = 5.

Відповідь: 5.

Типова пастка: додати площу під віссю (7 + 2 = 9), не врахувавши, що інтеграл «віднімає» площу під віссю.

Приклад 4. Площа фігури, що частково під віссю

Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком y = x² − 1, віссю Ox і прямими x = 0 та x = 2.

Розв'язання. На проміжку [0; 1] функція від'ємна (графік під віссю), на [1; 2] — додатна. Тому площу знаходимо як суму модулів:

$$S=-{\int }_0^1(x^2-1)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx$$

Обчислюємо:

$$-{\int }_0^1(x^2-1)dx=-\left(\frac{1}{3}-1\right)=-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}$$

$${\int }_1^2(x^2-1)dx=\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$$

$$S=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$$

Відповідь: 2.

Чому інші варіанти хибні:

• 2/3 — обчислено інтеграл ∫₀² (x² − 1) dx, а не площу (під віссю віднято, а не додано).

• 4/3 — узято лише частину площі над віссю [1; 2], пропущено частину під віссю.

• 8/3 — обчислено ∫₀² x² dx (без «−1»).

• 14/3 — обчислено ∫₀² (x² + 1) dx (сума замість різниці).

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час обчислення площ через інтеграл. Уникай їх — і твій результат на НМТ буде вищим.

• Ототожнюють інтеграл із площею, коли частина графіка лежить під віссю Ox. Інтеграл дає різницю площ над віссю та під нею, а площа — це сума модулів. Завжди перевіряй, чи перетинає графік вісь Ox на проміжку інтегрування.

• У площі між графіками віднімають верхню функцію від нижньої. Правильна формула: «верхня мінус нижня». Якщо відняти верхню функцію від нижньої (нижня мінус верхня), отримаєш від'ємне число, а площа має бути додатною.

• Беруть межами ординати точок перетину, а не абсциси. Межі інтегрування — це завжди значення x (абсциси), а не y (ординати). Якщо на рисунку позначено точки (0; 4) і (2; 4), межі будуть 0 і 2, а не 4.

• Записують одним інтегралом фігуру, у якої межова лінія змінюється. Якщо на різних ділянках верхню межу задають різні функції, фігуру треба розбити на частини й обчислити площу кожної окремо.

• У графіку з відрізків забувають множник 1/2 у площі трикутника чи трапеції. Площа трикутника: (ah)/2, площа трапеції: ((a + b)/2) · h. Без множника 1/2 результат буде вдвічі більшим.

• Беруть межі з рисунка «на око», не розв'язуючи рівняння f(x) = g(x). Наприклад, для y = 6x − 3x² дехто бере межі 0 і 3, хоча правильний корінь — 2. Завжди перевіряй межі аналітично.

• Записують площу фігури під віссю від'ємним числом. Площа — завжди додатна величина. Якщо фігура лежить під віссю Ox, її площа S = −∫ₐᵇ f(x) dx, а результат буде додатним.

Тема «Площа криволінійної трапеції та інтеграл за графіком» входить до теми програми НМТ з математики «Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла для обчислення площ плоских фігур» (рівень стандарту). У програмі зазначено: «означення … криволінійної трапеції» та вміння «обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла».

Формат завдань на НМТ

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 12 перевіряє саме цю тему: за рисунком треба вибрати формулу площі зафарбованої фігури через визначений інтеграл. Це завдання з вибором однієї відповіді з п'яти (А–Д), за яке можна отримати 0 або 1 бал.

Інтеграл може також з'явитися в завданнях 19–22 — коротка відповідь (0 або 2 бали). У вибірці з чотирьох тестів 2023–2024 років на позиції 19 в одному тесті було завдання на інтеграл. Відповідь у таких завданнях — лише десятковий дріб.

Рівень складності

Аналіз програми (експертна оцінка, а не дані УЦОЯО) відносить первісну за графіком до найважчих позицій тесту. Це означає, що варто приділити темі особливу увагу під час підготовки.

Що можна використати з довідки

У довідці НМТ є:

• таблиця первісних (для обчислення інтегралів)

• формула Ньютона–Лейбніца: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

• формули площ трикутника (ah/2) і трапеції ((a + b)/2 · h)

Формули площі між двома графіками в довідці немає — її треба знати й розуміти самостійно.

Стратегія виконання

Під час розв'язування завдання на площу за рисунком:

1. Познач на рисунку межі інтегрування (абсциси крайніх точок фігури).

2. Визнач верхню й нижню лінії, що обмежують фігуру.

3. Якщо межова лінія змінюється, розбий фігуру на частини вертикальними прямими.

4. Запиши інтеграл (або суму інтегралів) і звір із запропонованими варіантами.

• Якщо f(x) ≥ 0 на [a; b], то площа криволінійної трапеції S = ∫ₐᵇ f(x) dx. Якщо f(x) ≤ 0, то S = −∫ₐᵇ f(x) dx.

• Площа фігури між двома графіками: S = ∫ₐᵇ (верхня − нижня) dx. Межі a і b — абсциси точок перетину графіків.

• Визначений інтеграл дорівнює площі над віссю Ox мінус площа під віссю Ox: ∫ₐᵇ f(x) dx = S₊ − S₋.

• Якщо графік — ламана з відрізків, інтеграл обчислюють як суму площ трикутників, прямокутників і трапецій (формули є в довідці НМТ).

• Коли межова лінія змінюється на різних ділянках, розбий фігуру на частини й обчисли площу кожної окремо.

• У формулі площі завжди перевіряй: межі (абсциси, не ординати), порядок різниці (верхня мінус нижня) і знак (мінус перед інтегралом, якщо фігура під віссю).