Перетворення графіків функцій

У найпростішому випадку графік функції можна зсунути вздовж координатних осей, не змінюючи його форми. Такі зсуви називають паралельним перенесенням. Розгляньмо два основних види:

Зсув по вертикалі: y = f(x) + b

Додавання числа b до значення функції підіймає або опускає графік. Правило: кожна точка (x; y) графіка y = f(x) переходить у точку (x; y + b) графіка y = f(x) + b. Якщо b > 0, графік зсувається вгору на b одиниць; якщо b < 0 — вниз на |b| одиниць. Область визначення (D(f)) не змінюється, а область значень зсувається на b: якщо E(f) = [m; M], то E(f + b) = [m + b; M + b].

Наприклад, графік y = x² + 2 отримуємо, зсунувши параболу y = x² на 2 одиниці вгору: вершина переміщується з (0; 0) у (0; 2). Графік y = x² − 3 має вершину (0; −3).

Зсув по горизонталі: y = f(x − a)

Якщо замість x підставити x − a, графік зсувається вздовж осі Ox. Правило: точка (x; y) графіка y = f(x) переходить у точку (x + a; y) графіка y = f(x − a). Ключовий момент: коли a > 0, графік зсувається праворуч; коли a < 0 — ліворуч.

Чому так? Функція y = f(x − a) набуває того самого значення, яке f мала при x₀, у точці x₀ + a. Отже, щоб отримати те саме значення, аргумент мусить стати більшим — графік іде праворуч. Наприклад, y = (x − 3)² — це парабола y = x², зсунута на 3 праворуч, вершина в (3; 0). Навпаки, y = (x + 2)² — зсув ліворуч на 2, вершина в (−2; 0).

Одночасний зсув: y = f(x − a) + b

Об'єднання горизонтального й вертикального зсуву дає y = f(x − a) + b. Точка (x; y) переходить у (x + a; y + b). Кілька прикладів:

• y = (x + 2)² − 1: парабола з вершиною (−2; −1) — зсув ліворуч на 2 і вниз на 1.

• y = √(x − 3) + 1: графік квадратного кореня починається в точці (3; 1) — зсув праворуч на 3 і вгору на 1.

• y = 1/(x + 1) − 2: гіпербола має центр симетрії (−1; −2) — зсув ліворуч на 1 і вниз на 2.

Образ точки й область визначення

Якщо відомо, що точка A(2; 5) лежить на графіку y = f(x), то на графіку y = f(x + 3) − 1 лежить точка з абсцисою 2 − 3 = −1 і ординатою 5 − 1 = 4, тобто (−1; 4). Чому? Щоб значення f лишилося тим самим, аргумент зменшуємо на 3 (f(x + 3): x + 3 = 2 → x = −1), а до результату додаємо −1.

Область визначення y = f(x − a) — це D(f), зсунута на a. Якщо D(f) = [−1; 3], то D(f(x − 2)) = [1; 5] (додаємо 2 до обох меж).

Окрім зсувів, графік можна симетрично відобразити або розтягнути (стиснути) відносно осі Ox. Розгляньмо три важливі перетворення.

Симетрія відносно осі Ox: y = −f(x)

Множення всього виразу функції на −1 відображає графік симетрично відносно горизонтальної осі Ox. Кожна точка (x; y) переходить у (x; −y). Нулі функції (точки перетину з віссю Ox) залишаються незмінними, бо −0 = 0. Область значень змінює знак: якщо E(f) = [−2; 4], то E(−f) = [−4; 2] (кожен кінець проміжку множимо на −1 і міняємо їх місцями).

Приклад: y = −x² — перевернута парабола з вітками вниз, вершина в (0; 0). Порівняйте з y = x²: усі y-координати змінили знак.

Симетрія відносно осі Oy: y = f(−x)

Заміна x на −x в аргументі функції відображає графік симетрично відносно вертикальної осі Oy. Кожна точка (x; y) переходить у (−x; y). Для парної функції (f(−x) = f(x)) графік не змінюється — він уже симетричний відносно Oy.

Важливо не плутати ці два перетворення! Для функції f(x) = √x маємо:

y = −√x — графік лежить під віссю Ox (симетрія відносно Ox); y = √(−x) — графік визначений при x ≤ 0 і лежить ліворуч від осі Oy (симетрія відносно Oy).

Розтяг (стиск) від осі Ox: y = kf(x)

Множення функції на сталий коефіцієнт k змінює відстань кожної точки графіка від осі Ox. Правило: (x; y) → (x; ky).

Якщо k > 1, графік розтягується від осі Ox у k разів — стає вищим (вужчим). Якщо 0 < k < 1, графік стискається до осі Ox — стає нижчим (ширшим). Нулі функції залишаються на місці, бо k · 0 = 0. Область значень множиться на k: для E(f) = [−2; 4] маємо E(3f) = [−6; 12].

Приклади: y = 2x² вужча за y = x² (кожна y-координата подвоєна); y = 0,5x² ширша (кожна y-координата вдвічі менша).

Коли k < 0, відбувається одночасно розтяг у |k| разів і симетрія відносно Ox. Наприклад, y = −2x² — парабола y = x², розтягнута від осі Ox у 2 рази й відображена відносно Ox: вона вужча за y = x², вітки напрямлені вниз.

Порівняння перетворень

Модуль функції — потужний інструмент, який «загортає» від'ємні значення функції в додатні. Розгляньмо, як будувати графік y = |f(x)|, знаючи графік y = f(x).

Означення модуля функції

За означенням, |f(x)| = f(x), коли f(x) ≥ 0, і |f(x)| = −f(x), коли f(x) < 0. Інакше кажучи: частини графіка, що лежать над віссю Ox і на ній, залишаються без змін, а частини, що лежать під віссю Ox, симетрично відображаються вгору відносно осі Ox.

Це ключове правило: графік y = |f(x)| ніколи не опускається нижче від осі Ox. Область значень |f| завжди складається з невід'ємних чисел.

Як знайти область значень y = |f(x)|

Якщо відома область значень E(f) вихідної функції, E(|f|) знаходять так: беруть усі значення з E(f), замінюють від'ємні на додатні, і беруть проміжок від найменшого невід'ємного значення до найбільшого.

Приклади:

Якщо E(f) = [−2; 4], то E(|f|) = [0; 4], бо найменше значення −2 перетворюється на 2, але 0 є меншим (точки, де f(x) = 0, дають |f(x)| = 0). Якщо E(f) = [−5; −1] (функція вся від'ємна), то E(|f|) = [1; 5] — усі значення стали додатними, найменше 1, найбільше 5.

Приклади побудови

Розгляньмо кілька типових випадків.

y = |2x − 3|: графік лінійної функції 2x − 3 перетинає вісь Ox у точці x = 1,5 (нуль функції). Ліворуч від 1,5 лінійна функція від'ємна — цю частину відображаємо вгору. Утворюється «галочка» з вершиною в (1,5; 0).

y = |x² − 4|: парабола y = x² − 4 має нулі в точках −2 і 2. На проміжку (−2; 2) парабола лежить нижче від осі Ox — цю частину відображаємо вгору. В результаті отримуємо графік, схожий на W: точка (0; −4) стає (0; 4), а нулі залишаються на місці.

Важливо: нулі функції f залишаються нулями функції |f|, бо |0| = 0.

Різниця між y = |x| − 2 і y = |x − 2|

Ці дві функції часто плутають, хоча їхні графіки різні:

На НМТ можуть трапитися завдання, де графік зазнає кількох перетворень. Важливо знати, у яких випадках порядок кроків має значення.

Порядок перетворень для y = k·f(x − a) + b

Для виразу y = k·f(x − a) + b перетворення виконують у такому порядку:

1. Зсув по горизонталі: замінюємо x на x − a (праворуч на a при a > 0, ліворуч на |a| при a < 0).

2. Розтяг від осі Ox у |k| разів (і симетрія відносно Ox, якщо k < 0): множимо на k.

3. Зсув по вертикалі: додаємо b.

Чому саме так? Зсув по горизонталі змінює лише аргумент x, а множення на k — лише ординату y, тому ці два кроки можна виконувати в будь-якому порядку: результат той самий. А от зсув по вертикалі додають після множення на k, бо інакше коефіцієнт k множив би й на b також: k·(f(x − a) + b) = k·f(x − a) + kb.

Приклад: y = −2(x − 1)² + 3

Розберімо цю функцію крок за кроком:

Беремо графік y = x² (парабола, вершина (0; 0), вітки вгору).

1) Зсув по горизонталі: y = (x − 1)² — вершина переходить у (1; 0), праворуч на 1.

2) Розтяг і симетрія: y = −2(x − 1)² — парабола розтягується від осі Ox у 2 рази (стає вужчою), вітки повертають униз, вершина залишається (1; 0).

3) Зсув по вертикалі: y = −2(x − 1)² + 3 — вершина піднімається в (1; 3).

Отже, вершина параболи y = −2(x − 1)² + 3 — точка (1; 3), вітки вниз, парабола вужча за y = x².

Перевірка двома точками

Щоб переконатися, що графік побудовано правильно, обчисліть значення в двох ключових точках:

Для y = −2(x − 1)² + 3 при x = 0 маємо y = −2·(0 − 1)² + 3 = −2·1 + 3 = 1. Отже, графік перетинає вісь Oy у точці (0; 1). Якщо рисунок не проходить через вершину (1; 3) і точку (0; 1), його варто відкинути.

Від формули до графіка за опорними точками

Якщо дано графік, а потрібно записати формулу, діють так:

1. Знаходять опорну точку (вершину параболи, початок графіка кореня, центр симетрії гіперболи) і визначають, на скільки вона змістилася по горизонталі (a) і по вертикалі (b).

2. З'ясовують, чи відображено графік відносно Ox (вітки вниз) і чи розтягнуто його (коефіцієнт k).

3. Записують y = k·f(x − a) + b і перевіряють формулу ще однією точкою графіка.

Наприклад, графік y = √x, що починається в точці (−2; −3), задає формулу y = √(x + 2) − 3: початок змістився з (0; 0) ліворуч на 2 (x + 2) і вниз на 3 (−3).

Перетворення з модулем: y = |f(x)| + b

Для функцій вигляду y = |f(x)| + b спершу будують графік y = |f(x)| (відображають угору частину під віссю), а потім зсувають результат на b по вертикалі.

Приклад: y = |x² − 4| − 1. Спочатку будуємо y = |x² − 4| (частину параболи між −2 і 2 відображено вгору, найменше значення 0). Потім зсуваємо на 1 вниз. Найменше значення стає −1, а графік частково опускається нижче від осі Ox. Зверніть увагу: модуль діє лише на f(x), а потім додавання b зсуває вже результат.

Розв'яжімо кілька типових завдань у форматі НМТ, щоб закріпити знання.

Приклад 1. Вибір графіка за формулою

Завдання: на рисунках зображено п'ять парабол. Виберіть графік функції y = (x − 1)² − 3.

Розв'язання. Функція має вигляд y = (x − 1)² − 3. Це парабола y = x², зсунута праворуч на 1 і вниз на 3. Отже, вершина параболи — точка (1; −3). Вітки напрямлені вгору, бо коефіцієнт при x² додатний (1). Серед п'яти рисунків шукаємо параболу з вершиною (1; −3) і вітками вгору. Це і є правильна відповідь.

Чому інші варіанти неправильні:

• Парабола з вершиною (−1; −3) — неправильно враховано знак у дужках: x − 1 означає зсув праворуч.

• Парабола з вершиною (1; 3) — переплутано напрям вертикального зсуву.

• Парабола з вершиною (−3; 1) — переплутано горизонтальний і вертикальний зсуви.

• Парабола з вершиною (1; −3), але з вітками вниз — це графік y = −(x − 1)² − 3, а в нашій функції коефіцієнт при x² додатний.

Приклад 2. Образ точки після перетворення

Завдання: точка A(2; 5) належить графіку функції y = f(x). Яка точка обов'язково належить графіку функції y = f(x + 3) − 1?

Розв'язання. Перетворення y = f(x + 3) − 1 складається з:

• зсуву ліворуч на 3 (x + 3): абсциса 2 переходить у 2 − 3 = −1;

• зсуву вниз на 1 (−1): ордината 5 переходить у 5 − 1 = 4.

Отже, образ точки A — (−1; 4).

Чому інші варіанти неправильні:

• (5; 4) — абсцису збільшено на 3, тобто графік зсунуто праворуч, а f(x + 3) зсуває ліворуч.

• (−1; 6) — ординату збільшено на 1 замість зменшити.

• (5; 6) — обидва зсуви виконано в неправильному напрямку.

• (2; 4) — забули про горизонтальний зсув.

Приклад 3. Логічні пари: функція та її область значень

Завдання: графік функції y = f(x) неперервний на [−1; 3] і має область значень E(f) = [−2; 4]. Установіть відповідність між функціями (1–3) та їхніми областями значень (А–Д).

1) y = f(x) + 3; 2) y = −f(x); 3) y = |f(x)|

Варіанти: А) [1; 7]; Б) [−4; 2]; В) [0; 4]; Г) [2; 4]; Д) [−2; 7]

Розв'язання.

• y = f(x) + 3: кожне значення збільшується на 3, тому E = [−2 + 3; 4 + 3] = [1; 7].

• y = −f(x): значення змінюють знак, тому E = [−4; 2].

• y = |f(x)|: від'ємні значення стають додатними, найбільше значення |f| дорівнює 4 (бо |−2| = 2 < 4), а 0 досягається, бо неперервна функція змінює знак. Тому E = [0; 4].

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Приклад 4. Запис формули за описом перетворень

Завдання: графік якої функції отримано з графіка y = √x зсувом на 2 одиниці ліворуч і на 3 одиниці вниз?

Розв'язання. Зсув ліворуч на 2 означає заміну x на x + 2. Зсув униз на 3 означає віднімання 3 від усього виразу. Отже, формула: y = √(x + 2) − 3.

Чому інші варіанти неправильні:

• y = √(x − 2) − 3 — зсув праворуч, а не ліворуч.

• y = √(x + 2) + 3 — зсув угору, а не вниз.

• y = √(x − 3) + 2 — переплутано напрями обох зсувів і самі числа.

• y = −3√(x + 2) — множення на −3 додає розтяг і симетрію, яких в умові немає.

Зібрали типові помилки в перетвореннях графіків і способи їх уникнути.

• Плутати напрям горизонтального зсуву: y = f(x − 3) — зсув праворуч, а y = f(x + 3) — ліворуч.

• Плутати y = −f(x) (симетрія відносно Ox) і y = f(−x) (симетрія відносно Oy).

• Вважати, що y = |x| − 2 і y = |x − 2| мають однаковий графік: перший зсунуто вниз, другий — праворуч.

• Шукати E(|f|), просто взявши модулі кінців: для неперервної f з E(f) = [−2; 4] відповідь [0; 4], а не [2; 4].

• Додавати b до множення на k: k·(f(x) + b) = k·f(x) + kb, а не k·f(x) + b.

• Забувати, що горизонтальний зсув змінює й область визначення: для D(f) = [−1; 3] маємо D(f(x − 2)) = [1; 5].

Перетворення графіків належать до розділу «Функції» програми НМТ (тема «Функціональна залежність. Лінійні, квадратні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості»). Уміння «використовувати перетворення графіків функцій» є вимогою рівня стандарту.

У завданнях 1–15 (вибір однієї відповіді з п'яти, 0 або 1 бал) може трапитися завдання, де потрібно з п'яти рисунків вибрати графік заданої функції. Наприклад, серед п'яти парабол знайти ту, що відповідає y = (x + 2)² − 1.

У логічних парах № 16 («функція ↔ графік чи властивість», 1–3 → А–Д, 0–3 бали) перетворення допомагають зіставити зсунуту параболу чи гіперболу з її графіком. Наприклад, можуть дати набір графіків і формул, серед яких є y = √(x + 2) − 3, і треба знайти відповідний графік.

Стратегія розв'язання:

• Знайди опорну точку графіка (вершину, початок, центр симетрії) і її образ після перетворень.

• Визнач знак коефіцієнта k: вітки вгору чи вниз.

• Перевір відповідь ще однією точкою, наприклад перетином з віссю Oy.

Час на одне завдання — приблизно 2–3 хвилини. Якщо завдання видається складним, познач його і повернися пізніше.

Відповіді на найпоширеніші запитання про перетворення графіків.

• y = f(x − a) + b: точка (x; y) переходить у (x + a; y + b); f(x − a) при a > 0 зсуває графік праворуч, f(x + a) — ліворуч.

• y = −f(x) — симетрія відносно осі Ox, y = f(−x) — симетрія відносно осі Oy.

• y = k·f(x): точка (x; y) переходить у (x; ky), нулі не змінюються, область значень множиться на k.

• y = |f(x)|: частину графіка під віссю Ox відображають угору, тому всі значення невід'ємні.

• Для y = k·f(x − a) + b число b додають після множення на k.