Паралелограм: властивості й ознаки

Почнемо з найзагальнішого — чотирикутника. Це фігура, що складається з чотирьох точок (вершин), сполучених чотирма відрізками (сторонами) так, що жодні дві сторони не перетинаються, крім як у вершинах. Чотирикутник називають опуклим, якщо він лежить по один бік від кожної своєї сторони. Усі чотирикутники, які ми розглядатимемо на НМТ, — опуклі.

Основні елементи чотирикутника

Розгляньмо чотирикутник ABCD. Вершини завжди називають по контуру, за годинниковою стрілкою або проти неї. Запис «ABCD» означає, що вершини A, B, C, D розташовані саме в такому порядку навколо фігури. Не можна називати чотирикутник «ABDC» — це вказувало б на інший порядок вершин.

Сторони: AB, BC, CD, DA. Сусідні сторони мають спільну вершину (AB і BC — сусідні, тому що обидві проходять через B). Протилежні сторони не мають спільних вершин: AB і CD, BC і AD. Аналогічно, сусідні кути прилягають до однієї сторони (∠A і ∠B — сусідні), а протилежні кути лежать навпроти один одного (∠A і ∠C, ∠B і ∠D).

Діагоналі чотирикутника — це відрізки, що сполучають несусідні вершини. У чотирикутнику ABCD діагоналями є AC і BD. Кожна діагональ ділить чотирикутник на два трикутники.

Сума кутів чотирикутника

Проведімо в чотирикутнику ABCD діагональ AC. Вона розбиває фігуру на два трикутники: △ABC і △ADC. Сума кутів кожного трикутника дорівнює 180°. Отже, сума всіх кутів чотирикутника:

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=2\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }.$$

Це ключове правило: сума кутів будь-якого опуклого чотирикутника становить 360°.

Як знаходити невідомі кути

Знаючи три кути чотирикутника, четвертий знаходять відніманням їхньої суми від 360°. Наприклад, кути дорівнюють 70°, 110° і 95°. Сума: 70° + 110° + 95° = 275°. Тоді четвертий кут: 360° − 275° = 85°.

Якщо кути задано відношенням, наприклад 1 : 2 : 3 : 4, позначають найменший кут як x, а решту — як 2x, 3x, 4x. Тоді:

$$x+2x+3x+4x=360^{\circ }\Rightarrow 10x=360^{\circ }\Rightarrow x=36^{\circ }.$$

Отже, кути: 36°, 72°, 108°, 144°.

Перевірка здоровим глуздом

Перш ніж записати відповідь, завжди перевіряй, чи можливий такий набір кутів у реальному чотирикутнику:

• Чотири тупі кути (кожен > 90°) неможливі — їхня сума перевищила б 360°.

• Чотири гострі кути (кожен < 90°) теж неможливі — сума була б меншою за 360°.

• Три тупі кути — можливі: наприклад, 100°, 100°, 100° і 60° (сума 360°).

• Один кут може бути прямим (90°), інші — будь-якими, аби в сумі давали 270°.

Ця проста перевірка допомагає уникнути помилок ще до того, як ти позначиш відповідь в електронній формі тесту.

Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Записують: AB ∥ CD і BC ∥ AD. Саме це означення є фундаментом, з якого випливають усі властивості паралелограма.

Основні властивості

Розгляньмо паралелограм ABCD. Його властивості можна поділити на три групи.

Властивості сторін і кутів

• Протилежні сторони рівні: AB = CD, BC = AD.

• Протилежні кути рівні: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.

• Сума кутів, прилеглих до однієї сторони (сусідніх кутів), дорівнює 180°.

Чому сусідні кути дають 180°? Сторони AB ∥ CD, а сторона BC — січна. Тоді ∠B і ∠C — внутрішні односторонні кути при паралельних прямих AB і CD та січній BC. За властивістю паралельних прямих сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°. Так само ∠A і ∠B — внутрішні односторонні при BC ∥ AD і січній AB.

Властивості діагоналей

• Діагоналі паралелограма точкою перетину O діляться навпіл: AO = OC, BO = OD.

• Діагональ ділить паралелограм на два рівні трикутники (△ABC = △CDA).

Важливе застереження: у загальному випадку діагоналі паралелограма не рівні й не перпендикулярні. Рівними вони бувають лише в окремому випадку — у прямокутнику. Перпендикулярними — лише в ромбі. Не плутай ці властивості! Поширена помилка — приписувати будь-якому паралелограму рівні діагоналі.

Обчислення кутів паралелограма

Застосуймо властивості до конкретних задач.

Приклад 1. Один кут паралелограма на 40° більший за інший. Знайди всі кути.

Нехай менший кут дорівнює x. Тоді більший — x + 40°. Оскільки це сусідні кути, їхня сума дорівнює 180°:

$$x+(x+40^{\circ })=180^{\circ }\Rightarrow 2x=140^{\circ }\Rightarrow x=70^{\circ }.$$

Отже, кути паралелограма: 70°, 110°, 70°, 110°.

Приклад 2. ∠A : ∠B = 2 : 7. Знайди кути паралелограма.

Нехай ∠A = 2x, ∠B = 7x. Як сусідні кути: 2x + 7x = 180° ⇒ 9x = 180° ⇒ x = 20°. Тоді ∠A = 40°, ∠B = 140°. Протилежні кути рівні: ∠C = ∠A = 40°, ∠D = ∠B = 140°.

Периметр паралелограма

Периметр паралелограма обчислюють за формулою:

$$P=2(a+b),$$

де a і b — довжини двох сусідніх сторін.

Приклад. Периметр паралелограма дорівнює 36 см, а одна сторона на 4 см більша за іншу. Знайди сторони.

Нехай менша сторона дорівнює x см, тоді більша — (x + 4) см. Маємо:

$$2(x+x+4)=36\Rightarrow 2(2x+4)=36\Rightarrow 4x+8=36\Rightarrow 4x=28\Rightarrow x=7.$$

Сторони паралелограма: 7 см і 11 см.

Відрізки діагоналей

Оскільки діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то AO — половина AC, BO — половина BD.

Приклад. У паралелограмі ABCD діагоналі AC = 14 см, BD = 10 см, а сторона AB = 8 см. Знайди периметр трикутника AOB.

Точка O — точка перетину діагоналей. AO = 14 : 2 = 7 см, BO = 10 : 2 = 5 см. Тоді периметр △AOB:

$$P_{△AOB}=AO+BO+AB=7+5+8=20\text{см}.$$

Окремий і типовий випадок — бісектриса кута паралелограма. Вона має цікаву властивість: відтинає від паралелограма рівнобедрений трикутник. Розберімося, чому це так.

Чому бісектриса утворює рівнобедрений трикутник

Нехай у паралелограмі ABCD бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці K. Розгляньмо кути:

• ∠BAK = ∠KAD — за означенням бісектриси (вона ділить кут навпіл).

• ∠KAD = ∠BKA — як різносторонні кути при паралельних прямих BC і AD та січній AK.

Отже, ∠BAK = ∠BKA. У трикутнику ABK два кути рівні, тому він рівнобедрений з основою AK. Звідси випливає ключове співвідношення:

$$BK=AB.$$

Бісектриса кута A «відтинає» від сторони BC відрізок, що дорівнює стороні AB.

Приклад 1. У паралелограмі ABCD бісектриса кута A перетинає BC у точці K. Відомо, що AB = 6 см, BK = 6 см, KC = 4 см. Знайди периметр паралелограма.

З властивості бісектриси маємо BK = AB = 6 см (перевірка: BK справді дорівнює AB). Тоді BC = BK + KC = 6 + 4 = 10 см. Периметр: P = 2(6 + 10) = 32 см.

Приклад 2. Бісектриса кута A паралелограма ділить сторону BC у відношенні BK : KC = 3 : 2. Периметр паралелограма дорівнює 48 см. Знайди сторони.

Нехай BK = 3x, KC = 2x. Тоді AB = BK = 3x (властивість бісектриси), BC = BK + KC = 5x. Периметр: P = 2(AB + BC) = 2(3x + 5x) = 16x. За умовою 16x = 48, звідки x = 3. Сторони: AB = 9 см, BC = 15 см.

Важливі застереження

Бісектриса кута A потрапляє на сторону BC, лише коли AB ≤ BC. Якщо AB = BC (тобто паралелограм — ромб), бісектриса проходить через вершину C і збігається з діагоналлю. У такому разі точка K збігається з C, а трикутник ABK — це рівнобедрений трикутник ABC.

Бісектриси двох сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом. Справді, сума сусідніх кутів ∠A + ∠B = 180°. Бісектриси ділять їх навпіл, тому кут між бісектрисами дорівнює (∠A + ∠B) / 2 = 180° / 2 = 90°.

Важливо розрізняти два поняття: властивість і ознака. Властивість — це твердження про те, що випливає з того, що фігура вже є паралелограмом. Ознака — це достатня умова: якщо в чотирикутнику виконується певна умова, то він обов'язково є паралелограмом.

Ознаки паралелограма

Ось перелік ознак, за якими можна визначити, що даний чотирикутник — паралелограм:

1. Дві протилежні сторони чотирикутника рівні й паралельні.

2. Протилежні сторони попарно рівні.

3. Діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл.

4. Протилежні сторони попарно паралельні (це означення, яке теж можна використати як ознаку).

Для доведення того, що чотирикутник є паралелограмом, достатньо виконати будь-яку з цих умов. Часто найзручніша перша ознака: знайти одну пару сторін, які одночасно рівні й паралельні.

Хибні «ознаки»

Деякі умови здаються правдоподібними, але насправді не гарантують, що чотирикутник — паралелограм. Запам'ятай ці пастки:

Запам'ятай: рівні діагоналі самі по собі не роблять чотирикутник паралелограмом. Властивість «діагоналі рівні» є лише в прямокутника, але спочатку треба довести, що фігура — паралелограм.

Цікаве застосування

Візьми будь-який чотирикутник (не обов'язково паралелограм) і сполучи середини його сторін. Отримаєш новий чотирикутник. За теоремою Варіньйона, цей чотирикутник завжди є паралелограмом. Чому? Тому що відрізки, що сполучають середини сторін, є середніми лініями трикутників, на які діагональ ділить чотирикутник. Вони паралельні діагоналі та дорівнюють її половині — отже, протилежні сторони нового чотирикутника паралельні й рівні.

Прямокутник, ромб і квадрат — окремі види паралелограма. Вони успадковують усі властивості паралелограма, але мають додаткові особливості (рівні діагоналі в прямокутнику, перпендикулярні діагоналі в ромбі). Ти вивчиш їх окремо в наступному уроці.

Розгляньмо типові завдання, які трапляються на НМТ. Кожен приклад розібрано покроково.

Приклад 1. Кути паралелограма (вибір однієї відповіді)

У паралелограмі ABCD кут A на 50° менший від кута B. Знайди кут C.

Розв'язання. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = x + 50°. Кути A і B — сусідні, тому їхня сума дорівнює 180°:

$$x+(x+50^{\circ })=180^{\circ }\Rightarrow 2x=130^{\circ }\Rightarrow x=65^{\circ }.$$

∠A = 65°. У паралелограмі протилежні кути рівні, тому ∠C = ∠A = 65°.

Відповідь: 65°.

Чому інші варіанти неправильні: 115° — це значення ∠B (хтось міг подумати, що ∠C = ∠B); 130° — подвоєний ∠A; 50° — різниця кутів; 25° — половина різниці.

Приклад 2. Бісектриса і периметр (вибір однієї відповіді)

Бісектриса кута A паралелограма ABCD ділить сторону BC на відрізки BK = 5 см і KC = 3 см. Знайди периметр паралелограма.

Розв'язання. За властивістю бісектриси, AB = BK = 5 см. Тоді BC = BK + KC = 5 + 3 = 8 см. Периметр: P = 2(AB + BC) = 2(5 + 8) = 26 см.

Відповідь: 26 см.

Типові помилки: 22 см — AB прирівняли до KC = 3, а не до BK; 16 см — узяли подвоєну суму BK + KC, тобто 2·(5 + 3) = 16, забувши, що AB теж треба додати; 13 см — півпериметр (не подвоїли суму сторін); 32 см — помилково вважали AB = BC = 8.

Приклад 3. Логічні пари

Дано паралелограм ABCD, у якому AB = 5, BC = 9, ∠A = 70°. Установи відповідність між величиною (1–3) та її значенням (А–Д).

Також є варіанти: Г) 14 — сума двох сторін без подвоєння; Д) 140° — подвоєний кут A.

Розв'язання. ∠C = ∠A = 70° (протилежні кути рівні) → 1–А. ∠D і ∠A — сусідні, тому ∠D = 180° − 70° = 110° → 2–Б. Периметр: P = 2(5 + 9) = 28 → 3–В.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Приклад 4. Які твердження правильні? (І–ІІІ)

І. Діагоналі паралелограма рівні.

ІІ. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

ІІІ. Сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°.

Варіанти відповідей: А) лише І; Б) лише ІІ; В) лише ІІ і ІІІ; Г) лише І і ІІІ; Д) І, ІІ і ІІІ.

Розв'язання. Твердження І — хибне: діагоналі рівні лише в прямокутнику, а не в будь-якому паралелограмі. Твердження ІІ — правильне (властивість діагоналей). Твердження ІІІ — правильне (властивість сусідніх кутів). Отже, правильні лише ІІ і ІІІ.

Відповідь: лише ІІ і ІІІ.

Приклад 5. Кути чотирикутника за відношенням

Кути чотирикутника відносяться як 2 : 3 : 4 : 6. Знайди найбільший кут.

Розв'язання. Нехай кути дорівнюють 2x, 3x, 4x, 6x. Їхня сума — 360°:

$$2x+3x+4x+6x=360^{\circ }\Rightarrow 15x=360^{\circ }\Rightarrow x=24^{\circ }.$$

Найбільший кут — 6x = 6 · 24° = 144°.

Відповідь: 144°.

Чому інші варіанти неправильні: 72° — узяли суму кутів 180° (як у трикутнику): x = 180°/15 = 12°, 6x = 72°; 96° — 4·24°; 120° — 5·24°; 108° — 4,5·24°.

Під час розв'язування задач на паралелограм учні найчастіше припускаються таких помилок.

• Вважають діагоналі паралелограма рівними або перпендикулярними. Це неправда: діагоналі рівні лише в прямокутнику, а перпендикулярні — лише в ромбі. У звичайному паралелограмі вони ні рівні, ні перпендикулярні.

• У задачі «один кут на 40° більший» прирівнюють суму двох сусідніх кутів до 360° замість 180°. Пам'ятай: сусідні кути паралелограма дають 180°, а 360° — це сума всіх чотирьох кутів.

• Беруть суму кутів чотирикутника 180°, як у трикутнику. Сума кутів чотирикутника — 360°, а не 180°. Це найпоширеніша помилка в задачах про кути чотирикутника.

• Вважають, що бісектриса ділить сторону BC навпіл, або прирівнюють AB до відрізка KC замість BK. Бісектриса ділить кут, а не сторону. Властивість: BK = AB, а не KC = AB.

• Рахують периметр як a + b, забуваючи подвоїти. Правильна формула: P = 2(a + b). Половина цієї суми (a + b) — це півпериметр.

• Ділять діагональ навпіл не там: AO беруть рівним AC або половині BD. Точкою перетину кожна діагональ ділиться навпіл: AO = AC / 2, BO = BD / 2. Не плутай, яка половина до якої діагоналі належить.

• Вважають паралелограмом чотирикутник з однією парою паралельних сторін чи з рівними діагоналями. Це трапеція, а не паралелограм. Паралелограм потребує двох пар паралельних сторін.

Ось що треба знати про формат НМТ для цієї теми.

Програма НМТ

Тема 5.4 програми: «паралелограм, його властивості й ознаки» та «сума кутів чотирикутника». Уміння, яке перевіряють: «застосовувати означення, ознаки та властивості різних видів чотирикутників».

Формати завдань

• Завдання 1–15 (вибір однієї відповіді з п'яти, 0 або 1 бал). Обчислити кут чи периметр паралелограма — просте завдання цієї форми. Поріг НМТ — 5 тестових балів з 32.

• Форма «які з тверджень І–ІІІ правильні». Така форма є в демоваріанті НМТ-2026 (№ 10, властивості медіани трикутника). Вона цілком може з'явитися й для властивостей паралелограма.

• Завдання 18 (логічні пари, 1–3 → А–Д, 0–3 бали). У демоваріанті НМТ-2026 це завдання на відрізки прямокутної трапеції (тема 5.4). Можливе завдання й на паралелограм — наприклад, знайти кути або периметр.

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах, які видають на НМТ, є лише формули площ чотирикутників (наприклад, S = a·h для паралелограма). Властивостей і ознак паралелограма там немає — їх треба знати напам'ять.

Стратегія

Обов'язково роби рисунок у чернетці. Познач на ньому всі відомі величини, рівні сторони й кути, точку перетину діагоналей. Чернетку не перевіряють — зараховують лише відповідь, позначену в електронній формі тесту. Але добре виконаний рисунок допомагає не заплутатися в умові.

Якщо задача на логічні пари, спочатку знайди всі три величини окремо, а потім установлюй відповідність. Не намагайся вгадати за принципом «кожному числу — свій варіант» — у завданнях 16–18 два варіанти з п'яти зайві.

Тут зібрано відповіді на найпоширеніші запитання про паралелограм.

Запам'ятай найважливіші факти з цього уроку.

• Сума кутів чотирикутника — 360°. Не плутай із трикутником (180°). Діагональ ділить чотирикутник на два трикутники.

• У паралелограмі протилежні сторони й кути рівні.

• Сусідні кути паралелограма в сумі дають 180°. Використовуй це, коли один кут задано через інший.

• Діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Але в загальному випадку вони не рівні й не перпендикулярні.

• Бісектриса кута відтинає рівнобедрений трикутник: BK = AB.

• P = 2(a + b). Не забувай подвоювати суму сторін.

• Ознаки паралелограма: пара рівних і паралельних сторін; дві пари рівних сторін; діагоналі діляться навпіл; попарна паралельність сторін (означення).

• Хибні «ознаки»: одна пара паралельних сторін (трапеція); рівні діагоналі (рівнобічна трапеція).