Модуль числа та його властивості

Модуль числа — одне з ключових понять, яке ти зустрінеш не лише в обчисленнях, а й у рівняннях, нерівностях, функціях. Почнімо з чіткого означення.

Означення модуля

Модулем дійсного числа a називають саме це число, якщо воно невід'ємне, і протилежне до нього число, якщо a від'ємне. Записують це так:

$$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& a\ge 0,\\ -a,& a<0.\end{array}$$

Поглянь на приклади:

• $|7|=7$, бо $7\ge 0$

• $|0|=0$

• $|-7|=-(-7)=7$, бо $-7<0$

Зверни увагу: запис −a при a < 0 дає додатне число. Якщо a = −7, то −a = −(−7) = 7 — це й є модуль. Саме тому модуль будь-якого числа завжди невід'ємний.

Геометричний зміст модуля

Уяви координатну пряму — нескінченну лінію з позначеним нулем, додатними числами праворуч і від'ємними ліворуч. Модуль числа a — це відстань від точки a до початку відліку (точки 0). Відстань завжди додатна або нуль, тому |a| ≥ 0, і |a| = 0 лише тоді, коли a = 0.

Оскільки модуль — це відстань, то протилежні числа (5 і −5) мають однаковий модуль: |−5| = |5| = 5. Взагалі, |−a| = |a| для будь-якого a. І навпаки: якщо |x| = 5, то на координатній прямій є дві точки, віддалені від нуля на 5 одиниць, — це x = 5 і x = −5.

Увага: вираз |−x|

Часто помилково вважають, що |−x| = x завжди. Насправді це справедливо лише за умови x ≥ 0. Перевірмо:

• Якщо x = 5, то |−x| = |−5| = 5 = x — правильно.

• Якщо x = −3, то |−x| = |−(−3)| = |3| = 3, а x = −3. Тут |−x| ≠ x, бо 3 ≠ −3.

Правильне твердження: |−x| = |x| для будь-якого x. Це просто окремий випадок рівності |−a| = |a|.

Означення модуля працює не лише з окремими числами, а й з цілими виразами. Щоб розкрити модуль виразу, треба зрозуміти, якого знака цей вираз набуває.

Як розкривати модуль виразу

Нехай маємо вираз A у модулі: |A|. Треба:

1. Визначити знак A: чи A ≥ 0, чи A < 0.

2. Якщо A ≥ 0 — просто зняти модуль: |A| = A.

3. Якщо A < 0 — записати протилежний вираз: |A| = −A. Для різниці це означає переставити зменшуване й від'ємник.

Розкриваємо модуль різниці

Типовий випадок — модуль різниці двох чисел, одне з яких ірраціональне (корінь або π). Тут потрібно порівняти числа.

Якщо потрібно порівняти корінь і десятковий дріб (наприклад, √7 і 2,5), піднеси обидва числа до квадрата: (√7)² = 7, 2,5² = 6,25. Оскільки 7 > 6,25, маємо √7 > 2,5, тому √7 − 2,5 > 0 і модуль можна просто зняти.

Загальне правило для різниці:

$$|a-b|=\{\begin{array}{ll}a-b,& a\ge b,\\ b-a,& a<b.\end{array}$$

Кілька модулів в одному виразі

Коли вираз містить кілька модулів, розкривай кожний окремо, а потім виконуй дії. Часто корені взаємно знищуються.

Приклад 1: $|\sqrt{5}-3|+|\sqrt{5}-2|$. Оскільки √5 ≈ 2,236, маємо √5 − 3 < 0 і √5 − 2 > 0. Тому:

$$|\sqrt{5}-3|+|\sqrt{5}-2|=(3-\sqrt{5})+(\sqrt{5}-2)=3-\sqrt{5}+\sqrt{5}-2=1.$$

Корені знищилися, і відповідь — ціле число 1.

Приклад 2: $|1-\sqrt{2}|-\sqrt{2}$. Оскільки √2 ≈ 1,414, то 1 − √2 < 0, отже:

$$|1-\sqrt{2}|-\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)-\sqrt{2}=-1.$$

Тут після розкриття модуля корені теж знищуються.

Модуль має кілька важливих властивостей, які значно спрощують обчислення. Деякі з них є в довідкових матеріалах НМТ, інші треба пам'ятати.

Основні властивості

Найважливіші властивості модуля зведено в таблицю:

Ключова рівність: √(a²) = |a|

У довідкових матеріалах НМТ є формула $\sqrt{a^2}=|a|$. Вона дуже важлива: квадратний корінь із квадрата числа дає модуль цього числа, а не саме число.

Розгляньмо:

• $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5$, а не $-5$.

• $\sqrt{(1-\sqrt{2}{)}^2}=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$, бо $1-\sqrt{2}<0$.

Це означає, що коли бачиш $\sqrt{(\dots {)}^2}$, завжди спершу запиши модуль, а потім розкривай його за знаком підмодульного виразу.

Модуль суми — окрема історія

Поширена помилка — вважати, що $|a+b|=|a|+|b|$. Це неправда. Поглянь:

$$|-3+5|=|2|=2,\text{а}|-3|+|5|=3+5=8.$$

Правильне твердження — нерівність трикутника: $|a+b|\le |a|+|b|$. Рівність досягається лише тоді, коли $a$ і $b$ одного знака або хоча б одне з них дорівнює нулю.

Модуль як дужки

Модуль діє подібно до дужок: спершу обчислюємо значення виразу всередині, а потім беремо модуль. Мінус перед модулем зберігається:

• $|2-7|\cdot 3=|-5|\cdot 3=5\cdot 3=15$

• $-|-4|=-4$ (спершу $|-4|=4$, потім $-4$)

Не забувай: мінус перед модулем — це окрема дія, яку виконують після обчислення модуля.

Модуль різниці двох чисел має простий і дуже корисний геометричний зміст — це відстань між відповідними точками на координатній прямій.

Відстань через модуль різниці

Відстань між точками $a$ і $b$ координатної прямої дорівнює $|a-b|$ (або $|b-a|$, результат той самий). Відстань не залежить від порядку точок і завжди невід'ємна.

Приклади:

• Відстань між точками $-3$ і $5$: $|-3-5|=|-8|=8$.

• Відстань між точками $-7$ і $-2$: $|-7-(-2)|=|-7+2|=|-5|=5$.

• Відстань між $0$ і $5$: $|0-5|=5$ — це й є модуль числа $5$.

Запам'ятай: $|x-3|$ — це відстань від точки $x$ до точки $3$. А $|x+4|$ — це відстань від $x$ до $-4$, тому що $|x+4|=|x-(-4)|$.

Де на прямій точки на заданій відстані?

Якщо відомо число й відстань від нього, то на координатній прямій є дві точки — ліворуч і праворуч.

Наприклад, точки на відстані 2 від числа 3 — це $3-2=1$ і $3+2=5$. Справді, $|1-3|=2$ і $|5-3|=2$.

Порівняння відстаней

Модуль різниці дає змогу точно порівнювати відстані. Наприклад, яке з чисел — $\sqrt{3}$ чи $2,5$ — ближче до числа 2?

Обчислимо відстані:

• $|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}\approx 2-1,732=0,268$

• $|2,5-2|=0,5$

Оскільки $0,268<0,5$, до числа 2 ближче $\sqrt{3}$.

Про рівняння й нерівності з модулем

У цьому юніті ми розглядаємо модуль різниці лише як інструмент для обчислення відстані між відомими числами. Рівняння на кшталт $|x-3|=2$ і нерівності $|x-a|<r$ ти вивчатимеш окремо в курсах «Рівняння» та «Нерівності».

Геометрична ілюстрація

Поглянь на схему: відстань між двома точками на прямій завжди вимірюється модулем різниці їхніх координат.

Розв'яжемо п'ять типових завдань на модуль, які можуть трапитися на НМТ. Кожне — у форматі вибору однієї відповіді з п'яти.

Приклад 1. Обчисліть −|−6| + |2 − 9|

Завдання: Обчисліть значення виразу $-|-6|+|2-9|$.

Розв'язання:

1. Спершу обчислимо $|-6|=6$, тоді $-|-6|=-6$.

2. Далі $|2-9|=|-7|=7$.

3. Усього: $-6+7=1$.

Відповідь: 1.

Чому інші варіанти неправильні:

• 13 — якщо прочитати $-|-6|$ як $6$, а $|2-9|$ як $7$, отримаємо $6+7=13$.

• −13 — якщо $-|-6|$ дасть $-6$, а $|2-9|$ помилково записати як $-7$.

• −1 — якщо переплутати знаки й обчислити $6-7=-1$.

• 3 — якщо під другим модулем загубити 2: $-6+|-9|=-6+9=3$.

Приклад 2. Спростіть вираз |√3 − 2| + √3

Завдання: Спростіть вираз $|\sqrt{3}-2|+\sqrt{3}$.

Розв'язання:

1. Визначаємо знак $\sqrt{3}-2$. Оскільки $3<4$, то $\sqrt{3}<2$, отже $\sqrt{3}-2<0$.

2. Тому $|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$.

3. Додаємо $\sqrt{3}$: $(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}=2$.

Відповідь: 2.

Чому інші варіанти неправильні:

• $2\sqrt{3}-2$ — модуль знято без зміни знака: $\sqrt{3}-2+\sqrt{3}=2\sqrt{3}-2$.

• $-2$ — модуль знято без зміни знака, а $\sqrt{3}$ ще й відняли: $(\sqrt{3}-2)-\sqrt{3}=-2$.

• $2\sqrt{3}+2$ — модуль прочитали як суму: $(\sqrt{3}+2)+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+2$.

• $2-2\sqrt{3}$ — модуль розкрито як слід, але $\sqrt{3}$ відняли замість додати: $(2-\sqrt{3})-\sqrt{3}$.

Приклад 3. Обчисліть |π − 4| + |π − 3|

Завдання: Обчисліть $|\pi -4|+|\pi -3|$.

Розв'язання:

1. $\pi \approx 3,14$, тому $\pi -4<0$, отже $|\pi -4|=4-\pi$.

2. $\pi -3>0$, тому $|\pi -3|=\pi -3$.

3. Сума: $(4-\pi )+(\pi -3)=4-\pi +\pi -3=1$.

Відповідь: 1.

Чому інші варіанти неправильні:

• $2\pi -7$ — обидва модулі знято без зміни знака: $(\pi -4)+(\pi -3)=2\pi -7$.

• $7-2\pi$ — обидва модулі розкрито з протилежним знаком: $(4-\pi )+(3-\pi )=7-2\pi$.

• $7$ — замість модулів додали числа: $4+3=7$.

• $-1$ — знаки визначено навпаки: $(\pi -4)+(3-\pi )=-1$.

Приклад 4. Знайдіть відстань між точками A(−4,5) і B(1,3)

Завдання: Знайдіть відстань між точками $A(-4,5)$ і $B(1,3)$ координатної прямої.

Розв'язання:

1. Відстань між точками дорівнює $|a-b|$.

2. Підставляємо: $|-4,5-1,3|=|-5,8|=5,8$.

Відповідь: 5,8.

Чому інші варіанти неправильні:

• $3,2$ — координати додано замість відняти: $|-4,5+1,3|=|-3,2|=3,2$.

• $-5,8$ — це різниця $-4,5-1,3=-5,8$ без модуля; відстань не може бути від'ємною.

• $2,9$ — половина відстані: $|-4,5-1,3|:2=2,9$ (відстань зайво поділили на 2).

• $1,3$ — взято одну з координат.

Приклад 5. Обчисліть √((√5 − 3)²) + √5

Завдання: Обчисліть $\sqrt{(\sqrt{5}-3{)}^2}+\sqrt{5}$.

Розв'язання:

1. За формулою $\sqrt{a^2}=|a|$ маємо $\sqrt{(\sqrt{5}-3{)}^2}=|\sqrt{5}-3|$.

2. $\sqrt{5}\approx 2,236$, тож $\sqrt{5}-3<0$, отже $|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5}$.

3. Додаємо $\sqrt{5}$: $(3-\sqrt{5})+\sqrt{5}=3$.

Відповідь: 3.

Поширена помилка: вважати $\sqrt{(\sqrt{5}-3{)}^2}=\sqrt{5}-3$, тоді вираз дорівнює $(\sqrt{5}-3)+\sqrt{5}=2\sqrt{5}-3$, що неправильно.

Ось найчастіші помилки, яких припускаються учні під час обчислень із модулем. Вивчи їх, щоб не втратити бали на НМТ.

• Помилка: |−x| завжди дорівнює x. Насправді $|-x|=x$ лише за умови $x\ge 0$. Якщо $x=-3$, то $|-(-3)|=|3|=3$, а $x=-3$ — це різні числа. Правильне твердження: $|-x|=|x|$.

• Помилка: знімають модуль різниці без перевірки знака. Наприклад, пишуть $|\sqrt{3}-2|=\sqrt{3}-2$, хоча $\sqrt{3}-2$ — від'ємне число. Завжди визначай знак підмодульного виразу перед тим, як знімати модуль.

• Помилка: гублять мінус перед модулем. Приклад: $-|-6|$ обчислюють як $6$, хоча правильно: $|-6|=6$, а потім $-6$. Мінус перед модулем — окрема дія, яку виконують після обчислення модуля.

• Помилка: вважають √(a²) = a. Насправді $\sqrt{a^2}=|a|$. Якщо $a=-5$, то $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5$, а не $-5$. Завжди запитуй себе: чи може корінь дати від'ємне число?

• Помилка: розкривають |a + b| як |a| + |b|. Це працює лише для множення й ділення, але не для додавання. Приклад: $|-3+5|=2$, а $|-3|+|5|=8$ — результати різні.

• Помилка: оцінюють знак «на око» без порівняння квадратів. Наприклад, пишуть $|\sqrt{8}-3|=\sqrt{8}-3$. Порівняй квадрати: $8<9$, тому $\sqrt{8}<3$, отже $\sqrt{8}-3<0$ і $|\sqrt{8}-3|=3-\sqrt{8}$.

Розуміння модуля та його властивостей — одна з вимог теми 1.1 програми НМТ («використовувати властивості модуля до розв'язування задач»).

Формати завдань

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 17 — це завдання на відповідність (логічні пари). До кожного з трьох виразів (1–3), які містять модуль і степені, треба дібрати значення з п'яти (А–Д), причому дві букви зайві. Завдання оцінюють у 0–3 бали — по 1 балу за кожну правильно встановлену пару.

У завданнях 1–15 (вибір однієї відповіді з п'яти, 0 або 1 бал) модуль може бути одним із кроків обчислення виразу. Наприклад, потрібно обчислити значення виразу, що містить модуль, дроби й степені.

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах НМТ з математики є лише означення модуля:

$$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& a\ge 0,\\ -a,& a<0\end{array}$$

і формула $\sqrt{a^2}=|a|$.

Решту властивостей — $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$, $|a:b|=|a|:|b|$, $|-a|=|a|$, $|a{|}^2=a^2$ — треба знати напам'ять.

Стратегія для НМТ

Перед тим як розкривати модуль, визнач знак підмодульного виразу. Для виразів із коренем або числом $\pi$ скористайся порівнянням квадратів або наближеним значенням. Лише після цього знімай модуль — або як сам вираз (якщо він невід'ємний), або як протилежний до нього (якщо від'ємний). Це просте правило вбереже тебе від більшості помилок.

• $|a|=a$ при $a\ge 0$ і $|a|=-a$ при $a<0$; модуль завжди невід'ємний.

• $|-a|=|a|$, але $|-x|=x$ лише при $x\ge 0$.

• Модуль виразу розкриваємо за знаком підмодульного виразу: $|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$, $|\pi -4|=4-\pi$.

• Властивості: $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$, $|a:b|=|a|:|b|$ ($b\ne 0$), $\sqrt{a^2}=|a|$.

• Модуль суми загалом не дорівнює сумі модулів: $|a+b|\le |a|+|b|$.

• $|a-b|$ — відстань між точками $a$ і $b$ координатної прямої.

• Мінус перед модулем зберігається: $-|-6|=-6$.