Конус: осьовий переріз, площа поверхні й об’єм

Конус — це тіло обертання, яке утворюється під час обертання прямокутного трикутника навколо одного з його катетів. Уявімо прямокутний трикутник SOA, де прямий кут при вершині O. Якщо обертати цей трикутник навколо катета SO, то гіпотенуза SA опише бічну поверхню, а катет OA — круг в основі.

Основні елементи конуса:

• вершина — точка S, яка не лежить у площині основи;

• основа — круг радіуса R із центром у точці O;

• висота H = SO — перпендикуляр від вершини до площини основи;

• твірна l — відрізок від вершини S до довільної точки на колі основи (наприклад, SA). Усі твірні конуса рівні між собою.

Розгляньмо прямокутний трикутник SOA. Його катети — це висота H і радіус R, а гіпотенуза — твірна l. За теоремою Піфагора:

$$l^2=R^2+H^2$$

Оскільки твірна — гіпотенуза, вона завжди довша за кожен із катетів: l > H і l > R. Наприклад, якщо R = 3, H = 4, то l = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Це найвідоміша єгипетська трійка, яка часто трапляється в задачах.

Кут нахилу твірної до площини основи

Кут між твірною SA та її проєкцією OA на площину основи називають кутом нахилу твірної й позначають φ = ∠SAO. У прямокутному трикутнику SOA:

Якщо відомі твірна й кут нахилу, то радіус і висоту знаходимо так:

$$R=l\cdot \cos \phi ,H=l\cdot \sin \phi$$

Приклад. l = 8, φ = 30°. Маємо cos 30° = √3/2, sin 30° = ½. Отже, R = 8 · (√3/2) = 4√3, H = 8 · ½ = 4. Перевіримо теорему Піфагора: (4√3)² + 4² = 48 + 16 = 64 = 8² — усе збігається.

Перерізи конуса — це фігури, які утворюються, коли конус перетинають площиною. Розгляньмо два найважливіші види перерізів.

Осьовий переріз

Осьовим перерізом конуса називають переріз площиною, яка проходить через його вісь SO. Така площина перетинає конус по рівнобедреному трикутнику. Його основа — це діаметр основи конуса, тобто 2R, а бічні сторони — дві твірні l. Висота цього трикутника збігається з висотою конуса H.

Площа осьового перерізу:

$$S_{\text{ос. пер.}}=\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot H=RH$$

Кут при вершині осьового перерізу вдвічі більший за кут ASO (між твірною й висотою). Розгляньмо два важливі окремі випадки:

• Якщо осьовий переріз — рівносторонній трикутник, то l = 2R. Тоді за теоремою Піфагора H = √(l² − R²) = √(4R² − R²) = R√3.

• Якщо кут при вершині осьового перерізу дорівнює 90°, то H = R, а l = R√2 (бо в рівнобедреному прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює катету, помноженому на √2).

На схемі: S — вершина, O — центр основи, AB — діаметр основи (2R). Трикутник SAB — осьовий переріз. Трикутник SOA — прямокутний, де SO = H, OA = R, SA = l.

Переріз, паралельний основі

Якщо перетнути конус площиною, паралельною основі, у перерізі утвориться круг. Відстань від вершини до цієї площини позначимо h. Позначмо точку O₁ — центр перерізу, а A₁ — точку на колі перерізу.

В осьовому перерізі прямокутні трикутники SO₁A₁ і SOA подібні (кут при вершині S спільний, а кути при O₁ та O прямі). Тому відношення відповідних сторін однакове:

$$\frac{r}{R}=\frac{S{O}_1}{SO}=\frac{h}{H}=k$$

де k — коефіцієнт подібності (його завжди рахують від вершини). Звідси r = k · R. Площа перерізу:

$$S_{\text{пер.}}=\pi r^2=k^2\cdot \pi R^2$$

Приклад. Радіус основи конуса R = 6, висота H = 9. Площина проведена на відстані 3 від вершини. Тоді k = 3/9 = ⅓, радіус перерізу r = ⅓ · 6 = 2, а площа перерізу S = π · 2² = 4π.

Важливо: k завжди рахуємо як частку відстані від вершини до висоти. Якщо в умові дано відстань від основи, спочатку відніми її від H: h = H − відстань_від_основи.

Формули площі поверхні й об'єму конуса — це ключові інструменти для розв'язування задач НМТ. Розгляньмо кожну з них.

Розгортка бічної поверхні

Уявімо, що ми розрізаємо бічну поверхню конуса вздовж однієї твірної й розгортаємо її на площину. Ми отримаємо круговий сектор радіуса l. Довжина дуги цього сектора дорівнює довжині кола основи, тобто 2πR. Площа кругового сектора радіуса l із дугою 2πR обчислюється як половина добутку радіуса на довжину дуги: S = ½ · l · (2πR) = πRl.

Отже, площа бічної поверхні конуса:

$$S_{\text{біч}}=\pi Rl$$

Ця формула є в довідкових матеріалах НМТ, тому її не потрібно запам'ятовувати — головне, правильно застосувати, підставляючи твірну l, а не висоту H.

Площа повної поверхні

Повна поверхня конуса складається з бічної поверхні та основи (круга). Основа в конуса лише одна — на відміну від циліндра. Тому:

$$S_{\text{пов}}=S_{\text{біч}}+S_{\text{осн}}=\pi Rl+\pi R^2=\pi R(R+l)$$

Цієї формули в довідці немає — її треба скласти самостійно, додавши площу круга πR² до бічної поверхні.

Об'єм конуса

Об'єм конуса дорівнює одній третині добутку площі основи на висоту:

$$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H$$

Формула є в довідкових матеріалах. Зверни увагу: об'єм конуса втричі менший за об'єм циліндра з тією самою основою й висотою (V_циліндра = πR²H). Множник ⅓ — найчастіша причина помилок.

Приклади обчислень

В останньому прикладі: cos 60° = ½, тому R = 6 · ½ = 3; sin 60° = √3/2, тому H = 6 · √3/2 = 3√3; V = ⅓π · 9 · 3√3 = 9√3π; S_біч = π · 3 · 6 = 18π.

Розв'яжімо типові задачі на конус у форматі НМТ. Кожен приклад супроводжується покроковим розв'язанням і коментарем до можливих пасток.

Приклад 1. Радіус і висота — знайдіть бічну поверхню

Умова. Радіус основи конуса дорівнює 5, а висота — 12. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.

Розв'язання. Спочатку знайдемо твірну l за теоремою Піфагора: l = √(R² + H²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Площа бічної поверхні: S_біч = πRl = π · 5 · 13 = 65π.

Відповідь. 65π.

Розбір дистракторів.

• 60π — узяли висоту замість твірної: π · 5 · 12 = 60π.

• 90π — обчислили повну поверхню замість бічної: 65π + 25π = 90π.

• 100π — обчислили об'єм: ⅓π · 25 · 12 = 100π.

• 130π — застосували хибну формулу 2πRl (як для циліндра): 2 · π · 5 · 13 = 130π.

Приклад 2. Твірна й кут — знайдіть V/π

Умова. Твірна конуса дорівнює 10 й нахилена до площини основи під кутом 30°. Знайдіть значення V/π.

Розв'язання. Кут нахилу φ = 30°. Маємо: H = l · sin φ = 10 · sin 30° = 10 · ½ = 5. R = l · cos φ = 10 · cos 30° = 10 · (√3/2) = 5√3. Об'єм: V = ⅓πR²H = ⅓π · (5√3)² · 5 = ⅓π · 25 · 3 · 5 = ⅓π · 375 = 125π. За умовою треба V/π = 125.

Відповідь. 125.

Типові пастки.

• 375 — забули множник ⅓: πR²H = 375π, звідки 375.

• ≈ 72,17 — переплутали R і H: взяли H = 10 · cos 30° ≈ 8,66, R = 5, тоді V/π = ⅓ · 25 · 8,66 ≈ 72,17.

Приклад 3. Осьовий переріз — рівносторонній трикутник

Умова. Осьовий переріз конуса — рівносторонній трикутник зі стороною 8. Знайдіть площу повної поверхні конуса.

Розв'язання. Якщо осьовий переріз — рівносторонній трикутник, то його бічна сторона дорівнює твірній l, а основа — діаметру 2R. Отже, l = 8, а 2R = 8, тобто R = 4. Висоту знайдемо за теоремою Піфагора: H = √(l² − R²) = √(64 − 16) = √48 = 4√3 (або за формулою для рівностороннього трикутника: H = R√3 = 4√3). Площа бічної поверхні: S_біч = πRl = π · 4 · 8 = 32π. Площа основи: S_осн = πR² = 16π. Повна поверхня: S_пов = 32π + 16π = 48π.

Відповідь. 48π.

Дистрактори.

• 32π — узяли лише бічну поверхню, забули додати основу.

• 64π — обчислили πl² = π · 64 = 64π (плутанина з площею сфери).

• 128π — помилково взяли R = 8 (радіусом узяли сторону трикутника): π · 8 · 8 + π · 64 = 128π.

• 16π — узяли лише площу основи.

Приклад 4. Переріз, паралельний основі

Умова. Радіус основи конуса дорівнює 9, висота — 12. На відстані 4 від вершини проведено переріз, паралельний основі. Знайдіть площу цього перерізу, поділену на π.

Розв'язання. Відстань від вершини до площини перерізу h = 4, висота конуса H = 12. Коефіцієнт подібності k = h/H = 4/12 = ⅓. Радіус перерізу: r = k · R = ⅓ · 9 = 3. Площа перерізу: S = πr² = π · 9 = 9π. За умовою треба S/π = 9.

Відповідь. 9.

Типові пастки.

• 36 — відрахували відстань від основи: взяли h = 12 − 4 = 8, тоді k = 8/12 = ⅔, r = ⅔ · 9 = 6, S/π = 36.

• 27 — помножили площу основи на k, а не на k²: π · 9² · ⅓ = 27π, звідки 27.

Нижче зібрано найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час обчислень, пов'язаних із конусом. Ознайомся з ними, щоб не втратити бали на НМТ.

• У формулі бічної поверхні πRl беруть висоту замість твірної. Пам'ятай: у бічній поверхні фігурує твірна l, а не висота H. Завжди спочатку знаходь твірну за теоремою Піфагора, якщо вона не дана прямо.

• Забувають множник ⅓ в об'ємі конуса. V = ⅓πR²H, а не πR²H. Об'єм конуса — це третина об'єму циліндра з тією самою основою й висотою.

• Плутають синус і косинус кута нахилу твірної. R = l · cos φ — радіус прилягає до кута φ; H = l · sin φ — висота протилежна куту φ. Намалюй трикутник SOA, щоб не помилитися.

• Беруть бічну сторону осьового перерізу за висоту конуса. В осьовому перерізі бічна сторона — це твірна l, а висота конуса H — це висота цього трикутника, проведена до основи 2R.

• У перерізі, паралельному основі, відраховують відстань від основи замість відстані від вершини. Коефіцієнт подібності k завжди рахуємо від вершини. Якщо дано відстань від основи, спочатку відніми її від повної висоти.

• У повній поверхні додають дві основи, як у циліндра. У конуса лише одна основа. S_пов = πRl + πR² = πR(R + l). Не додавай πR² двічі.

У демоваріанті НМТ-2026 з математики завдання 5 — це вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д) на 0 або 1 бал, яке перевіряє взаємне розміщення прямих на елементах конуса (теми 6.1 і 6.2 програми ЗНО/НМТ).

У програмі ЗНО з математики, за якою укладають НМТ, конус входить до теми «Многогранники, тіла обертання»: «тіла обертання, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, куля, сфера; перерізи циліндра й конуса: осьові перерізи, перерізи площинами, паралельними їх основам; … формули для обчислення об'ємів циліндра, конуса, кулі». Це матеріал рівня стандарту. Зрізаний конус у програмі позначено як вимогу лише профільного рівня (П), і його формул у довідці немає. Проте НМТ укладають за повною програмою, тож таке завдання не можна повністю виключити.

У довідкових матеріалах, які надають на тестуванні, є формули:

• V = ⅓πR²H — об'єм конуса;

• S_біч = πRl — площа бічної поверхні.

Площу повної поверхні доводиться складати самостійно, додаючи до S_біч площу основи πR².

Позиція № 21 у тесті НМТ — це окреме завдання зі стереометрії з короткою відповіддю (0 або 2 бали, без часткових балів). Серед тіл, які траплялися в цій позиції в тестах 2023–2024 років (за аналізом програми), є й конус. Відповідь у такому завданні — лише десятковий дріб, тому коли в розрахунках фігурує π, умова просить знайти значення виразу V/π, S/π тощо.

Стратегія. Намалюй осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник. Виділи в ньому прямокутний трикутник SOA (S — вершина, O — центр основи, A — точка на колі). Підпиши катети R і H, гіпотенузу l. Більшість задач зводиться до роботи саме з цим трикутником.

• У прямокутному трикутнику SOA: l² = R² + H². Твірна — гіпотенуза, тому вона найдовша.

• Осьовий переріз — рівнобедрений трикутник з основою 2R і бічними сторонами l. Його площа S = RH.

• S_біч = πRl; S_пов = πRl + πR² = πR(R + l).

• V = ⅓πR²H.

• R = l · cos φ, H = l · sin φ, де φ — кут нахилу твірної до площини основи.

• Переріз, паралельний основі, — круг. Його радіус r = k · R, де k = h/H — коефіцієнт подібності, який завжди рахують від вершини.