Формули стереометрії з довідки НМТ: об’єми й площі поверхонь

У довідці НМТ зі стереометрії є чотири ключові формули для многогранників: дві для прямої призми й дві для правильної піраміди. Жодних інших многогранників (похила призма, неправильна піраміда, зрізана піраміда) у довідці немає, а формули зрізаних тіл — матеріал профільного рівня (П). Якщо такі тіла трапляться в задачі, площі граней і об'єми доведеться знаходити самостійно.

Пряма призма

Пряма призма — це многогранник, у якого бічні ребра перпендикулярні до площини основи. Саме тому висота H збігається з довжиною бічного ребра. У довідці записано:

• Об'єм: $V = S_{\text{осн}} \cdot H$

• Площа бічної поверхні: $S_{\text{б}} = P_{\text{осн}} \cdot H$

Тут $S_{\text{осн}}$ — площа основи, $P_{\text{осн}}$ — периметр основи. Основою може бути будь-який многокутник — трикутник, прямокутник, ромб, трапеція. Площу основи беруть із планіметричної частини довідки.

Окремі випадки прямої призми — прямокутний паралелепіпед і куб. Для них формули спрощуються:

• Прямокутний паралелепіпед: $V = abc$, де a, b, c — три виміри.

• Куб: $V = a^3$, $S_{\text{б}} = 4a^2$, де a — ребро.

Правильна піраміда

Правильна піраміда має в основі правильний многокутник, а вершина проєктується в центр цього многокутника. Формули з довідки:

• Об'єм: $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$

• Площа бічної поверхні: $S_{\text{б}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot m$

Тут m — апофема, тобто висота бічної грані, проведена з вершини піраміди до сторони основи. Формула $S_{\text{б}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot m$ працює лише для правильної піраміди — для неправильної довелося б обчислювати площу кожної бічної грані окремо.

Покрокові приклади

Правильна чотирикутна піраміда, сторона основи 6, висота 4. Основа — квадрат, тому $S_{\text{осн}} = 6^2 = 36$. Об'єм: $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$. Апофему знаходимо з прямокутного трикутника: половина сторони основи дорівнює 3, висота 4, отже $m = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$. Периметр основи $P_{\text{осн}} = 4 \cdot 6 = 24$, тому $S_{\text{б}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$.

Пряма призма з ромбом в основі. Діагоналі ромба 6 і 8, висота призми 10. Площу ромба знаходимо за формулою з планіметрії: $S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$. Об'єм: $V = 24 \cdot 10 = 240$. Сторона ромба за теоремою Піфагора: $a = \sqrt{(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Периметр $P_{\text{осн}} = 4 \cdot 5 = 20$, бічна поверхня $S_{\text{б}} = 20 \cdot 10 = 200$.

Тіла обертання — циліндр, конус і куля — займають окремий блок у довідці НМТ. Для кожного з них дано формули об'єму, а для циліндра й конуса — ще й площі бічної поверхні. Сфера (поверхня кулі) має лише формулу площі.

Циліндр

Циліндр утворюється обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін. Формули:

• Об'єм: $V = \pi R^2 H$

• Площа бічної поверхні: $S_{\text{б}} = 2\pi R H$

Тут R — радіус основи, H — висота; у прямому циліндрі вона дорівнює твірній. Приклад: циліндр із радіусом 2 і висотою 5 має $V = \pi \cdot 2^2 \cdot 5 = 20\pi$ і $S_{\text{б}} = 2\pi \cdot 2 \cdot 5 = 20\pi$.

Конус

Конус утворюється обертанням прямокутного трикутника навколо катета. Формули:

• Об'єм: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

• Площа бічної поверхні: $S_{\text{б}} = \pi R L$

Тут L — твірна конуса (відрізок від вершини до точки на колі основи). Будьте уважні: буква L у довідці має два значення — у формулі конуса це твірна, а в планіметрії $L = 2\pi R$ — довжина кола. Приклад: конус із радіусом 3 і висотою 4. За теоремою Піфагора $L = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Тоді $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$, $S_{\text{б}} = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$.

Куля та сфера

Куля — це тіло, обмежене сферичною поверхнею. Формули:

• Об'єм кулі: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$

• Площа сфери: $S = 4\pi R^2$

Приклад: куля радіуса 3 має $V = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36\pi$ і площа сфери $S = 4\pi \cdot 9 = 36\pi$. Збіг чисел — випадковий; загалом об'єм і площа сфери чисельно різні.

Важливе застереження: радіус, а не діаметр

У всіх формулах стереометрії R позначає радіус. Якщо в задачі дано діаметр, обов'язково поділіть його навпіл. Наприклад, куля з діаметром 6 має радіус 3, тому $V = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = 36\pi$. Помилка «узяти діаметр замість радіуса» дасть $V = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^3 = 288\pi$ — у 8 разів більше, і така відповідь часто фігурує серед дистракторів.

У довідці НМТ для многогранників і тіл обертання наведено лише площу бічної поверхні. Площу повної поверхні доводиться обчислювати самостійно, додаючи до бічної поверхні площі основ. Це одна з найпоширеніших пасток: учень бере з довідки $S_{\text{б}}$ і помилково вважає її повною поверхнею.

Як знаходити повну поверхню

Приклади

Куб з ребром 3. Бічна поверхня складається з чотирьох граней: $S_{\text{б}} = 4 \cdot 3^2 = 36$. Додаємо дві основи (верхню й нижню грані): $S_{\text{п}} = 36 + 2 \cdot 9 = 54$.

Циліндр із радіусом 2 і висотою 5. Бічна поверхня $S_{\text{б}} = 2\pi \cdot 2 \cdot 5 = 20\pi$. Площа кожного круга основи $\pi \cdot 2^2 = 4\pi$. Повна поверхня: $S_{\text{п}} = 20\pi + 2 \cdot 4\pi = 28\pi$.

Чого в довідці немає

Формул для зрізаної піраміди та зрізаного конуса в довідці НМТ немає. Це матеріал профільного рівня (П). Якщо в задачі трапиться зрізане тіло, його об'єм можна знайти як різницю об'ємів повного тіла й відтятої верхівки. Наприклад, об'єм зрізаного конуса дорівнює об'єму великого конуса мінус об'єм малого конуса, подібного до великого.

У довідці НМТ не записано, як знаходити висоту H, апофему m чи твірну L. Ці величини беруть із прямокутних трикутників, які «ховаються» всередині кожного тіла. Щоб застосувати формулу з довідки, спершу потрібно знайти ці лінійні елементи за теоремою Піфагора або тригонометричними співвідношеннями.

Правильна піраміда

У правильній піраміді є два ключові прямокутні трикутники:

• Трикутник «висота H — радіус вписаного кола основи r — апофема m»: $m^2 = H^2 + r^2$

• Трикутник «висота H — радіус описаного кола основи R — бічне ребро l»: $l^2 = H^2 + R^2$

Для правильної чотирикутної піраміди зі стороною основи a радіус вписаного кола (відстань від центра основи до сторони) дорівнює $r = a/2$, а радіус описаного кола (відстань від центра до вершини квадрата) — $R = a\sqrt{2}/2$.

Конус

Осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник з основою $2R$ і бічними сторонами L (твірна). Висота конуса H ділить цей трикутник на два прямокутні, звідки:

$L^2 = R^2 + H^2$

Якщо відомі твірна й радіус, висоту знаходять як $H = \sqrt{L^2 - R^2}$.

Циліндр

Осьовий переріз циліндра — прямокутник із шириною $2R$ (діаметр основи) і висотою H. Діагональ цього прямокутника (якщо вона дана в задачі) пов'язана з радіусом і висотою: $d^2 = (2R)^2 + H^2$.

Куля

Переріз кулі площиною — круг. Якщо площина знаходиться на відстані d від центра кулі, то радіус перерізу r пов'язаний із радіусом кулі R:

$r^2 = R^2 - d^2$

Це дає змогу знаходити об'єм кулі, якщо відома площа перерізу, або радіус перерізу, якщо відома відстань.

Вправа «формула — задача № 21»

У задачах типу № 21 (коротка відповідь, 2 бали) часто потрібно спершу знайти лінійний елемент, а потім застосувати формулу з довідки:

• Пряма призма — об'єм через діагональний переріз: знайдіть висоту з діагоналі прямокутника.

• Піраміда — об'єм за апофемою й стороною основи: знайдіть висоту з $m^2 = H^2 + r^2$

• Циліндр — бічна поверхня за осьовим перерізом: знайдіть R або H із прямокутника.

• Конус — об'єм за твірною й радіусом: знайдіть H з $L^2 = R^2 + H^2$

• Куля — об'єм за площею перерізу: знайдіть R з $r^2 = R^2 - d^2$

Розгляньмо чотири завдання, які охоплюють усі типи тіл і формати відповідей на НМТ.

Приклад 1. Пряма призма з ромбом в основі

Умова: Основа прямої призми — ромб з діагоналями 10 см і 24 см, бічне ребро 8 см. Знайдіть площу бічної поверхні (у см²). Відповідь запишіть десятковим дробом.

Розв'язання:

1. Знаходимо сторону ромба. Половини діагоналей: 5 см і 12 см. За теоремою Піфагора: $a = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

2. Периметр основи: $P_{\text{осн}} = 4 \cdot 13 = 52$ см.

3. Бічна поверхня: $S_{\text{б}} = P_{\text{осн}} \cdot H = 52 \cdot 8 = 416$ см².

Відповідь: 416.

Типові пастки:

• 960 — той, хто обчислив об'єм $V = S_{\text{осн}} \cdot H$, де $S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$, отримав $120 \cdot 8 = 960$. Умова просила бічну поверхню, а не об'єм.

• 656 — додав до бічної поверхні дві основи: $416 + 2 \cdot 120 = 656$. Це площа повної поверхні, а питали бічну.

Приклад 2. Конус: твірна й радіус

Умова: Твірна конуса дорівнює 10, радіус основи — 6. Знайдіть об'єм конуса.

Розв'язання:

1. Знаходимо висоту: $H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$

2. Об'єм: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi$

Відповідь: 96π.

Аналіз дистракторів:

• 120π — узяли висоту $H = L = 10$, не застосувавши теорему Піфагора.

• 288π — забули множник $\frac{1}{3}$: $\pi \cdot 36 \cdot 8 = 288\pi$

• 60π — обчислили площу бічної поверхні $S_{\text{б}} = \pi R L = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$, а питали об'єм.

• 96 — знайшли числове значення без $\pi$: $\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96$, забувши, що в формулі є $\pi$

Приклад 3. Правильна чотирикутна піраміда

Умова: Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10, апофема — 13. Знайдіть об'єм піраміди.

Розв'язання:

1. Основа — квадрат, $S_{\text{осн}} = 10^2 = 100$

2. Радіус вписаного кола для квадрата: $r = a/2 = 5$

3. Висота з трикутника: $H = \sqrt{m^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$

4. Об'єм: $V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400$

Відповідь: 400.

Типові пастки:

• 433,33… — узяли висоту $H = m = 13$, отримали $V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 13 = 433\frac{1}{3}$. Нескінченний десятковий дріб у відповіді — сигнал, що ви припустилися помилки: на НМТ відповіді до коротких завдань завжди скінченні.

• 260 — обчислили площу бічної поверхні $S_{\text{б}} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 13 = 260$, а питали об'єм.

Приклад 4. Куля за площею сфери

Умова: Площа сфери дорівнює 36π. Знайдіть об'єм кулі.

Розв'язання:

1. З формули площі сфери знаходимо радіус: $4\pi R^2 = 36\pi \Rightarrow R^2 = 9 \Rightarrow R = 3$

2. Об'єм кулі: $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36\pi$

Відповідь: 36π.

Аналіз дистракторів:

• 288π — узяли $R = 6$ (не поділили 36 на 4, а взяли $R^2 = 36$), тоді $V = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288\pi$

• 108π — обчислили $4\pi R^3 = 4\pi \cdot 27 = 108\pi$, переплутавши формули об'єму кулі й площі сфери.

• 27π — обчислили $\pi R^3 = 27\pi$, забувши множник $\frac{4}{3}$

• 12π — обчислили $\frac{4}{3} \pi \cdot 9 = 12\pi$, підставивши $R^2$ замість $R^3$

Ось типові помилки в задачах на об'єми й площі поверхонь.

• Беруть бічну поверхню з довідки як повну й не додають основи. У довідці дано лише $S_{\text{б}}$. Якщо в задачі питають площу повної поверхні, обов'язково додайте площі основ: для призми — $+2S_{\text{осн}}$, для піраміди — $+S_{\text{осн}}$, для циліндра — $+2\pi R^2$, для конуса — $+\pi R^2$

• В об'ємі піраміди чи конуса забувають множник ⅓. Об'єм піраміди $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$, конуса $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Без $\frac{1}{3}$ результат буде втричі більшим — і майже завжди збігається з одним із дистракторів.

• Плутають апофему m з висотою H піраміди або твірну L з висотою H конуса. Апофема — висота бічної грані, а не всієї піраміди. Твірна — похилий відрізок від вершини до основи, а не висота. Їх пов'язує теорема Піфагора: $m^2 = H^2 + r^2$, $L^2 = R^2 + H^2$

• Підставляють діаметр замість радіуса. У всіх формулах стереометрії фігурує радіус R. Якщо дано діаметр, спершу поділіть його навпіл. Помилка дає занижений або завищений результат (наприклад, для кулі — у 8 разів).

• Застосовують $S_{\text{б}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot m$ до неправильної піраміди. Ця формула працює лише для правильної піраміди, де всі бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники. Для неправильної піраміди кожну бічну грань обчислюють окремо.

• Плутають об'єм кулі $\frac{4}{3} \pi R^3$ і площу сфери $4\pi R^2$. У першій — $R^3$ і множник $\frac{4}{3}$, у другій — $R^2$ і множник $4$. Запам'ятайте: об'єм — кубічний (три виміри), площа — квадратична (два виміри).

Формули об'ємів і площ поверхонь належать до теми 6.2 програми НМТ з математики («Многогранники, тіла обертання»). У довідці, яку ви отримуєте на тестуванні, є всі формули, розглянуті в цьому юніті. Ваше завдання — правильно вибрати потрібну формулу й підставити в неї значення, попередньо знайшовши лінійні елементи.

Що варто знати про формат:

• Завдання № 21 (демоваріант НМТ-2026). Коротка відповідь, 0 або 2 бали (без часткових балів). У демоваріанті це була задача на об'єм прямої призми з ромбом в основі через діагональний переріз. Потрібно було знайти площу основи за діагоналями ромба, висоту — з діагонального перерізу, а потім об'єм.

• Завдання № 5 (демоваріант НМТ-2026). Вибір однієї відповіді з п'яти, 0 або 1 бал. Стосувалося взаємного розміщення прямих у просторі на елементах конуса — перевіряло просторову уяву, а не формули.

• Формат короткої відповіді. Відповідь записують лише десятковим дробом (наприклад, 416, а не 416 см²). Звертайте увагу на положення коми й знак «мінус», якщо він є. Жодних одиниць вимірювання в бланку не пишуть.

• Зрізані тіла. Формули зрізаної піраміди й зрізаного конуса — це матеріал профільного рівня (П). У довідці їх немає. Якщо в задачі трапиться зрізане тіло, об'єм можна знайти як різницю об'ємів.

Стратегія розв'язання:

1. Прочитайте умову й визначте, яке тіло дано (призма, піраміда, циліндр, конус, куля).

2. Відкрийте довідку на потрібній формулі (об'єм чи бічна поверхня).

3. Подивіться, яких величин не вистачає — висоти, апофеми, твірної.

4. Знайдіть їх на чернетці з прямокутного трикутника всередині тіла.

5. Підставте числа у формулу й обчисліть.

6. Якщо питають повну поверхню — додайте площі основ.

• Пряма призма: $V = S_{\text{осн}} \cdot H$, $S_{\text{б}} = P_{\text{осн}} \cdot H$. Висота дорівнює бічному ребру.

• Правильна піраміда: $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$, $S_{\text{б}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot m$ (лише для правильної!).

• Циліндр: $V = \pi R^2 H$, $S_{\text{б}} = 2\pi R H$

• Конус: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, $S_{\text{б}} = \pi R L$

• Куля та сфера: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$, $S = 4\pi R^2$

• Повна поверхня: бічна поверхня + площі основ. Додаємо самостійно — у довідці є лише бічна.

• Висота, апофема, твірна: їх знаходимо з прямокутних трикутників усередині тіла за теоремою Піфагора.

• Радіус, а не діаметр: у всіх формулах R — радіус. Діаметр завжди ділимо навпіл.

• Множник ⅓: не забувайте $\frac{1}{3}$ в об'ємах піраміди й конуса.

• Зрізаних тіл у довідці немає: це профільний рівень (П). Об'єм — як різниця об'ємів повного тіла й верхівки.