Довідкові матеріали НМТ з математики: як ними користуватися

На НМТ-2026 з математики кожен учасник отримує доступ до довідкових матеріалів в електронній формі — вони з'являються на екрані монітора поруч із завданнями. Крім того, тобі видають паперову чернетку, на якій можна робити обчислення, малюнки та помітки. Важливо запам'ятати: записи в чернетці не перевіряють і до уваги не беруть. Усі відповіді оцінюють лише за тим, що ти ввів у бланк або вибрав на екрані.

Офіційний файл із довідковими матеріалами називається ZNO_Math_dovidkovy-materialy.pdf і лежить на сайті testportal.gov.ua. Він займає 3 сторінки, і за змістом він повністю збігається зі сторінками 8–10 демонстраційного варіанта НМТ-2026. Це означає, що ти можеш заздалегідь завантажити цей PDF, роздрукувати його й вивчити його структуру — до тесту варто знати, де яка формула розташована.

Довідка дає тобі готову формулу, але вона не підказує, яку з формул застосувати й у якому порядку. Ти сам вирішуєш, чи потрібна тобі теорема Піфагора, чи формула синуса подвійного кута, чи об'єм циліндра. Вибирати формулу за умовою задачі ти вчишся в тематичних юнітах цього курсу — тут ми зосередимось на тому, як швидко знайти потрібне в самій довідці.

Таблиця квадратів чисел від 10 до 49

Ти потрапляєш у цей розділ одразу на початку довідки. Тут подано квадрати чисел від 10 до 49. Наприклад:

• 37² = 1369

• 43² = 1849

Цю ж таблицю використовують для добування квадратного кореня: якщо тобі треба знайти √1521, ти дивишся, чи є це число в таблиці квадратів. 39² = 1521, тому √1521 = 39. У демонстраційних матеріалах цей розділ називають «Таблиця квадратів двоцифрових чисел».

Алгебра й початки аналізу

У цьому розділі розташовано:

• формули скороченого множення: a² − b², (a ± b)²

• квадратне рівняння: дискримінант D = b² − 4ac, корені x₁₂ = (−b ± √D) / (2a), розклад на множники a(x − x₁)(x − x₂)

• модуль числа і його властивості

• степені: a^(m/n), √(a²) = |a|

• логарифми: основна логарифмічна тотожність, властивості логарифмів, логарифм з основою a^k

Тут же — прогресії, комбінаторика й імовірність:

• n-й член арифметичної та геометричної прогресій

• сума n перших членів арифметичної та геометричної прогресій

• P_n (перестановки), A_n^k (розміщення), C_n^k (комбінації)

• класична ймовірність: P(A) = k / n

Далі — початки аналізу: таблиця похідних для функцій C (стала), x, x^α, √x, e^x, ln x, sin x, cos x, tg x і правила диференціювання (сума, різниця, добуток, частка, C·u). Після неї — таблиця первісних для 0, 1, x^α, 1/x, e^x, sin x, cos x, 1/cos² x і формула Ньютона–Лейбніца.

Тригонометрія

У довідці подано:

• означення тригонометричних функцій через одиничне коло

• sin² α + cos² α = 1, tg α = sin α / cos α, 1 + tg² α = 1 / cos² α

• sin 2α = 2 sin α · cos α, cos 2α = cos² α − sin² α

• формули зведення лише для кутів 90° + α та 180° − α

• таблиця значень sin, cos, tg для 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2, 2π

Геометрія

Геометричний розділ охоплює:

• трикутник: півпериметр p, сума кутів (180°), теорема косинусів, теорема синусів (із 2R), площа через висоту, через синус кута, за формулою Герона; теорема Піфагора та тригонометричні відношення в прямокутному трикутнику

• площі паралелограма, прямокутника, ромба, трапеції

• коло: довжина кола L = 2πR, площа круга S = πR², рівняння кола

• стереометрія: об'єм і бічна поверхня прямої призми, правильної піраміди, циліндра й конуса; об'єм кулі та площа сфери

• координати й вектори в просторі: середина відрізка, довжина вектора, скалярний добуток

Головний секрет швидкої роботи з довідкою — це два кроки, які ти виконуєш щоразу, коли вирішуєш зазирнути в неї.

Крок 1. Визнач розділ за шуканою величиною

• об'єм або площа поверхні — розділ «Геометрія» (стереометрія)

• кількість способів — розділ «Алгебра» (комбінаторика)

• швидкість або дотична — розділ «Початки аналізу» (таблиця похідних)

• площа під графіком — розділ «Початки аналізу» (первісна та формула Ньютона–Лейбніца)

• прогресія — розділ «Алгебра» (прогресії)

• значення sin, cos, tg — розділ «Тригонометрія» (таблиця значень)

Крок 2. Знайди конкретний рядок

Коли ти вже знаєш, у якому розділі шукати, переглянь його вміст — зверху донизу — і знайди потрібний запис. Наприклад, тобі потрібна сума геометричної прогресії. Ти переходиш у частину «Алгебра», знаходиш підрозділ «Прогресії» й звідти береш формулу.

Порядок розділів вивчи до тесту: таблиця квадратів (10–49) → алгебра → початки аналізу → тригонометрія → геометрія → стереометрія. Під час тесту пошук формули не має займати понад 20 секунд. Натренуйся на демонстраційному варіанті НМТ-2026 та пробних тестах — це зекономить дорогоцінний час.

Коли довідка справді економить час

Довідка особливо корисна для рідкісних формул або громіздких значень, які легко забути:

• сума геометричної прогресії: S_n = b₁·(q^n − 1) / (q − 1) — її рідко пам'ятають точно

• C_n^k: формула комбінацій — її легко переплутати з розміщеннями

• формула Герона: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) — громіздка, з довідки її зручно списати

• об'єм кулі: V = 4/3 · πR³ — дріб 4/3 легко забути

• значення тригонометричних функцій: cos(π/4) = √2/2 — з таблиці береться за секунду

• квадрати чисел 10–49: 37², 43² тощо — не треба обчислювати в стовпчик

Коли шукати в довідці — марна трата часу

Базові факти швидше знати напам'ять, ніж шукати. Ти маєш одразу пам'ятати:

• сума кутів трикутника дорівнює 180°

• площа прямокутника S = ab

• 15 % = 0,15

• 5² = 25

Якщо ти витрачаєш 20 секунд на пошук площі прямокутника, ти втрачаєш час, якого й так обмаль. У таких випадках покладайся на пам'ять.

Довідкові матеріали охоплюють багато формул, але не всі. Є низка важливих формул і фактів, яких у довідці немає, — їх треба знати напам'ять. Ось перелік того, що ти не знайдеш у довідці.

Тригонометрія

• формули додавання: sin(α ± β), cos(α ± β), tg(α ± β) — у довідці їх немає

• інші формули зведення (крім 90° + α та 180° − α)

• формули пониження степеня

• загальні розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь

Алгебра й початки аналізу

• формули суми й різниці кубів: a³ ± b³

• теорема Вієта

• геометричний і фізичний зміст похідної

• рівняння дотичної

• вибіркові характеристики: середнє арифметичне, мода, медіана, розмах — у довідці немає жодної

Геометрія

• довжина дуги та площа сектора

• радіус вписаного кола: r = S/p

• середні лінії трикутника й трапеції

• сума кутів многокутника: 180° · (n − 2)

• властивості вписаних і центральних кутів

• рівняння прямої

• відстань між точками на площині — у довідці є лише просторова форма (у стереометрії)

• площа повної поверхні тіл — у довідці дано лише бічну поверхню

Повний перелік формул, яких немає в довідці, і тренування з ними ти знайдеш у курсі «Формули НМТ з математики». Завдання цього юніта — навчити тебе не витрачати час на пошук того, чого в довідці свідомо немає. Якщо ти згадав формулу додавання чи медіану вибірки — одразу переходь до пам'яті, не гортай довідку.

Розгляньмо чотири вправи, які допоможуть навчитися швидко працювати з довідковими матеріалами.

Приклад 1. Правильне твердження про довідку

Завдання: Яке твердження про довідкові матеріали НМТ з математики правильне?

• Можна принести на тест власний друкований довідник з формулами

• Геометрії в довідці немає — лише алгебра

• Довідку надають в електронній формі разом з паперовою чернеткою, записи в чернетці не перевіряють

• За записи в чернетці дають часткові бали

• Довідку відкривають лише для завдань № 19–22

Розв'язання: Згадаймо умови проведення НМТ-2026. Кожен учасник отримує довідку в електронному вигляді на екрані та паперову чернетку. Записи в чернетці не перевіряють — оцінюють лише внесену відповідь. Власних довідників приносити не можна. Геометрія в довідці є (основні формули планіметрії та стереометрії, хоча й не всі). Довідка доступна для всіх завдань тесту, не лише для № 19–22.

Відповідь: їх надають в електронній формі разом з паперовою чернеткою, записи в чернетці не перевіряють.

Чому інші варіанти неправильні:

Власний довідник приносити заборонено. Геометрія в довідці є — це цілий окремий блок. За чернетку часткових балів не дають, чернетку взагалі не перевіряють. Довідка доступна для всіх 22 номерів тесту.

Приклад 2. Обчислення квадратного кореня за таблицею квадратів

Завдання: Обчисли √1521.

• 37

• 38

• 39

• 41

• 49

Розв'язання: Відкриваємо довідку — перший блок це таблиця квадратів двоцифрових чисел. Шукаємо число 1521 серед значень. Знаходимо рядок: 39² = 1521. Отже, √1521 = 39.

Відповідь: 39.

Чому інші варіанти неправильні: 37² = 1369, 38² = 1444, 41² = 1681, 49² = 2401. Жоден із них не дорівнює 1521. Учасник, який не користується таблицею квадратів, може почати підбирати корінь у стовпчик — це займе багато часу.

Приклад 3. Комбінації: скількома способами вибрати чергових

Завдання: Скількома способами можна вибрати 3 чергових з 10 учнів?

• 30

• 120

• 720

• 1000

• 13

Розв'язання: Оскільки порядок вибору не має значення (чергові — це просто група з 3 осіб), потрібна формула комбінацій. Відкриваємо довідку — блок «Алгебра», підрозділ «Комбінаторика». Знаходимо C_n^k = n! / (k!·(n−k)!). Підставляємо n = 10, k = 3: C₁₀³ = 10! / (3!·7!) = (10·9·8) / (1·2·3) = 720 / 6 = 120.

Відповідь: 120.

Чому інші варіанти неправильні: 720 — це кількість розміщень A₁₀³ (якщо враховувати порядок). 30 — це 10·3, механічне множення. 1000 — це 10³. 13 — це 10 + 3. Типовою помилкою є взяти формулу A_n^k замість C_n^k — у довідці вони поруч, тож читай уважно.

Приклад 4. Якої формули немає в довідці?

Завдання: Якої з формул немає в довідкових матеріалах НМТ?

• sin 2α = 2 sin α · cos α

• cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β

• C_n^k = n! / (k!·(n−k)!)

• S_n = (2a₁ + (n−1)d)·n / 2 — сума n перших членів арифметичної прогресії

• V = 4/3 · πR³ — об'єм кулі

Розв'язання: Згадаймо, що є в довідці. Синус подвійного кута sin 2α там є. Формула C_n^k є. Сума арифметичної прогресії є. Об'єм кулі є. А от формули додавання для косинуса cos(α + β) у довідці немає — її треба знати напам'ять.

Відповідь: cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β.

Чому інші варіанти правильні (вони є в довідці): sin 2α є в тригонометричному блоці; C_n^k — у комбінаториці; сума арифметичної прогресії — у прогресіях; об'єм кулі — у стереометрії.

• Гортати всю довідку навмання замість того, щоб спершу визначити розділ. Якщо тобі потрібна площа бічної поверхні конуса — не гортай від таблиці квадратів до тригонометрії. Одразу переходь у «Геометрія» → «Стереометрія». Ти маєш знати, що в якому розділі міститься.

• Витрачати час на пошук базових фактів, які треба знати напам'ять. Сума кутів трикутника 180°, площа прямокутника ab, значення 5² = 25 — якщо ти шукаєш це в довідці, ти втрачаєш дорогоцінні секунди.

• Шукати в довідці те, чого там свідомо немає: формули додавання sin(α ± β), cos(α ± β), довжину дуги, медіану вибірки, теорему Вієта. Їх там немає — одразу згадуй із пам'яті.

• Брати з довідки бічну поверхню як повну. У довідці для призми, піраміди, циліндра й конуса дано лише бічну поверхню (S_біч). Якщо задачі потрібна повна поверхня, треба додати площі основ окремо (формули площ прямокутника, круга тощо є в тому самому розділі).

• Плутати схожі формули. C_n^k і A_n^k стоять поруч — легко взяти не ту. Площа сфери (4πR²) і об'єм кулі (4/3 · πR³) також розташовані близько. Читай формулу уважно, звіряй позначення.

• Уперше побачити довідку на тесті. Структуру довідки треба знати заздалегідь. Завантаж PDF, роздрукуй, роздивись — на тесті маєш витрачати час на розв'язання, а не на вивчення того, де який блок.

НМТ-2026 з математики передбачає, що ти маєш доступ до довідкових матеріалів протягом усього тесту. Ось ключові факти, які варто знати про те, як саме довідка фігурує на іспиті.

• Довідка на екрані. Ти бачиш довідкові матеріали в електронній формі на моніторі. Вони не відкриваються окремо — вони доступні поряд із завданнями.

• Паперова чернетка. Ти отримуєш аркуш для чернетки, на якому можна робити будь-які записи. Чернетку не перевіряють і не оцінюють.

• Склад довідки. Офіційний файл — ZNO_Math_dovidkovy-materialy.pdf. Він ідентичний сторінкам 8–10 демонстраційного варіанта НМТ-2026, який можна завантажити на testportal.gov.ua.

Як довідка допомагає в демоваріанті 2026

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 формули з довідки стають у пригоді, зокрема, у таких завданнях:

• № 19: таблиця похідних допомагає знайти похідну заданої функції

• № 20: формула комбінацій C_n^k потрібна для обчислення кількості способів

• № 21: об'єм прямої призми й площа ромба через діагоналі — ці формули є в геометричному розділі

Стратегія

Головна стратегія — знати структуру довідки заздалегідь, щоб пошук потрібної формули займав не більше ніж 20 секунд. До тесту:

• завантаж демоваріант НМТ-2026

• роздрукуй сторінки 8–10 (або окремий PDF довідки)

• вивчи, який блок де розташований

• потренуйся знаходити формули за 20 секунд на пробних тестах

• Довідкові матеріали на НМТ-2026 надають в електронній формі на екрані; кожен учасник також отримує паперову чернетку, яку не перевіряють.

• Довідка містить таблицю квадратів чисел 10–49 і формули з алгебри й початків аналізу, тригонометрії, комбінаторики та ймовірності, геометрії (зокрема стереометрії).

• Пошук формули має займати не більше ніж 20 секунд: спершу визнач розділ за шуканою величиною, потім знайди конкретний рядок.

• Довідка дає готову формулу, але не підказує, яку з формул застосувати — цього вчать тематичні юніти.

• Формул додавання sin(α ± β), cos(α ± β), вибіркових характеристик, довжини дуги, r = S/p, площі повної поверхні тіл у довідці немає — їх треба знати напам'ять.

• Базові факти (сума кутів трикутника 180°, площа прямокутника ab, 5² = 25) швидше відтворити з пам'яті, ніж шукати в довідці.

• Вивчи структуру довідки заздалегідь за демоваріантом НМТ-2026 — не відкривай її вперше на тесті.