Дії зі звичайними дробами

Звичайний дріб записують у вигляді a/b, де a — чисельник, а b — знаменник. Знаменник завжди відмінний від нуля: b ≠ 0.

Залежно від співвідношення чисельника й знаменника дроби поділяють на:

Мішане число — це скорочений запис суми цілого числа й правильного дробу. Наприклад, 2 3/5 = 2 + 3/5.

Основна властивість дробу

Основна властивість дробу звучить так: якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме число k (k ≠ 0), то значення дробу не зміниться. Формулою: a/b = (a · k)/(b · k). Ця властивість дає змогу скорочувати дроби та зводити їх до спільного знаменника.

Скорочення дробу

Скоротити дріб — означає поділити чисельник і знаменник на їхній найбільший спільний дільник (НСД). Наприклад, скоротимо 42/56. НСД(42; 56) = 14. Ділимо: 42 : 14 = 3, 56 : 14 = 4, отже 42/56 = 3/4. Скорочувати можна й поступово: спершу на 2, потім на 7 — результат той самий.

Скорочувати потрібно доти, доки чисельник і знаменник не стануть взаємно простими числами (тобто їхній НСД дорівнює 1). Такий дріб називають нескоротним.

Зведення до спільного знаменника

Щоб додати або відняти дроби з різними знаменниками, їх спершу треба звести до спільного знаменника. Найменший спільний знаменник — це найменше спільне кратне (НСК) знаменників.

Розгляньмо дроби 5/12 і 7/18:

• НСК(12; 18) = 36 — це найменший спільний знаменник.

• Додатковий множник для першого дробу: 36 : 12 = 3, тому 5/12 = (5 · 3)/(12 · 3) = 15/36.

• Додатковий множник для другого дробу: 36 : 18 = 2, тому 7/18 = (7 · 2)/(18 · 2) = 14/36.

Отже, 5/12 = 15/36, а 7/18 = 14/36. Знаменники стали однаковими, і тепер дроби можна додавати або віднімати.

Перетворення мішаного числа в неправильний дріб і навпаки

Мішане число перетворюють на неправильний дріб за формулою: c a/b = (c · b + a)/b.

Приклад: 3 2/7 = (3 · 7 + 2)/7 = 23/7.

Неправильний дріб перетворюють на мішане число діленням чисельника на знаменник з остачею: неповна частка стає цілою частиною, остача — чисельником дробової частини, знаменник той самий.

Приклад: 29/6. Ділимо 29 на 6: 29 = 4 · 6 + 5, отже 29/6 = 4 5/6.

Дроби з однаковими знаменниками

Коли знаменники дробів однакові, додавати й віднімати дуже просто: додаємо або віднімаємо чисельники, а знаменник залишаємо без змін.

Наприклад: 3/11 + 5/11 = (3 + 5)/11 = 8/11. Або: 7/9 − 2/9 = (7 − 2)/9 = 5/9.

Дроби з різними знаменниками

Якщо знаменники різні, спершу зводимо дроби до найменшого спільного знаменника, а потім виконуємо додавання або віднімання.

Приклад: 5/12 + 7/18 = (як ми вже знайшли) 15/36 + 14/36 = 29/36.

Чому не можна додавати знаменники? Уявімо, що ми додаємо 1/2 + 1/2. Якщо б ми додали й чисельники, й знаменники, отримали б 2/4 = 1/2, але ж дві половини — це ціле, тобто 1! Тому правило таке: чисельники додаємо окремо, знаменники окремо не додаємо — знаменник залишається спільним.

Додавання мішаних чисел

Мішані числа зручно додавати двома способами:

• Окремо додати цілі частини й окремо дробові, а потім об'єднати.

• Перетворити обидва мішані числа на неправильні дроби й додати.

Розгляньмо перший спосіб на прикладі 3 1/4 + 2 5/6:

• Цілі частини: 3 + 2 = 5.

• Дробові частини: 1/4 + 5/6. НСК(4; 6) = 12. 1/4 = 3/12, 5/6 = 10/12. Маємо 3/12 + 10/12 = 13/12.

• Об'єднуємо: 5 + 13/12 = 5 13/12. Але 13/12 — неправильний дріб, виділяємо цілу частину: 13/12 = 1 1/12.

• Остаточна відповідь: 5 + 1 1/12 = 6 1/12.

Віднімання мішаних чисел

У відніманні мішаних чисел часто доводиться позичати одиницю з цілої частини, якщо дробова частина зменшуваного менша за дробову частину від'ємника.

Розгляньмо 5 1/6 − 2 3/4:

• Зводимо дробові частини до спільного знаменника 12: 5 1/6 = 5 2/12, 2 3/4 = 2 9/12.

• Бачимо, що 2/12 < 9/12 — відняти не можна. Позичаємо 1 з цілої частини: 5 2/12 = 4 + 1 + 2/12 = 4 14/12.

• Тепер віднімаємо: 4 14/12 − 2 9/12 = 2 5/12.

Віднімання дробу від цілого числа: 3 − 2/7. 3 = 2 7/7, тому 2 7/7 − 2/7 = 2 5/7.

Множення звичайних дробів

Щоб помножити два дроби, треба перемножити їхні чисельники й окремо знаменники:

$$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$

Наприклад: 2/3 · 5/7 = (2·5)/(3·7) = 10/21.

Дуже зручно скорочувати дроби ще до множення — так зване скорочення навхрест. Наприклад:

$$\frac{8}{15}\cdot \frac{25}{12}=\frac{8}{12}\cdot \frac{25}{15}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{3}=\frac{10}{9}$$

Тут ми скоротили 8 і 12 на 4, а 25 і 15 на 5. Це значно простіше, ніж множити, а потім скорочувати великі числа.

Ціле число можна подати як дріб зі знаменником 1: 6 · 5/8 = 6/1 · 5/8 = 30/8 = 15/4.

Обернений дріб

Обернений дріб до a/b — це дріб b/a. Добуток взаємно обернених дробів завжди дорівнює 1: (a/b) · (b/a) = 1.

Ділення звичайних дробів

Ділення дробів замінюють множенням на дріб, обернений до дільника:

$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$$

Приклад: 9/14 : 3/7 = 9/14 · 7/3 = (9·7)/(14·3) = 63/42 = 3/2. Скорочувати зручно до множення: 9 і 3 на 3, 7 і 14 на 7.

Мішані числа в множенні й діленні

Мішані числа перед множенням або діленням обов'язково переводять у неправильні дроби. Інакше легко помилитися.

Приклад множення: 2 1/4 · 1 1/3 = 9/4 · 4/3 = 36/12 = 3 (а не 2 + 1/12, як вийшло б при почленному множенні).

Приклад ділення: 3 3/4 : 1 1/4 = 15/4 · 4/5 = 60/20 = 3.

Багатоповерховий дріб

Багатоповерховий дріб — це запис, у якому чисельник і знаменник самі є дробами. Він означає ділення:

$$\frac{3/4}{9/8}=\frac{3}{4}:\frac{9}{8}=\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{9}=\frac{2}{3}$$

Порядок дій

У виразах з кількома дробами діють ті самі правила, що й з іншими числами:

• Спершу виконують дії в дужках.

• Потім — множення й ділення зліва направо.

• Наостанок — додавання й віднімання зліва направо.

Розгляньмо приклад: (2/3 − 1/2) : 5/6. Спершу виконуємо віднімання в дужках: 2/3 − 1/2 = 4/6 − 3/6 = 1/6. Потім ділимо: 1/6 : 5/6 = 1/6 · 6/5 = 1/5.

Знаки в дробах

Мінус може стояти перед дробом, у чисельнику або в знаменнику — це одне й те саме:

$$-\frac{3}{4}=\frac{-3}{4}=\frac{3}{-4}$$

Добуток або частка двох від'ємних чисел є додатними: (-2/3) · (-3/4) = 6/12 = 1/2.

Будь уважним у відніманні, коли результат виявляється від'ємним:

$$\frac{1}{3}-\frac{3}{4}=\frac{4}{12}-\frac{9}{12}=-\frac{5}{12}$$

Раціональний порядок обчислень

Досвідчені учні застосовують кілька прийомів, щоб спростити роботу:

• Скорочуй дроби до початку обчислень — це зменшує числа й знижує ризик помилки.

• Групуй доданки з однаковими знаменниками — не обов'язково щоразу зводити всі дроби до одного знаменника.

• Переводь мішані числа в неправильні дроби лише для множення й ділення. Для додавання й віднімання зручніше працювати окремо з цілими й дробовими частинами.

• Якщо у виразі є й звичайний, і десятковий дріб, переведи їх до одного виду. Наприклад: 0,75 + 1/6 = 3/4 + 1/6 = 9/12 + 2/12 = 11/12.

Перевірка оцінкою

Перед тим як записати відповідь, оціни її правдоподібність. Наприклад, обчислимо 5/12 + 7/18:

• 5/12 ≈ 0,42, 7/18 ≈ 0,39, сума ≈ 0,81.

• Правильна відповідь 29/36 ≈ 0,806 — правдоподібно.

• Відповідь 12/30 = 0,4 — надто мала, отже помилкова.

Перевірка оцінкою — найшвидший спосіб виявити грубу помилку на НМТ. Не витрачай час на точне обчислення, якщо можеш одразу відкинути абсурдні варіанти.

Приклад 1. Обчисліть 2/3 + 3/4 − 5/6

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти. Пропоновані відповіді: А) 0; Б) 7/12; В) 9/4; Г) 2/7; Д) 5/12.

Розв'язання:

• Знаходимо спільний знаменник для 3, 4 і 6. НСК(3; 4; 6) = 12.

• Зводимо дроби: 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12.

• Обчислюємо: 8/12 + 9/12 − 10/12 = (8 + 9 − 10)/12 = 7/12.

Відповідь: Б) 7/12.

Розбір пасток:

• Варіант А (0) — класична помилка: додали окремо чисельники й окремо знаменники: (2+3−5)/(3+4+6) = 0/13 = 0.

• Варіант В (9/4) — не помітили знак мінус перед 5/6, а обчислили 2/3 + 3/4 + 5/6 = 27/12 = 9/4.

• Варіант Г (2/7) — ще один варіант неправильного додавання знаменників.

• Варіант Д (5/12) — помилка у зведенні до спільного знаменника: 2/3 записали як 6/12 замість 8/12 (6/12 + 9/12 − 10/12 = 5/12).

Приклад 2. Обчисліть 4 1/6 − 1 3/4

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти. Пропоновані відповіді: А) 2 5/12; Б) 3 7/12; В) 2 7/12; Г) 3 5/12; Д) 5 11/12.

Розв'язання:

• Зводимо дробові частини до спільного знаменника 12: 4 1/6 = 4 2/12, 1 3/4 = 1 9/12.

• 2/12 < 9/12 — позичаємо одиницю: 4 2/12 = 3 14/12.

• Віднімаємо: 3 14/12 − 1 9/12 = 2 5/12.

Відповідь: А) 2 5/12.

Розбір пасток:

• Варіант Б (3 7/12) — найпоширеніша помилка: відняли дробові частини в неправильному порядку (9/12 − 2/12), не позичивши одиницю: 4 − 1 = 3, а 2/12 − 9/12 дало б від'ємне, але порахували 9/12 − 2/12 = 7/12, отримали 3 7/12.

• Варіант В (2 7/12) — позичили одиницю, але помилилися у відніманні дробових частин.

Приклад 3. Обчисліть 2 1/4 : 1 1/8

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти. Пропоновані відповіді: А) 2; Б) 4; В) 1/2; Г) 81/32; Д) 4/9.

Розв'язання:

• Переводимо мішані числа в неправильні дроби: 2 1/4 = 9/4, 1 1/8 = 9/8.

• Замінюємо ділення множенням на обернений дріб: 9/4 : 9/8 = 9/4 · 8/9.

• Скорочуємо 9 з 9, 8 з 4: = 2/1 = 2.

Відповідь: А) 2.

Розбір пасток:

• Варіант Б (4) — поділили окремо цілі й дробові частини: 2 : 1 + 1/4 : 1/8 = 2 + 2 = 4. Це груба помилка: мішані числа не можна ділити почленно.

• Варіант Г (81/32) — помножили, не перевернувши дільник: 9/4 · 9/8 = 81/32. Це множення, а не ділення.

Приклад 4. Знайдіть значення виразу (5/6 − 3/4) · 2 2/5 + 1/2

Завдання з вибором однієї відповіді з п'яти. Пропоновані відповіді: А) 7/10; Б) 1/5; В) −7/15; Г) 1/3; Д) 3/5.

Розв'язання:

• Спершу дужки: 5/6 − 3/4 = 10/12 − 9/12 = 1/12.

• Переводимо мішане число: 2 2/5 = 12/5.

• Множення: 1/12 · 12/5 = 1/5.

• Додавання: 1/5 + 1/2 = 2/10 + 5/10 = 7/10.

Відповідь: А) 7/10.

Розбір пасток:

• Варіант В (−7/15) — проігнорували дужки й спершу помножили 3/4 на 12/5, отримали 36/20 = 9/5, потім 5/6 − 9/5 + 1/2 = 25/30 − 54/30 + 15/30 = −14/30 = −7/15. Порушення порядку дій призводить до абсурдного результату.

• Варіант Б (1/5) — зупинилися після множення й забули додати 1/2.

Зібрали найпоширеніші помилки, які коштують балів на НМТ. Вивчи їх, щоб не потрапити в ті самі пастки.

• Додають чи віднімають окремо чисельники й знаменники. Наприклад, 1/3 + 1/4 рахують як (1+1)/(3+4) = 2/7. Правильно: звести до спільного знаменника 12: 4/12 + 3/12 = 7/12. Знаменники ніколи не додаються!

• Множать мішані числа частинами. Наприклад, 2 1/2 · 2 1/2 рахують як 2·2 + 1/2·1/2 = 4 1/4. Правильно: перевести в неправильні дроби: 5/2 · 5/2 = 25/4 = 6 1/4.

• Ділять, не перевернувши дільник, або перевертають ділене. Наприклад, 3/5 : 2/3 рахують як 3/5 · 2/3 = 6/15 або як 5/3 · 2/3. Правильно: 3/5 : 2/3 = 3/5 · 3/2 = 9/10. Перевертаємо тільки дільник!

• У відніманні мішаних чисел не позичають одиницю. Наприклад, 4 1/6 − 1 3/4 рахують як 4 − 1 = 3, а 2/12 − 9/12 не можна, тому просто міняють місцями: 9/12 − 2/12 = 7/12, отримують 3 7/12. Правильно: позичити одиницю: 4 2/12 = 3 14/12, тоді 3 14/12 − 1 9/12 = 2 5/12.

• Зводячи до спільного знаменника, домножують лише знаменник. Наприклад, 5/12 записують як 5/36, забуваючи помножити чисельник. Правильно: 5/12 = 15/36 (множимо і чисельник, і знаменник на 3).

• Порушують порядок дій. Наприклад, у виразі (2/3 − 1/2) · 3/4 спершу множать 1/2 на 3/4, ігноруючи дужки. Правило: спершу дужки, потім множення/ділення, потім додавання/віднімання.

• Гублять мінус. Наприклад, 1/3 − 3/4 рахують як 4/12 − 9/12 = 5/12 замість −5/12. Завжди перевіряй, чи перший дріб більший за другий.

Дії з дробами входять до теми 1.1 програми НМТ — «Дійсні числа (натуральні, раціональні та ірраціональні), порівняння чисел та дії з ними». Окремої позиції в тесті для дробів немає, але вони є інструментом обчислень у багатьох завданнях.

У демоваріанті НМТ-2026 тема 1.1 представлена завданнями 9 і 17, а тема 1.2 (відношення й відсотки) — завданнями 3 і 7. У тестах 2023–2024 років на позиціях 1–3 стояли: завдання з таблицею або діаграмою, арифметична «життєва» задача й найпростіший факт геометрії — усі з вибором однієї відповіді з п'яти (А–Д), 0 або 1 бал.

Важливо: серед п'яти варіантів можуть бути числа, які є результатами типових помилок (0, 2/7, число без позичення одиниці). Тому збіг із варіантом не доводить правильності — завжди перевіряй оцінкою.

Правил дій з дробами в довідкових матеріалах НМТ немає — їх треба знати напам'ять. Орієнтовно на тест дають 60 хвилин на 22 завдання, поріг — 5 тестових балів з 32. Безпомилкові обчислення з дробами — надійний внесок у подолання порогу.

• Основна властивість дробу: a/b = (a·k)/(b·k). Скорочуй на НСД, зводь до спільного знаменника — НСК знаменників.

• Додаємо й віднімаємо лише дроби з однаковими знаменниками. Знаменники не додаємо!

• Множимо чисельник на чисельник, знаменник на знаменник. Ділимо — множимо на обернений дріб.

• Мішані числа перед множенням і діленням переводимо в неправильні дроби.

• У відніманні мішаних чисел позичаємо одиницю, якщо дробова частина зменшуваного менша.

• Порядок дій: дужки, множення й ділення, додавання й віднімання.

• Результат перевіряй оцінкою — це рятує від грубих помилок на НМТ.

Запам'ятай ці правила — і дії з дробами стануть твоєю сильною стороною на тесті!