Завдання 19 НМТ: прогресії

Перше, що треба зробити, отримавши текстову задачу на прогресію, — визначити, з яким типом прогресії маєш справу. Від цього залежить вибір формул і подальші обчислення.

Сталий приріст — арифметична прогресія

Якщо величина змінюється щоразу на одну й ту саму сталу величину, то маємо арифметичну прогресію. Цю сталу називають різницею d. Типові ознаки в тексті: «на … більше», «на … менше», «на … довше», «щодня на однакову кількість». Приклади: у кожному ряду на 2 місця більше, ніж у попередньому (d = 2); щодня пробігає на 0,5 км більше (d = 0,5); щохвилини температура падає на 3° (d = −3).

Зростання в ту саму кількість разів — геометрична прогресія

Якщо величина збільшується або зменшується в одне й те саме число разів, то маємо геометричну прогресію. Сталий множник називають знаменником q. Типові ознаки: «у … разів більше», «у … разів менше», «подвоюється», «потроюється», «зростає на 10 %» (тоді q = 1,1). Приклади: кількість бактерій подвоюється щогодини (q = 2); підписники зростають у 1,5 раза щомісяця (q = 1,5); ціна щороку знижується на 20 % (q = 0,8).

Записуємо дані в чернетці

Перш ніж підставляти числа у формули, запиши на чернетці чотири величини:

• a₁ (або b₁) — перший член (початкове значення);

• d (або q) — різниця або знаменник;

• n — номер члена або кількість членів;

• Що знайти: aₙ, Sₙ чи n.

Такий запис займає 10 секунд, але рятує від плутанини.

Формули, які є в довідкових матеріалах

На НМТ ти отримаєш довідку з усіма потрібними формулами. Ось вони:

Що саме шукають у задачі?

Уважно читай запитання. Слова-підказки:

• «скільки місць в останньому ряду» або «яка відстань на 10-й день» — це член a₁₀;

• «скільки всього місць» або «яку сумарну відстань» — це сума Sₙ;

• «у який день уперше» або «скільки рядів» — це номер n.

Схема визначення типу прогресії

Найчастіша помилка в задачах на прогресії — неправильно визначений номер n. Розгляньмо всі типові ситуації, щоб їх упізнавати.

Якщо питають «на N-й день (рік, місяць, ряд)»

Тут n дорівнює саме цьому номеру. Приклад: «у перший день 2 км, щодня на 0,5 км більше; скільки на 10-й день?» — n = 10.

Обчислення: $a_{10}=2+0,5\cdot (10-1)=2+0,5\cdot 9=2+4,5=6,5$ км.

Запам'ятай: у формулі $a_n=a_1+d(n-1)$ множник d множиться на (n − 1), а не на n.

Якщо сказано «через k годин (днів, місяців)»

Початкове значення — це перший член b₁. Через одну годину (крок) — другий член b₂. Через k кроків — член номер k + 1.

Приклад: бактерій 50, кількість подвоюється щогодини. Через 3 години: b₁ = 50, b₂ — через 1 год, b₃ — через 2 год, b₄ — через 3 год. Отже, n = 4, $b_4=50\cdot 2^3=400$.

Загальне правило: «через k кроків» від початку — номер n = k + 1.

Частина прогресії «з 5-го по 12-й ряд»

Якщо треба знайти суму членів з 5-го по 12-й, то:

• Кількість членів: 12 − 5 + 1 = 8.

• Сума дорівнює різниці суми перших 12 членів і суми перших 4 членів: $S_{5\dots 12}=S_{12}-S_4$.

Кількість членів за значенням

Іноді дано кілька перших членів і останній, а треба знайти їх кількість. Наприклад: послідовність 3, 7, 11, …, 83. Це арифметична прогресія з a₁ = 3, d = 4. Підставляємо у формулу n-го члена:

$83=3+4(n-1)$ ⇒ $80=4(n-1)$ ⇒ $n-1=20$ ⇒ $n=21$.

Перевір себе: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83 — дійсно 21 число.

Січень → травень

Якщо в січні було значення b₁, то в лютому — b₂, у березні — b₃, у квітні — b₄, у травні — b₅. n дорівнює порядковому номеру місяця. Те саме з роками: якщо на початку 2023 року b₁, то на початку 2025 року — b₃.

Розгляньмо кілька практичних ситуацій, які описуються арифметичною прогресією. У кожній — сталий приріст (або спад) на ту саму величину.

Амфітеатр: ряди та місця

У першому ряду амфітеатру 20 місць, у кожному наступному — на 2 більше. Скільки місць у 15-му ряду та скільки всього місць у 15 рядах?

• a₁ = 20, d = 2, n = 15.

• Місць у 15-му ряду: $a_{15}=20+2\cdot (15-1)=20+28=48$.

• Усього місць: $S_{15}=\frac{(20+48)\cdot 15}{2}=\frac{68\cdot 15}{2}=510$.

Зверни увагу: «скільки в останньому ряду» — це член a₁₅ = 48; «скільки всього» — це сума S₁₅ = 510. Не переплутай!

Тренування: поступове збільшення навантаження

Спортсмен у перший день тренувався 15 хв, а кожного наступного дня збільшував час на 5 хв. У який день уперше тривалість тренування досягне 60 хв?

a₁ = 15, d = 5, aₙ = 60. Потрібно знайти n.

$15+5(n-1)=60$ ⇒ $5(n-1)=45$ ⇒ $n-1=9$ ⇒ $n=10$.

Відповідь: на 10-й день.

Обернена задача: знайти перший член через суму

Турист пройшов за 8 днів 100 км, щодня збільшуючи денну відстань на 1,5 км. Скільки кілометрів він пройшов у перший день?

Тут S₈ = 100, d = 1,5, n = 8. Використаємо формулу суми через a₁:

$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$ ⇒ $100=\frac{2a_1+1,5\cdot 7}{2}\cdot 8$ ⇒ $100=(2a_1+10,5)\cdot 4$ ⇒ $2a_1+10,5=25$ ⇒ $2a_1=14,5$ ⇒ $a_1=7,25$ км.

Штабель труб (спадна прогресія)

У нижньому шарі штабеля 12 труб, у кожному наступному — на 1 менше, у верхньому шарі 5 труб. Скільки шарів і скільки всього труб?

a₁ = 12, d = −1, останній член aₙ = 5.

Знайдемо n: $5=12+(-1)(n-1)$ ⇒ $5=12-(n-1)$ ⇒ $n-1=7$ ⇒ $n=8$ шарів.

Сума: $S_8=\frac{(12+5)\cdot 8}{2}=\frac{17\cdot 8}{2}=68$ труб.

Коли величина змінюється в одну й ту саму кількість разів, працює геометрична прогресія. Це часто трапляється в задачах про біологію, фінанси, поширення інформації.

Бактерії: подвоєння щогодини

У чашці Петрі 50 клітин бактерій, кількість подвоюється щогодини. Скільки бактерій буде через 5 годин?

b₁ = 50, q = 2. Через 5 годин — це шостий член (b₁ — початок, через 1 год — b₂, …, через 5 год — b₆).

$b_6=50\cdot 2^5=50\cdot 32=1600$.

Не плутай: $b_6=b_1{q}^5$, а не $b_1{q}^6$. Показник степеня — це кількість кроків (5), а номер — на одиницю більше (6).

Поширення новини (сума)

Новину першого дня розповіли 2 людям, а щодня кількість нових людей, які дізнаються новину, зростає втричі. Скільки людей знатимуть новину за 5 днів?

Маємо геометричну прогресію: b₁ = 2, q = 3. Потрібна сума перших 5 членів:

$S_5=2\cdot \frac{3^5-1}{3-1}=2\cdot \frac{243-1}{2}=2\cdot \frac{242}{2}=2\cdot 121=242$.

Відповідь: 242 людини.

Спадна геометрична прогресія (м'яч)

М'яч падає з висоти 5 м. Після кожного відскоку він піднімається на 0,6 попередньої висоти. Якою буде висота після третього відскоку?

b₁ = 5, q = 0,6. Після першого відскоку — b₂ = 5 · 0,6 = 3 м. Після другого — b₃ = 3 · 0,6 = 1,8 м. Після третього — b₄ = 5 · 0,6³ = 5 · 0,216 = 1,08 м.

Зауваж: після першого відскоку — другий член b₂. Після N-го відскоку — член номер N + 1.

Знаходження знаменника за двома членами

Іноді потрібно знайти q, маючи два члени прогресії. Наприклад: b₂ = 12, b₅ = 96.

Запишемо обидва члени через b₁ і q: $b_2=b_{1}q$, $b_5=b_1{q}^4$. Поділимо більший на менший:

$\frac{b_5}{b_2}=\frac{b_1{q}^4}{b_{1}q}=q^3$ ⇒ $q^3=\frac{96}{12}=8$ ⇒ $q=2$.

Тоді $b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{12}{2}=6$.

Розв'яжемо чотири типові задачі, які можуть трапитися на позиції № 19. Уважно слідкуй за кроками.

Приклад 1. Амфітеатр

У залі 18 рядів. У першому ряду 16 місць, а в кожному наступному на 2 місця більше, ніж у попередньому. Скільки всього місць у залі?

Крок 1. Визначаємо тип: сталий приріст на 2 — арифметична прогресія.

Крок 2. Виписуємо дані: a₁ = 16, d = 2, n = 18. Питають «скільки всього» — шукаємо суму S₁₈.

Крок 3. Знаходимо a₁₈: $a_{18}=16+2\cdot (18-1)=16+34=50$.

Крок 4. Сума: $S_{18}=\frac{(16+50)\cdot 18}{2}=\frac{66\cdot 18}{2}=594$.

Відповідь: 594.

Типові пастки: 50 (це кількість місць лише в останньому ряду, а питали «всього»); 544 (якщо порахувати 17 рядів замість 18 — забули, що рядів 18, а не 17).

Приклад 2. Тренування

Спортсмен у перший день пробіг 3 км, а кожного наступного — на 0,4 км більше. У який день він уперше пробіг 7 км?

Крок 1. Сталий приріст — арифметична прогресія.

Крок 2. a₁ = 3, d = 0,4, aₙ = 7. Шукаємо n.

Крок 3. $3+0,4(n-1)=7$ ⇒ $0,4(n-1)=4$ ⇒ $n-1=10$ ⇒ $n=11$.

Відповідь: 11 (на 11-й день).

Пастка: 10 (якщо розв'язати $0,4n=4$, тобто n = 10, але формула $a_n=a_1+d(n-1)$ вимагає множення d на n − 1, а не на n).

Приклад 3. Підписники

Кількість підписників каналу щомісяця зростає в 1,5 раза. У січні їх було 1600. Скільки підписників буде у травні?

Крок 1. Зростання в 1,5 раза — геометрична прогресія.

Крок 2. b₁ = 1600 (січень). q = 1,5. Травень — п'ятий місяць: n = 5. Шукаємо b₅.

Крок 3. $b_5=1600\cdot 1,5^4=1600\cdot (1,5^2{)}^2=1600\cdot 2,25^2=1600\cdot 5,0625=8100$.

Відповідь: 8100.

Пастки: 12 150 (це b₆ — червень, а питали травень); 5400 (b₄ — квітень; плутають, що травень — четвертий за рахунком від січня). Також можна помилитися, порахувавши $1,5^4=5,0625$ неправильно.

Приклад 4. Сума перших трьох членів

Сума перших трьох членів геометричної прогресії зі знаменником 3 дорівнює 26. Знайдіть її четвертий член.

Крок 1. Геометрична прогресія, q = 3, S₃ = 26.

Крок 2. Запишемо суму перших трьох членів через b₁: $b_1+b_{1}q+b_1{q}^2=b_1(1+q+q^2)=26$.

Крок 3. $b_1(1+3+9)=26$ ⇒ $b_1\cdot 13=26$ ⇒ $b_1=2$.

Крок 4. Четвертий член: $b_4=b_1{q}^3=2\cdot 27=54$.

Відповідь: 54.

Пастка: 18 (це b₃, третій член, а питали четвертий). Інша пастка: забути помножити b₁ на q³ і записати просто 2.

Ось найчастіші помилки, які коштують учням балів на НМТ. Прочитай уважно, щоб не потрапити в ті самі пастки.

• Неправильно рахувати n: «через 5 годин» — це b₆, а не b₅; «з 5-го по 12-й ряд» — 8 членів, а не 7. Завжди перевіряй: n = (останній номер) − (перший номер) + 1.

• Знаходити член, коли питають суму, або навпаки. Якщо в задачі є слово «всього», «сумарно», «загалом» — це сума Sₙ. Якщо «в останньому», «на N-й день» — це член aₙ або bₙ.

• У формулі $a_n=a_1+d(n-1)$ множити d на n, а не на n − 1. Особливо небезпечно, коли n = 10 — тоді $n-1=9$, а не 10.

• Плутати арифметичний приріст «на 2 більше» з геометричним «у 2 рази більше». Перше — додавання (d = 2), друге — множення (q = 2). Це різні типи прогресій!

• Брати q = 10 замість q = 1,1 для зростання на 10 %. Зростання на 10 % означає, що величина стає 100 % + 10 % = 110 % = 1,1 від попередньої. Аналогічно: зниження на 20 % дає q = 0,8.

• Записувати у відповідь номер $n-1$ або проміжне значення (наприклад, a₁₈ замість S₁₈). Уважно перечитай запитання задачі перед тим, як записати відповідь.

Розуміння того, як саме перевіряють прогресії на НМТ, допомагає правильно розподілити час і зусилля.

Статистика реальних тестів

У вибірці реальних тестів 2023–2024 років прогресія стояла на позиції № 19 у трьох тестах з чотирьох. У демоваріанті 2026 року на позиції № 19 — похідна, а прогресій у демо немає. Це означає, що позиція 19 змінна: у вибірці там була прогресія (у трьох тестах з чотирьох) або інтеграл, а в демо 2026 — похідна.

Програма та тема

За аналізом програми НМТ тема 3.1 («Числові послідовності») дала рівно одне завдання в кожному тесті вибірки. Тому прогресії тренують саме у форматі короткої відповіді — позиція № 19.

Формат завдання

Завдання № 19–22 — коротка відповідь. Ти отримуєш 0 або 2 бали без часткових (тобто або все правильно, або 0). Відповідь — лише число, записане десятковим дробом. Жодних одиниць вимірювання, жодних пояснень.

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах, які ти отримаєш на тестуванні, є формули n-го члена та суми n перших членів арифметичної й геометричної прогресій. Їх не треба вчити напам'ять, але треба вміти швидко знаходити й підставляти значення.

Стратегія на виконання

Перед обчисленнями обов'язково запиши на чернетці структуру: «a₁ = …, d = …, n = …, Знайти: …». Це займає 10 секунд, але рятує від плутанини з n і тим, що шукають. Потім — одна формула з довідки, одне обчислення, і відповідь готова.

Тут зібрано відповіді на запитання, які найчастіше виникають під час підготовки до НМТ.

• Сталий приріст — арифметична прогресія, та сама кратність — геометрична. «На 2 більше» → d = 2. «У 2 рази більше» → q = 2. Не плутай!

• До обчислень запиши a₁, d чи q, n і що шукаєш. Це займає кілька секунд, але рятує від половини помилок.

• «Через k кроків» — номер n = k + 1. Наприклад, «через 5 годин» — це b₆ = b₁·q⁵.

• Член — одне значення, сума — «усього». Уважно читай запитання: «скільки місць у залі?» — сума; «скільки в останньому ряду?» — член.

• Формули є в довідці; помиляються не в них, а в n. Перевір n ще раз перед виконанням обчислень.

• Відповідь — число десятковим дробом. Жодних одиниць вимірювання, слів чи коментарів. Тільки число.