Закон радіоактивного розпаду і період піврозпаду

Уяви, що ти спостерігаєш за величезною кількістю однакових радіоактивних ядер — наприклад, за $10^{20}$ ядер ізотопу Йод-131. Чи можна передбачити, коли саме розпадеться конкретне ядро? Ні. Розпад окремого ядра — це випадкова подія, яка не піддається точному прогнозу. Однак для величезної сукупності ядер діє чіткий статистичний закон: щосекунди розпадається певна частка наявних ядер, і ця частка залишається сталою, доки ядер багато.

Саме з цього статистичного закону народжується ключове поняття — період піврозпаду. Період піврозпаду $T$ — це час, за який розпадається рівно половина наявних радіоактивних ядер. Якщо спочатку було $N_0$ ядер, то через час $T$ їх залишиться $N_0/2$, ще через $T$ — $N_0/4$, і так далі.

Найважливіша властивість періоду піврозпаду: він залежить лише від виду ізотопу й не залежить від зовнішніх умов. Ти не можеш прискорити чи сповільнити радіоактивний розпад нагріванням, охолодженням, стисканням або зміною хімічного зв'язку. Період піврозпаду — це внутрішня характеристика ядра, яку не можна змінити жодним фізичним чи хімічним впливом.

Значення періоду піврозпаду для різних ізотопів охоплюють неймовірний діапазон — від часток секунди до мільярдів років. Ось кілька прикладів (у задачах НМТ значення завжди дають в умові):

Зверни увагу на закономірність: через кожен наступний період піврозпаду кількість нерозпалих ядер зменшується вдвічі не від початкового значення, а від того значення, яке було на початку цього періоду. Якщо на старті було $N_0$ ядер, то через $T$ залишиться $N_0/2$, через $2T$ — $N_0/4$, через $3T$ — $N_0/8$, через $4T$ — $N_0/16$. Це не лінійне зменшення, а геометрична прогресія з множником $1/2$.

Закон радіоактивного розпаду пов'язує кількість нерозпалих ядер $N$ у момент часу $t$ з початковою кількістю $N_0$ і періодом піврозпаду $T$. У довідкових матеріалах НМТ цей закон подано у вигляді:

$$N=N_0\cdot 2^{-t/T}$$

Тут $N_0$ — початкова кількість радіоактивних ядер, $N$ — кількість нерозпалих ядер у момент часу $t$, $T$ — період піврозпаду. Формула показує, що кількість нерозпалих ядер зменшується за експоненційним законом.

Цілі періоди піврозпаду

Найпростіше працювати із законом, коли час $t$ кратний періоду піврозпаду $T$. Позначимо $n=t/T$ — кількість періодів піврозпаду, що минули. Тоді:

• Кількість нерозпалих ядер: $N=N_0/2^n$

• Кількість розпалих ядер: $N_0-N=N_0\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$

• Частка нерозпалих ядер: $1/2^n$

• Частка розпалих ядер: $1-1/2^n$

Ось як змінюється частка нерозпалих ядер з кожним періодом:

Зверни увагу: за три періоди піврозпаду розпадається $7/8$ усіх ядер, а не $3/4$ і не всі ядра. Типова помилка — вважати, що за два періоди розпадаються всі ядра (адже $2\cdot 50\%=100\%$). Насправді за два періоди залишається $1/4$ ядер, тобто розпадається лише $3/4$.

Дробові показники

Якщо час $t$ не кратний періоду піврозпаду, формула $N=N_0\cdot 2^{-t/T}$ працює так само. Наприклад, нехай $t=1,5T$. Тоді:

$$N=N_0\cdot 2^{-1,5}=\frac{N_0}{2^{1,5}}=\frac{N_0}{2\cdot \sqrt{2}}\approx \frac{N_0}{2,828}\approx 0,35N_0$$

Без калькулятора на НМТ зручніше працювати з цілими $n$, але якщо в умові дано дробове відношення $t/T$, застосовуй ту саму формулу — вона універсальна.

Можна рухатися й у зворотному напрямку: якщо відомо, що залишилася певна частка ядер, знайди $n$, а потім $t=nT$. Наприклад, якщо залишилося $1/16$ ядер, то $1/2^n=1/16$, звідки $n=4$ і $t=4T$.

Графік залежності кількості нерозпалих ядер $N$ від часу $t$ — це спадна експонента. Вона починається з точки $N_0$ на вертикальній осі й асимптотично наближається до осі часу, ніколи не перетинаючи її повністю. На осях графіка можуть бути відкладені кількість ядер (або маса, або активність) і час.

Як знайти період піврозпаду за графіком? Найпростіший спосіб:

1. Візьми на вертикальній осі початкове значення $N_0$.

2. Знайди на графіку момент, коли кількість ядер зменшилась удвічі — тобто стала $N_0/2$.

3. Різниця між цим моментом і початком — це період піврозпаду $T$.

Щоб переконатися, що T знайдено правильно, зверни увагу: за наступний проміжок такої самої тривалості значення $N$ має зменшитись ще вдвічі: $N_0\to N_0/2\to N_0/4$. Якщо на графіку ти бачиш пряму лінію замість спадної кривої — це не закон радіоактивного розпаду, а лінійна залежність, яка не відповідає фізиці процесу.

Важливо: за тим самим законом змінюється не лише кількість ядер, а й маса нерозпалого ізотопу. Якщо в задачі дано масу радіоактивної речовини замість кількості ядер, формула працює так само: $m=m_0\cdot 2^{-t/T}$. Кількість ядер продукту розпаду, навпаки, зростає — спочатку швидко, потім усе повільніше, асимптотично наближаючись до $N_0$; маса продукту так само прямує до граничного значення, пропорційного $m_0$.

На НМТ графік $N(t)$ можуть подати в завданні на визначення періоду піврозпаду. Зверни увагу на одиниці часу на горизонтальній осі — вони можуть бути в добах, роках, секундах. Відповідь записуй у тих самих одиницях, які вказані в умові.

Приклад 1. Скільки відсотків ядер залишиться?

Умова: Період піврозпаду деякого радіоактивного ізотопу дорівнює 4 доби. Скільки відсотків початкової кількості ядер цього ізотопу залишиться нерозпалими через 12 діб?

Розв'язання:

1. Визначаємо кількість періодів піврозпаду: $n=t/T=12\text{діб}/4\text{доби}=3$.

2. За законом радіоактивного розпаду, через $n$ періодів залишається частка $1/2^n$ ядер.

3. Отже, $N/N_0=1/2^3=1/8=0,125$.

4. Переводимо у відсотки: $0,125\cdot 100\%=12,5\%$.

Відповідь: 12,5.

Типова помилка: вважати, що за 12 діб розпадеться 12/4 = 3 частки по 25 %, тобто 75 %, і залишиться 25 %. Насправді за кожен період кількість нерозпалих ядер зменшується вдвічі, а не на сталу величину.

Приклад 2. Яка частка ядер розпадеться?

Умова: Яка частка початкової кількості радіоактивних ядер розпадеться за три періоди піврозпаду?

Варіанти відповідей:

• А) $1/8$

• Б) $3/4$

• В) $7/8$

• Г) $3/2$

Розв'язання:

1. Через три періоди піврозпаду ($n=3$) частка нерозпалих ядер становить $1/2^3=1/8$.

2. Частка розпалих ядер — це решта: $1-1/8=7/8$.

Відповідь: В) $7/8$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $1/8$ (А) — це частка нерозпалих ядер, а не розпалих. Плутати ці дві величини — найпоширеніша помилка.

• $3/4$ (Б) — так було б, якби за кожен період розпадалася стала частка $1/4$, але насправді за другий період розпадається половина від того, що залишилося, тобто $1/2$ від $1/2$ = $1/4$, а за третій — $1/2$ від $1/4$ = $1/8$. Разом $1/2+1/4+1/8=7/8$.

• $3/2$ (Г) — частка не може перевищувати 1 (100 %). Це груба помилка.

Приклад 3. Визначення T за графіком

Умова: На графіку залежності кількості нерозпалих ядер $N$ від часу $t$ у момент $t=0$ значення $N$ дорівнює $16\cdot 10^6$ ядер, а в момент $t=6$ діб — $4\cdot 10^6$ ядер. Визнач період піврозпаду цього ізотопу в добах.

Розв'язання:

1. Початкова кількість $N_0=16\cdot 10^6$ ядер.

2. Через 6 діб залишилося $N=4\cdot 10^6$ ядер.

3. Визначаємо, у скільки разів зменшилась кількість: $N_0/N=(16\cdot 10^6)/(4\cdot 10^6)=4$.

4. Оскільки $N_0/N=2^n$, маємо $2^n=4$, звідки $n=2$.

5. За означенням $n=t/T$, тому $T=t/n=6\text{діб}/2=3\text{доби}$.

Відповідь: 3.

Перевірка: за перші 3 доби кількість зменшиться від $16\cdot 10^6$ до $8\cdot 10^6$, за наступні 3 доби — до $4\cdot 10^6$. Усе правильно.

Приклад 4. Кількість розпалих ядер за 2T

Умова: Початкова кількість радіоактивних ядер дорівнює $N_0$. Через час $t=2T$ кількість ядер, що вже розпалися, дорівнює:

• А) $N_0/2$

• Б) $N_0/4$

• В) $3N_0/4$

• Г) $N_0$

Розв'язання:

1. Через $n=t/T=2$ періоди частка нерозпалих ядер становить $1/2^2=1/4$.

2. Отже, нерозпалими залишилися $N_0/4$ ядер.

3. Кількість розпалих ядер: $N_0-N_0/4=3N_0/4$.

Відповідь: В) $3N_0/4$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $N_0/2$ (А) — так було б через один період піврозпаду, а не через два.

• $N_0/4$ (Б) — це кількість нерозпалих ядер, а не розпалих.

• $3N_0/4$ (В) — правильна відповідь.

• $N_0$ (Г) — усі ядра не можуть розпастися за два періоди, бо залишається $1/4$ нерозпалих.

• Вважати, що за два періоди піврозпаду розпадаються всі ядра. Насправді за два періоди залишається $1/4$ ядер, тобто розпадається $3/4$. За три періоди залишається $1/8$, а не 0.

• Діяти лінійно: вважати, що за $2T$ розпадається $2\cdot 50\%=100\%$. Це ігнорує експоненційний характер розпаду. Кількість нерозпалих ядер зменшується вдвічі за кожен період, а не на сталу величину.

• Плутати кількість нерозпалих ядер із кількістю розпалих. Якщо в задачі запитують, скільки ядер розпалося, спочатку знайди, скільки залишилося нерозпалими, а потім відніми від $N_0$.

• Не узгоджувати одиниці часу періоду й моменту. Якщо $T$ дано в добах, а $t$ — у годинах, спочатку переведи все в однакові одиниці.

• Брати для періоду піврозпаду час, за який розпадається кожне ядро. Це неправильно: період піврозпаду стосується статистики великої кількості ядер, а не окремого ядра.

• Вважати, що період піврозпаду можна змінити нагріванням чи тиском. Період піврозпаду — незмінна характеристика ізотопу, яка не залежить від зовнішніх умов.

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання № 22 — це коротка відповідь (0 або 2 бали) на тему закону радіоактивного розпаду й періоду піврозпаду. Тема в програмі — 5.3 «Атом та атомне ядро».

Закон $N=N_0\cdot 2^{-t/T}$ є в довідкових матеріалах НМТ, які під час тесту доступні в електронній формі. Однак графіки й словесні властивості радіоактивного розпаду в довідкових матеріалах не наведено — їх треба знати самостійно.

Відповідь у завданні з короткою відповіддю записують цілим числом або десятковим дробом. Одиницю вимірювання вказувати не треба — вона зазначена в умові. Наприклад, якщо в умові запитують «у добах», ти пишеш лише число.

Програма НМТ (пункт 5.3) вимагає вміти застосовувати закон радіоактивного розпаду й аналізувати графік $N(t)$. Це означає, що ти маєш не просто підставляти числа в формулу, а й розуміти, як зміна параметрів впливає на результат.

Стратегія розв'язування

1. Прочитай умову й визнач, які величини відомі: $N_0$, $N$, $t$, $T$.

2. Обчисли $n=t/T$ — кількість періодів піврозпаду.

3. Застосуй формулу $N=N_0/2^n$ або $N=N_0\cdot 2^{-t/T}$.

4. Якщо запитують кількість розпалих ядер, відніми $N$ від $N_0$.

5. Перевір відповідь на правдоподібність: чи не перевищує частка розпалих ядер 1, чи зменшилась кількість нерозпалих ядер удвічі за кожен період.

• Період піврозпаду $T$ — це час, за який розпадається половина наявних радіоактивних ядер.

• $T$ залежить лише від виду ізотопу й не залежить від температури, тиску, хімічного зв'язку чи інших зовнішніх умов.

• Закон радіоактивного розпаду: $N=N_0\cdot 2^{-t/T}$. Після $n=t/T$ періодів залишається $N_0/2^n$ ядер.

• Графік $N(t)$ — спадна експонента. Період піврозпаду $T$ — це час, за який значення $N$ зменшується вдвічі.

• За два періоди піврозпаду розпадається $3/4$ ядер, а не всі ядра. Пам'ятай: $1/4$ залишається нерозпалою.