З’єднання конденсаторів

Конденсатори з'єднані паралельно, якщо їхні обкладки під'єднано до тих самих двох точок кола. Уяви, що ліва обкладка кожного конденсатора йде до одного вузла, а права — до іншого. Тоді напруга на всіх конденсаторах однакова:

$$U=U_1=U_2=\cdots =U_n$$

Чому так? Тому що всі ліві обкладки з'єднані між собою провідником, усі праві — теж. Різниця потенціалів між двома провідниками одна й та сама для всіх гілок.

Загальна ємність

Загальний заряд батареї дорівнює сумі зарядів на окремих конденсаторах:

$$q=q_1+q_2+\cdots +q_n$$

Оскільки $q=CU$, а $q_1=C_{1}U$, $q_2=C_{2}U$ тощо, маємо:

$$CU=C_{1}U+C_{2}U+\cdots +C_{n}U$$

Скорочуємо $U$ і отримуємо найпростішу формулу:

$$C=C_1+C_2+\cdots +C_n$$

Для двох конденсаторів: $C=C_1+C_2$. Для $n$ однакових конденсаторів ємністю $C_0$: $C=n{C}_0$.

Паралельне з'єднання збільшує ємність. Загальна ємність батареї завжди більша за найбільшу ємність серед окремих конденсаторів.

Фізично це можна уявити так: площа обкладок ніби додається. Якщо взяти два однакові плоскі конденсатори й з'єднати їхні обкладки паралельно, то загальна площа обкладок подвоюється, а отже, ємність подвоюється.

Розподіл зарядів

Оскільки $q_1=C_{1}U$ і $q_2=C_{2}U$, то відношення зарядів дорівнює відношенню ємностей:

$$\frac{q_1}{q_2}=\frac{C_1}{C_2}$$

Тобто на конденсаторі з більшою ємністю накопичується пропорційно більший заряд.

Приклад

Візьмемо два конденсатори: $C_1=3$ мкФ і $C_2=6$ мкФ, з'єднані паралельно. Загальна ємність:

$$C=3+6=9\text{мкФ}$$

Якщо до батареї прикладено напругу $U=10$ В, то заряд на першому конденсаторі $q_1=3\cdot 10=30$ мкКл, на другому $q_2=6\cdot 10=60$ мкКл, а сумарний заряд $q=90$ мкКл. Справді, $q_1/q_2=30/60=1/2=C_1/C_2$.

Конденсатори з'єднані послідовно, якщо обкладка одного конденсатора з'єднана провідником з обкладкою сусіднього, і так далі — утворюється ланцюжок. Крайні обкладки під'єднано до джерела напруги.

Однаковий заряд

Коли джерело подає напругу на крайні обкладки, на них накопичуються заряди $+q$ і $-q$. Внутрішні обкладки заряджаються через електростатичну індукцію: заряд, що «приходить» на одну внутрішню обкладку, «витісняє» такий самий заряд із сусідньої. Тому заряд на всіх послідовних конденсаторах однаковий:

$$q=q_1=q_2=\cdots =q_n$$

Загальна ємність

Напруги на окремих конденсаторах додаються до загальної напруги батареї:

$$U=U_1+U_2+\cdots +U_n$$

Оскільки $U=q/C$, $U_1=q/C_1$, $U_2=q/C_2$ тощо, маємо:

$$\frac{q}{C}=\frac{q}{C_1}+\frac{q}{C_2}+\cdots +\frac{q}{C_n}$$

Скорочуємо $q$ і отримуємо:

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots +\frac{1}{C_n}$$

Для двох конденсаторів зручно користуватися формулою «добуток поділити на суму»:

$$C=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$$

Для $n$ однакових конденсаторів ємністю $C_0$:

$$C=\frac{C_0}{n}$$

Послідовне з'єднання зменшує ємність. Загальна ємність батареї завжди менша за найменшу ємність серед окремих конденсаторів.

Фізично це тому, що послідовне з'єднання ніби збільшує відстань між крайніми обкладками: додається товщина діелектрика кожного конденсатора. А ємність обернено пропорційна відстані.

Розподіл напруг

Оскільки $U_1=q/C_1$ і $U_2=q/C_2$, то напруги розподіляються обернено пропорційно ємностям:

$$\frac{U_1}{U_2}=\frac{C_2}{C_1}$$

Менша ємність — більша напруга. Це важливо пам'ятати: конденсатор із меншою ємністю «бере на себе» більшу частину загальної напруги.

Приклад

Візьмемо два конденсатори: $C_1=3$ мкФ і $C_2=6$ мкФ, з'єднані послідовно. Загальна ємність:

$$C=\frac{3\cdot 6}{3+6}=\frac{18}{9}=2\text{мкФ}$$

Нехай батарею під'єднано до напруги $U=90$ В. Тоді заряд на кожному конденсаторі:

$$q=CU=2\cdot 90=180\text{мкКл}$$

Напруга на першому конденсаторі:

$$U_1=\frac{q}{C_1}=\frac{180}{3}=60\text{В}$$

На другому:

$$U_2=\frac{q}{C_2}=\frac{180}{6}=30\text{В}$$

Перевірка: $U_1+U_2=60+30=90$ В, що дорівнює загальній напрузі. Менший конденсатор (3 мкФ) отримав більшу напругу (60 В), як і передбачає співвідношення $U_1/U_2=C_2/C_1=6/3=2$.

На практиці конденсатори рідко з'єднують лише паралельно або лише послідовно. Найчастіше трапляється змішане з'єднання — комбінація обох типів. Щоб знайти загальну ємність, заряди й напруги, застосовують покроковий алгоритм.

Алгоритм розв'язування

1. Уважно подивись на схему. Знайди групи конденсаторів, з'єднаних лише паралельно або лише послідовно.

2. Обчисли еквівалентну ємність кожної такої групи за відповідною формулою.

3. Заміни групу одним «еквівалентним» конденсатором на схемі.

4. Повторюй кроки 1–3, доки не залишиться один конденсатор — це загальна ємність батареї.

5. Після знаходження загальної ємності «розгорни» схему в зворотному порядку: знайди заряд і напругу на кожному еквівалентному конденсаторі, а потім — на реальних.

Приклад

Розглянемо схему з трьома конденсаторами: $C_1=6$ мкФ і $C_2=3$ мкФ з'єднані паралельно, а до них послідовно приєднано $C_3=18$ мкФ. Уся батарея під напругою $U=12$ В.

Крок 1. Знаходимо еквівалентну ємність паралельної групи

$$C_{12}=C_1+C_2=6+3=9\text{мкФ}$$

Крок 2. Знаходимо загальну ємність батареї

Тепер маємо два послідовні конденсатори: $C_{12}=9$ мкФ і $C_3=18$ мкФ.

$$C=\frac{C_{12}\cdot C_3}{C_{12}+C_3}=\frac{9\cdot 18}{9+18}=\frac{162}{27}=6\text{мкФ}$$

Крок 3. Знаходимо загальний заряд

$$q=C\cdot U=6\cdot 12=72\text{мкКл}$$

Оскільки $C_{12}$ і $C_3$ з'єднані послідовно, заряд на них однаковий і дорівнює загальному заряду: $q_{12}=q_3=q=72$ мкКл.

Крок 4. Знаходимо напруги

Напруга на $C_3$:

$$U_3=\frac{q_3}{C_3}=\frac{72}{18}=4\text{В}$$

Напруга на паралельній групі $C_{12}$:

$$U_{12}=U-U_3=12-4=8\text{В}$$

Або через формулу: $U_{12}=q_{12}/C_{12}=72/9=8$ В.

Крок 5. Знаходимо заряди на окремих конденсаторах

Оскільки $C_1$ і $C_2$ з'єднані паралельно, напруга на них однакова: $U_1=U_2=U_{12}=8$ В.

$$q_1=C_1\cdot U_{12}=6\cdot 8=48\text{мкКл}$$

$$q_2=C_2\cdot U_{12}=3\cdot 8=24\text{мкКл}$$

Перевірка

Переконаймося, що результати узгоджуються:

• $q_1+q_2=48+24=72$ мкКл $=q_3$ — сума зарядів паралельної групи дорівнює заряду послідовного конденсатора.

• $U_3+U_{12}=4+8=12$ В $=U$ — сума напруг на послідовних ділянках дорівнює загальній напрузі.

Цей покроковий метод працює для будь-якого змішаного з'єднання. Головне — терпляче зводити схему до простіших фрагментів.

Поширена пастка в задачах на конденсатори — перенесення формул для опору на конденсатори. Формули справді схожі, але діють навпаки. Розберімося, чому.

Порівняння формул

Як бачиш, формули дзеркально протилежні. Для резисторів послідовне з'єднання збільшує опір, паралельне — зменшує. Для конденсаторів навпаки: паралельне з'єднання збільшує ємність, послідовне — зменшує.

Чому так?

Причина — у фізичній природі величин.

• Ємність плоского конденсатора: $C=\epsilon {\epsilon }_0\frac{S}{d}$. Вона пропорційна площі обкладок $S$ й обернено пропорційна відстані $d$ між ними.

• Опір провідника: $R=\rho \frac{l}{S}$. Він пропорційний довжині $l$ й обернено пропорційний площі поперечного перерізу $S$.

Коли з'єднуєш конденсатори паралельно, площа обкладок ніби додається — ємність зростає. Коли з'єднуєш послідовно, відстань між крайніми обкладками збільшується — ємність спадає.

Для резисторів усе навпаки: послідовне з'єднання збільшує довжину провідника — опір зростає; паралельне збільшує площу перерізу — опір спадає.

Що спільного?

Незважаючи на протилежні формули, є спільна логіка:

• Послідовне з'єднання зберігає сталим струм (для резисторів) або заряд (для конденсаторів).

• Паралельне з'єднання зберігає сталим напругу — і для резисторів, і для конденсаторів.

Перевірка розумності

Перш ніж записати відповідь, завжди перевір себе:

• Паралельно — ємність зростає (більша площа). Чи отримав я число, більше за найбільшу ємність?

• Послідовно — ємність спадає (більша відстань). Чи отримав я число, менше за найменшу ємність?

Якщо відповідь не проходить цю перевірку, ти, найімовірніше, переплутав формули.

Розгляньмо чотири типові задачі, які можуть трапитися на НМТ. Кожна з них перевіряє певний аспект з'єднання конденсаторів.

Приклад 1. Послідовне з'єднання — ємність батареї

Умова: Два конденсатори ємністю 4 мкФ і 12 мкФ з'єднано послідовно. Визнач загальну ємність батареї (у мкФ).

Розв'язання: Для послідовного з'єднання використовуємо формулу $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$. Підставляємо: $\frac{1}{C}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. Отже, $C=3$ мкФ.

Відповідь: 3.

Зверни увагу: загальна ємність (3 мкФ) менша за найменшу з ємностей (4 мкФ) — це ознака правильності для послідовного з'єднання.

Приклад 2. Паралельне з'єднання — три однакові конденсатори

Умова: Три конденсатори по 6 мкФ з'єднано паралельно. Визнач загальну ємність батареї (у мкФ).

Розв'язання: Для паралельного з'єднання ємності додаються: $C=C_1+C_2+C_3=6+6+6=18$ мкФ. Або за формулою для $n$ однакових: $C=n{C}_0=3\cdot 6=18$ мкФ.

Відповідь: 18.

Загальна ємність (18 мкФ) більша за найбільшу ємність (6 мкФ) — правильна ознака паралельного з'єднання.

Приклад 3. Розподіл напруги на послідовних конденсаторах

Умова: Два конденсатори з'єднано послідовно. Ємність одного з них удвічі менша за ємність іншого. Як співвідносяться напруги на них?

Розв'язання: Для послідовних конденсаторів заряд однаковий ($q=q_1=q_2$). Напруга на конденсаторі $U=q/C$. Отже, $U_1/U_2=C_2/C_1$. Якщо $C_1=C_2/2$ (менша ємність), то $U_1/U_2=C_2/(C_2/2)=2$. Напруга на меншому конденсаторі вдвічі більша.

Відповідь: напруга на меншому конденсаторі вдвічі більша.

Поширена помилка: вважати, що напруга однакова (це правильно для паралельного, а не послідовного з'єднання), або що на меншому конденсаторі напруга менша.

Приклад 4. Послідовне з'єднання — напруга на меншому конденсаторі

Умова: Конденсатори ємністю 3 мкФ і 6 мкФ з'єднано послідовно й під'єднано до джерела напруги 90 В. Визнач напругу на конденсаторі меншої ємності (у В).

Розв'язання: Спочатку знайдемо загальну ємність: $C=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}=\frac{3\cdot 6}{3+6}=\frac{18}{9}=2$ мкФ. Загальний заряд: $q=C\cdot U=2\cdot 90=180$ мкКл. Цей заряд однаковий на обох конденсаторах. Напруга на меншому конденсаторі (3 мкФ): $U_1=q/C_1=180/3=60$ В.

Відповідь: 60.

Перевірка: на другому конденсаторі $U_2=180/6=30$ В, і $U_1+U_2=60+30=90$ В. Менша ємність — більша напруга.

• Переносити формулу загального опору на конденсатори. Найпоширеніша пастка: для послідовних резисторів $R=R_1+R_2$, а для послідовних конденсаторів — навпаки, $1/C=1/C_1+1/C_2$. Завжди перевіряй себе: чи збігається результат із фізичним змістом (паралельно ємність зростає, послідовно — спадає)?

• Забувати, що за послідовного з'єднання однаковий заряд, а не напруга. Багато учнів помилково вважають, що напруга на послідовних конденсаторах однакова. Насправді однаковий заряд, а напруга розподіляється обернено пропорційно ємностям.

• Вважати, що за паралельного з'єднання ємність зменшується. Це протилежне до правди: паралельне з'єднання збільшує площу обкладок, тому ємність зростає. Загальна ємність більша за найбільшу з окремих.

• Шукати 1/C замість C: забути перевернути число. Після обчислення $1/C=1/C_1+1/C_2$ не забудь знайти $C$ як обернену величину. Наприклад, якщо $1/C=1/3$, то $C=3$, а не $1/3$.

• Не розбивати змішане з'єднання на етапи. Спроба знайти загальну ємність «одним виразом» майже завжди веде до помилки. Розбивай схему на прості групи крок за кроком.

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання на тему «Конденсатори» входить до блоку № 20 (тема 3.1 за програмою). Це завдання формату «коротка відповідь» — ти отримуєш 0 або 2 бали залежно від правильності відповіді. У ньому перевіряють уміння обчислювати ємність плоского конденсатора та ємність батареї конденсаторів за різних типів з'єднання.

Довідкові матеріали, які надають на НМТ, містять формули для послідовного й паралельного з'єднання конденсаторів:

• Послідовне: $1/C=1/C_1+1/C_2$

• Паралельне: $C=C_1+C_2$

Однак у довіднику немає підказки, що ці формули протилежні до формул для резисторів. Цю закономірність ти маєш усвідомити сам. Також у довіднику не наведено формули для змішаного з'єднання — його треба розв'язувати поетапно.

Завдання з короткою відповіддю (№ 17–22 у тесті) вимагають записати число в одиницях, указаних в умові. Найчастіше це мкФ, нФ, пФ для ємності та мкКл для заряду. Уважно перевіряй префікси: 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф, 1 нФ = 10⁻⁹ Ф, 1 пФ = 10⁻¹² Ф. Помилка в префіксі коштує 2 балів.

Завдання можуть бути подані як зі схемою, так і без неї — лише з описом з'єднання. У будь-якому разі спочатку визнач тип з'єднання (паралельне, послідовне чи змішане), потім обери відповідну формулу.

• Паралельне з'єднання: $C=C_1+C_2+\cdots +C_n$, напруга $U$ на всіх однакова, загальна ємність більша за найбільшу.

• Послідовне з'єднання: $1/C=1/C_1+1/C_2+\cdots +1/C_n$, заряд $q$ на всіх однаковий, загальна ємність менша за найменшу.

• Для двох послідовних конденсаторів: $C=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$.

• Для $n$ однакових конденсаторів: паралельно $C=n{C}_0$, послідовно $C=C_0/n$.

• Змішане з'єднання розв'язуй поетапно: знаходь еквівалентні ємності груп, потім «розгортай» схему для зарядів і напруг.

• Формули для конденсаторів протилежні до формул для резисторів: не плутай їх!