Вектори на площині: координати, модуль і дії

У планіметрії тобі вже знайоме поняття відрізка — частини прямої між двома точками. Вектор — це теж відрізок, але з однією важливою відмінністю: він має напрям. Вектор — це напрямлений відрізок. Його позначають двома великими літерами: AB, де A — початок, B — кінець, або однією малою літерою, наприклад a. Стрілка над позначенням (або риска) показує, що це вектор, а не просто відрізок.

Що таке вектор?

Вектор характеризують дві величини:

• довжина (модуль) — відстань між початком і кінцем;

• напрям — який показує, куди «вказує» стрілка.

Якщо початок і кінець збігаються, отримуємо нульовий вектор. Його довжина дорівнює нулю, а напрям не визначений. Нульовий вектор позначають 0 або AA.

Координати вектора

Нехай на координатній площині задано точки A(x₁; y₁) і B(x₂; y₂). Тоді координати вектора AB знаходять так:

$$AB(x_2-x_1;y_2-y_1)$$

Інакше кажучи: «від координат кінця віднімаємо координати початку». Запам'ятай саме цей порядок — він критичний.

Розгляньмо приклад. A(2; −1), B(5; 3). Тоді:

$$AB(5-2;3-(-1))=(3;4)$$

А вектор BA (початок B, кінець A):

$$BA(2-5;-1-3)=(-3;-4)$$

Зверни увагу: BA — це протилежний вектор до AB. Їхні координати відрізняються знаком.

Модуль (довжина) вектора

Модуль вектора a(x; y) позначають |a| або |AB| і обчислюють за формулою:

$$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$$

Для вектора AB(3; 4) з попереднього прикладу:

$$|AB|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Це і є довжина відрізка AB. Як бачиш, модуль вектора — це звичайна відстань між двома точками, яку ти вже вмієш знаходити.

Знаходимо кінець або початок за координатами вектора

Трапляються задачі, у яких відомі координати вектора й однієї точки, а другу точку треба знайти. Тут працює той самий принцип «кінець мінус початок», тільки в зворотному напрямку.

Якщо відомі початок A(x_A; y_A) і вектор AB(dx; dy), то координати кінця B знаходять додаванням:

$$B(x_A+dx;y_A+dy)$$

Приклад: A(−1; 4), AB(3; −2) ⇒ B(−1 + 3; 4 − 2) = B(2; 2).

Якщо відомий кінець B(x_B; y_B) і вектор AB(dx; dy), то початок A знаходять відніманням:

$$A(x_B-dx;y_B-dy)$$

Приклад: B(2; 2), AB(3; −2) ⇒ A(2 − 3; 2 + 2) = A(−1; 4). Перевір: ці самі числа, що й у попередньому прикладі, — усе збіглося.

Увага: коли знаходиш початок, не забудь змінити знак: від координат кінця віднімаєш координати вектора.

Рівні вектори

Два вектори називають рівними, якщо вони однаково напрямлені й мають рівні довжини (модулі). У координатах це означає, що їхні відповідні координати збігаються: a(x; y) і b(x; y) — рівні. А ненульові вектори співнапрямлені тоді й лише тоді, коли b = k · a для деякого k > 0, тобто їхні координати пропорційні з додатним коефіцієнтом.

Важливий геометричний приклад: у паралелограмі ABCD вектори AB і DC рівні, а також AD і BC. Це випливає з властивостей паралелограма: протилежні сторони паралельні та рівні за довжиною. Отже, якщо знаєш координати точок A, B, C, D, то має виконуватися AB = DC (як векторна рівність).

Протилежні вектори

Вектори називають протилежними, якщо вони мають рівні модулі, але протилежні напрями. Позначення: −a — вектор, протилежний до a. Сума протилежних векторів дорівнює нульовому вектору: a + (−a) = 0.

У координатах протилежні вектори мають протилежні за знаком координати. Наприклад: a(3; −5), тоді −a(−3; 5). Зверни увагу: змінюється знак кожної координати.

Як ми вже бачили, AB і BA — протилежні вектори. Якщо A(2; −1), B(5; 3), то AB(3; 4), а BA(−3; −4).

Колінеарні вектори

Вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називають колінеарними. Вони можуть бути співнапрямленими (однаковий напрям) або протилежно напрямленими. Важливо: нульовий вектор колінеарний будь-якому вектору.

Колінеарність означає, що один вектор можна отримати з іншого множенням на деяке число: b = k · a. Якщо k > 0, вектори співнапрямлені; якщо k < 0, вони протилежно напрямлені.

Умова колінеарності в координатах (профільний рівень)

Для програмного рівня НМТ достатньо розуміти, що колінеарні вектори мають пропорційні координати: якщо a(x₁; y₁) і b(x₂; y₂) колінеарні, то x₁/x₂ = y₁/y₂ (за умови, що жодна з координат не дорівнює нулю).

Розгляньмо приклади:

• a(2; −3) і b(−6; 9): −6 = 3 · (−2), 9 = 3 · 3, отже b = −3a, вектори колінеарні.

• a(2; 4) і b(3; m): умова колінеарності 2/3 = 4/m ⇒ 2m = 12 ⇒ m = 6.

• a(2; 3) і b(3; 2): 2/3 = 3/2 — нерівність, тому вектори не колінеарні.

Запам'ятай: переставлені координати (x; y) і (y; x) майже ніколи не дають колінеарності, хіба що x = y або x = −y.

Тепер, коли ти знаєш, що таке вектор і його координати, розгляньмо, які дії з векторами можна виконувати. Їх можна додавати, віднімати й множити на число — як геометрично (за малюнком), так і в координатах.

Додавання векторів

Правило трикутника

Нехай дано вектори AB і BC. Їхньою сумою є вектор AC, який з'єднує початок першого вектора з кінцем другого:

$$AB+BC=AC$$

Геометрично це означає, що ти «прикладаєш» початок другого вектора до кінця першого, і сума — це вектор від початку першого до кінця другого. Це правило називають правилом трикутника, тому що три точки A, B, C утворюють трикутник.

Правило паралелограма

Якщо вектори мають спільний початок, їх додають за правилом паралелограма: на векторах добудовують паралелограм, і сума — це діагональ цього паралелограма, яка виходить зі спільного початку. Для векторів AB і AD з спільним початком A:

$$AB+AD=AC$$

де C — протилежна вершина паралелограма.

Віднімання векторів

Віднімання векторів — це додавання протилежного вектора: $$a-b=a+(-b)$$

Геометрично, AB − AC = CB (від початку A треба провести вектор до C, а потім — від C до B, що дає вектор CB).

Діагоналі паралелограма через сторони

У паралелограмі ABCD діагоналі виражаються через вектори-сторони так:

• $$AC=AB+AD$$ — діагональ — сума сторін;

• $$BD=AD-AB$$ — друга діагональ — різниця сторін (залежно від напряму).

Множення вектора на число

Добуток вектора a на число k дає новий вектор b = k · a. Напрям вектора змінюється в залежності від знака числа k:

• якщо k > 0, напрям той самий;

• якщо k < 0, напрям змінюється на протилежний;

• якщо k = 0, отримуємо нульовий вектор.

Модуль при цьому змінюється в |k| разів: $$|k\cdot a|=|k|\cdot |a|$$

Дії в координатах

Усі перелічені дії дуже просто виконуються в координатах:

• $$a(x_1;y_1)\pm b(x_2;y_2)=(x_1\pm x_2;y_1\pm y_2)$$

• $$k\cdot a(x;y)=(kx;ky)$$

• $$|k\cdot a|=|k|\cdot |a|$$ — множник можна винести за знак модуля

Розгляньмо приклад: a(2; 1), b(1; −2). Знайдемо 2a − b.

Спершу обчислимо 2a: 2 · (2; 1) = (4; 2).

Потім віднімемо b: (4 − 1; 2 − (−2)) = (3; 4).

Модуль отриманого вектора: $$|2a-b|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$$

Не плутай: $$|2a-b|\ne 2|a|-|b|$$. Тут 2|a| − |b| = 2√5 − √5 = √5 ≈ 2,24, що не дорівнює 5.

Нерівність трикутника

У загальному випадку модуль суми не дорівнює сумі модулів. Справджується нерівність трикутника:

$$|a+b|\le |a|+|b|$$

Рівність досягається тільки для співнапрямлених векторів. Якщо вектори протилежно напрямлені, |a + b| = ||a| − |b||.

Приклад 1. Координати вектора за двома точками

Умова: Дано точки A(3; −2) і B(−1; 1). Знайди координати вектора AB.

Розв'язання: За означенням, координати вектора AB знаходять як різницю координат кінця B і початку A:

$$AB(x_B-x_A;y_B-y_A)=(-1-3;1-(-2))=(-4;3)$$

Відповідь: (−4; 3).

Чому інші варіанти неправильні:

• (4; −3) — помилка «початок мінус кінець»: від координат A відняли координати B.

• (2; −1) — додали координати замість віднімання: A + B.

• (1; −0,5) — знайшли середину відрізка AB.

• (−4; −1) — правильно знайшли x, але помилилися в y: треба 1 − (−2) = 3, а не 1 − 2 = −1.

Приклад 2. Модуль лінійної комбінації векторів

Умова: Дано вектори a(2; 1), b(1; −2). Знайди |2a − b|.

Розв'язання: Спершу виконай дії з векторами в координатах, а модуль знаходь в останню чергу.

1) 2a = 2 · (2; 1) = (4; 2)

2) 2a − b = (4 − 1; 2 − (−2)) = (3; 4)

3) |2a − b| = $$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Відповідь: 5 (у бланку — 5).

Типова пастка: дехто рахує 2|a| − |b| = 2√5 − √5 = √5 ≈ 2,24. Але це неправильно: модуль лінійної комбінації не дорівнює тій самій комбінації модулів.

Приклад 3. Сума векторів у паралелограмі

Умова: ABCD — паралелограм. Якому вектору дорівнює AB + AD?

Розв'язання: За правилом паралелограма, сума двох векторів, що виходять зі спільного початку, дорівнює діагоналі паралелограма, побудованого на цих векторах. Вектори AB і AD виходять з вершини A, тому їхня сума — це діагональ AC.

Відповідь: AC.

Чому не BD? BD = AD − AB (різниця, а не сума). Чому не DB? DB = −BD = AB − AD. Чому не CA? CA = −AC, а нам потрібен напрям від A до C.

Приклад 4. Колінеарність векторів

Умова: Який із запропонованих векторів колінеарний вектору a(−2; 3): (4; −6), (3; −2), (2; 3), (−2; −3), (6; 4)?

Розв'язання: Перевіряємо пропорційність координат. Для вектора (4; −6): 4/(−2) = −2, −6/3 = −2. Коефіцієнт однаковий: k = −2, тому (4; −6) = −2 · a(−2; 3) — колінеарні.

Відповідь: (4; −6).

Чому інші неправильні:

• (3; −2) — переставлені координати, відношення 3/(−2) = −1,5 і −2/3 ≈ −0,67 різні.

• (2; 3) — змінено знак лише x, пропорція не збігається: 2/(−2) = −1, а 3/3 = 1.

• (−2; −3) — змінено знак лише y, пропорції знову різні.

• (6; 4) — помножено на −3 тільки x, а y мав би стати −9, а не 4.

Приклад 5. Знаходження кінця вектора

Умова: Вектор AB(5; −12), точка A(−2; 7). Знайди суму координат точки B.

Розв'язання: Координати кінця B знаходимо додаванням координат початку A та вектора AB:

B(x_A + dx; y_A + dy) = (−2 + 5; 7 + (−12)) = (3; −5)

Сума координат: 3 + (−5) = −2.

Відповідь: −2.

Типова пастка: дехто віднімає координати вектора від координат A: (−2 − 5; 7 − (−12)) = (−7; 19), сума 12. Але це дало б координати не B, а якоїсь іншої точки.

• Віднімають координати кінця від координат початку. Правильно: від координат кінця (B) віднімаємо координати початку (A): AB = (x_B − x_A; y_B − y_A). Запам'ятай фразу: «кінець мінус початок».

• Вважають модуль суми сумою модулів. Наприклад, рахують |2a − b| як 2|a| − |b|. Але насправді спершу треба виконати всі дії з векторами в координатах і тільки після цього знаходити модуль.

• Множать на число лише одну координату вектора. Правило: k · a(x; y) = (kx; ky) — множимо обидві координати.

• Вважають колінеарними вектори з переставленими координатами. Наприклад, (2; 3) і (3; 2) не колінеарні, бо 2/3 ≠ 3/2.

• Плутають вектори AB і BA та неправильно застосовують правило трикутника: AB + CB ≠ AC. Пам'ятай: додавати можна тільки за правилом трикутника, коли кінець першого збігається з початком другого.

• Підносять від'ємну координату до квадрата зі знаком: (−3)² = −9 замість 9. Квадрат будь-якого числа — невід'ємний.

Тема «Координати та вектори на площині» (розділ «Планіметрія») програми НМТ з математики: «поняття вектора, нульового вектора, модуля вектора; колінеарні вектори, протилежні вектори, рівні вектори; координати вектора; додавання і віднімання векторів, множення вектора на число». Умови колінеарності в координатах і розклад вектора за двома неколінеарними векторами належать до профільного рівня (позначка «П» у програмі).

У довідкових матеріалах, які ти отримаєш на НМТ, формули координат і довжини вектора подано для простору (три координати: x, y, z). На площині ти просто відкидаєш третю координату z — усі дії ті самі. Наприклад, формула модуля для простору: |a| = √(x² + y² + z²); на площині залишається |a| = √(x² + y²).

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 8 (1 бал, вибір однієї відповіді з п'яти) перевіряло вміння знаходити координати вектора в просторі (тема 6.3). Дії з векторами в просторі ті самі, що й на площині, тільки додається третя координата. Програма НМТ вимагає вміти використовувати аналогію «площина ↔ простір».

Завдання 19–22 — це завдання з короткою відповіддю, 0 або 2 бали без часткових балів. Відповідь записується лише десятковим дробом, зі знаком «мінус» перед першою цифрою, якщо число від'ємне. У цих завданнях можуть питати модуль вектора або суму координат.

Стратегія виконання:

• Записуй координати векторів стовпчиком — це зменшує ризик помилки.

• Спершу виконуй усі дії з векторами в координатах (додавання, множення на число), а модуль знаходь в останню чергу.

• Для завдань на колінеарність перевіряй пропорційність обох координат.

• У завданнях на паралелограм завжди з'ясовуй, яка вершина спільна для векторів-сторін.

• Координати вектора AB: AB = (x_B − x_A; y_B − y_A). Модуль вектора: |a| = √(x² + y²) — це довжина відрізка.

• Усі дії з векторами в координатах — покоординатні: додавання, віднімання, множення на число виконуються з кожною координатою окремо.

• Правило трикутника: AB + BC = AC (кінець першого збігається з початком другого). Правило паралелограма: AB + AD = AC (спільний початок, сума — діагональ).

• Рівні вектори мають рівні координати; протилежні — протилежні за знаком; колінеарні — пропорційні.

• |k · a| = |k| · |a|, але |a + b| ≠ |a| + |b| у загальному випадку — спершу виконуй дії, потім бери модуль.