Типові завдання НМТ: молекулярна фізика і термодинаміка

Молекулярно-кінетична теорія (МКТ) пояснює теплові явища через рух і взаємодію молекул. Основна величина, яка пов'язує мікросвіт молекул із макропараметрами газу, — це абсолютна температура. Вимірюють її в кельвінах (К), а перехід від градусів Цельсія простий: T = t + 273. Наприклад, 27 °C — це 300 К, а 327 °C — це 600 К.

Середня кінетична енергія поступального руху однієї молекули ідеального газу прямо пропорційна абсолютній температурі:

$$\bar{E}=\frac{3}{2}kT$$

де k = 1,38·10⁻²³ Дж/К — стала Больцмана. Звідси випливає: якщо абсолютну температуру газу збільшити вдвічі (наприклад, з 300 К до 600 К), середня кінетична енергія молекул теж збільшиться вдвічі. Це прямий наслідок лінійної залежності E(T).

Тиск ідеального газу пов'язаний із концентрацією молекул n і температурою: p = nkT. Це наслідок основного рівняння МКТ p = (2/3)nĒ і формули Ē = (3/2)kT. Концентрація n = N/V — кількість молекул в одиниці об'єму.

Рівняння стану ідеального газу

Для довільної маси газу використовують рівняння Клапейрона–Менделєєва:

$$pV=\nu RT$$

Тут ν — кількість речовини (моль), R = 8,31 Дж/(моль·К) — універсальна газова стала. Об'єм завжди беруть у кубічних метрах (м³), тиск — у паскалях (Па). Якщо маса газу не змінюється, то для двох станів справедливий об'єднаний газовий закон:

$$\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}$$

ВАЖЛИВО: температуру в усі газові закони підставляють ТІЛЬКИ в кельвінах. Помилка з °C коштує бала на НМТ.

Ізопроцеси

Ізопроцеси — це зміни стану газу, під час яких один із макропараметрів залишається сталим. Їх три:

На НМТ можуть дати графік ізопроцесу в координатах p–V, V–T або p–T. Треба впізнати, який саме параметр не змінюється. Наприклад, якщо на графіку p(V) зображено гіперболу — це ізотерма (T = const).

Перший закон термодинаміки — це закон збереження енергії для теплових процесів. Він стверджує: кількість теплоти Q, передана системі, йде на збільшення її внутрішньої енергії ΔU та на виконання системою роботи A проти зовнішніх сил:

$$Q=\Delta U+A$$

Для одноатомного ідеального газу внутрішня енергія залежить тільки від температури:

$$U=\frac{3}{2}\nu RT$$

Тому зміна внутрішньої енергії: ΔU = (3/2)νRΔT. Робота газу при ізобарному розширенні обчислюється просто: A = pΔV. У загальному випадку робота дорівнює площі під графіком p(V) на діаграмі процесу.

ККД теплового двигуна

Тепловий двигун отримує від нагрівача кількість теплоти Q₁, частину перетворює на роботу A, а решту Q₂ віддає холодильнику. Коефіцієнт корисної дії (ККД) — це відношення корисної роботи до отриманої теплоти:

$$\eta =\frac{A}{Q_1}=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}$$

Максимально можливий ККД має ідеальна теплова машина, що працює за циклом Карно. Її ККД залежить тільки від абсолютних температур нагрівача T₁ і холодильника T₂:

$${\eta }_{\max }=\frac{T_1-T_2}{T_1}$$

Приклад: нагрівач має температуру 500 К, холодильник — 300 К. Тоді η_max = (500 − 300)/500 = 200/500 = 0,4 = 40 %. Зверни увагу: температури обов'язково в кельвінах. Якщо підставити 227 °C і 27 °C, то (227 − 27)/227 ≈ 0,88 — це неправильно, бо 227 °C = 500 К, а 27 °C = 300 К.

Необоротність теплових процесів

У природі теплота самочинно переходить тільки від гарячого тіла до холодного, а не навпаки. Це формулювання другого закону термодинаміки. Тому жоден тепловий двигун не може перетворити на роботу всю отриману теплоту — частина неминуче віддається холодильнику. ККД завжди менший за 100 %, і чим більша різниця температур між нагрівачем і холодильником, тим вищий ККД.

Фазові переходи — це перетворення речовини з одного агрегатного стану в інший. Кожен такий перехід супроводжується поглинанням або виділенням теплоти без зміни температури. Основні формули для розрахунку кількості теплоти:

Рівняння теплового балансу

Якщо тіла обмінюються теплотою в теплоізольованій системі, то виконується рівняння теплового балансу: Q_віддане = Q_отримане. Тепло віддають гарячіші тіла, а отримують — холодніші. Для змішування двох порцій однієї рідини з однаковою питомою теплоємністю кінцеву температуру знаходять за формулою:

$$t=\frac{m_1{t}_1+m_2{t}_2}{m_1+m_2}$$

Приклад: змішали 2 кг води при 80 °C і 3 кг води при 20 °C. Кінцева температура: t = (2·80 + 3·20)/(2 + 3) = (160 + 60)/5 = 220/5 = 44 °C.

Графік нагрівання

На графіку залежності температури t від часу τ похилі ділянки відповідають нагріванню речовини в одному агрегатному стані. Горизонтальні ділянки — це фазові переходи: плавлення або кипіння. Довжина горизонтальної ділянки пропорційна кількості теплоти, потрібної для переходу: для плавлення Q = λm, для кипіння Q = rm.

Відносна вологість повітря

Відносна вологість φ показує, наскільки водяна пара в повітрі близька до насичення. Її обчислюють як відношення парціального тиску пари p до тиску насиченої пари p_нас за тієї ж температури:

$$\phi =\frac{p}{p_{\text{нас}}}\cdot 100\%=\frac{\rho }{{\rho }_{\text{нас}}}\cdot 100\%$$

На НМТ відносну вологість можуть дати через психрометричну таблицю. У завданні наведено покази сухого термометра (температура повітря) і вологого термометра (його резервуар обгорнутий вологою тканиною). Різниця показів дає змогу за таблицею знайти відносну вологість. Саму таблицю завжди друкують в умові завдання.

Приклад 1. Зв'язок температури й кінетичної енергії

Завдання (вибір однієї відповіді). Як зміниться середня кінетична енергія поступального руху молекул ідеального газу, якщо його абсолютну температуру збільшити з 300 К до 600 К?

Розв'язання. Середня кінетична енергія молекул E = (3/2)kT. Вона прямо пропорційна абсолютній температурі T. Якщо T зросла вдвічі (300 → 600 К), то E теж зростає вдвічі.

Відповідь: збільшиться вдвічі.

Чому інші варіанти неправильні:

• «збільшиться вчетверо» — помилка: залежність лінійна, а не квадратична;

• «залишиться незмінною» — суперечить формулі E ∝ T;

• «зросте на 300 %» — зростання вдвічі це +100 %, а не +300 %.

Приклад 2. Тепловий баланс при змішуванні

Завдання (коротка відповідь). Змішали 2 кг води при 80 °C і 3 кг води при 20 °C. Визначте кінцеву температуру суміші в градусах Цельсія. Теплоємністю посудини й втратами теплоти знехтуйте.

Розв'язання. Питома теплоємність води однакова для обох порцій, тому кінцеву температуру знаходимо за формулою t = (m₁t₁ + m₂t₂)/(m₁ + m₂). Підставляємо: t = (2·80 + 3·20)/(2 + 3) = (160 + 60)/5 = 220/5 = 44 °C.

Відповідь: 44.

Приклад 3. Відповідність: ізопроцеси

Завдання (логічні пари). Установіть відповідність між назвою ізопроцесу (1–3) та умовою сталості параметра (А–Д).

1 — ізохорний; 2 — ізобарний; 3 — ізотермічний.

А — p = const; Б — V = const; В — T = const; Г — ν = const; Д — R = const.

Розв'язання. Ізохорний — об'єм сталий (V = const), отже 1 → Б. Ізобарний — тиск сталий (p = const), отже 2 → А. Ізотермічний — температура стала (T = const), отже 3 → В. Варіанти Г і Д — зайві.

Відповідь: 1 → Б, 2 → А, 3 → В.

Приклад 4. Максимальний ККД теплового двигуна

Завдання (коротка відповідь). Температура нагрівача ідеальної теплової машини 500 К, температура холодильника 300 К. Визначте максимальний ККД машини у відсотках.

Розв'язання. Максимальний ККД (цикл Карно): η_max = (T₁ − T₂)/T₁ = (500 − 300)/500 = 200/500 = 0,4 = 40 %.

Відповідь: 40.

Приклад 5. Відносна вологість повітря

Завдання (коротка відповідь). Парціальний тиск водяної пари в повітрі становить 1,2 кПа. Тиск насиченої пари за тієї самої температури дорівнює 2,4 кПа. Визначте відносну вологість повітря у відсотках.

Розв'язання. Відносна вологість φ = (p/p_нас)·100 % = (1,2/2,4)·100 % = 0,5·100 % = 50 %.

Відповідь: 50.

• Підставляти температуру в °C у рівняння Менделєєва–Клапейрона. Усі газові закони вимагають абсолютної температури в кельвінах. Завжди перевіряй: T = t + 273. Якщо в умові дано 27 °C, то в рівняння йде 300 К.

• Плутати ΔT у °C і в K. Різниця температур ΔT чисельно однакова в градусах Цельсія й кельвінах: зміна на 10 °C дорівнює зміні на 10 К. Але абсолютне значення T — різне: 20 °C = 293 К, а не 20 К.

• Забувати, що під час плавлення й кипіння температура не змінюється. Уся теплота йде на руйнування кристалічної ґратки (плавлення) або на подолання сил міжмолекулярної взаємодії (пароутворення), а не на підвищення температури.

• Плутати позначення Q для отриманої й відданої теплоти. У рівнянні теплового балансу Q_віддане = Q_отримане. Гаряче тіло віддає теплоту, холодне — отримує. Не пиши Q_1 + Q_2 = 0 без знаків — краще запиши окремо, хто віддає, хто отримує.

• Брати максимальний ККД з температурами в °C. Формула η_max = (T₁ − T₂)/T₁ працює тільки з кельвінами. Якщо підставити 500 °C і 100 °C, отримаєш (500 − 100)/500 = 0,8 = 80 %, хоча правильна відповідь зовсім інша (773 К і 373 К дають η ≈ 52 %).

• Плутати λ (питома теплота плавлення) і r (питома теплота пароутворення), а також питому теплоємність c із питомою теплотою. λ і r мають одиницю Дж/кг, а c — Дж/(кг·К). У формулах: Q = cmΔT — нагрівання, Q = λm — плавлення, Q = rm — пароутворення.

У демоваріанті НМТ 2026 року з молекулярної фізики й термодинаміки є п'ять завдань загальною вартістю 8 балів:

Довідкові матеріали, які надають на НМТ, містять формули: E = (3/2)kT, pV = νRT, перший закон термодинаміки Q = ΔU + A, ККД η = A/Q₁, Q = λm, Q = rm, рівняння теплового балансу. Однак значень питомої теплоємності c, питомої теплоти плавлення λ, пароутворення r і таблиць речовин у довідці немає — їх завжди дають в умові завдання. Психрометричну таблицю також друкують у самому завданні, а не в довідці.

Стратегія виконання

• Температуру й тиск завжди переводь у кельвіни й паскалі перед підстановкою в газові закони. 1 кПа = 1000 Па, 1 л = 0,001 м³.

• Для теплового балансу випиши всі процеси в порядку температур: спочатку охолодження гарячого тіла, потім нагрівання холодного, потім можливі фазові переходи.

• У завданнях на відповідність спочатку визнач, які три параметри з п'яти є правильними, а два — зайві. Це зменшує ризик випадкової помилки.

• Якщо завдання здається складним, почни з перевірки одиниць вимірювання — часто помилка криється саме там.

• E = (3/2)kT — середня кінетична енергія молекул пропорційна абсолютній температурі.

• T = t + 273 — переведення градусів Цельсія в кельвіни.

• pV = νRT — рівняння Клапейрона–Менделєєва; T тільки в кельвінах, V у м³, p у Па.

• Ізопроцеси: ізохорний (V = const, p/T = const), ізобарний (p = const, V/T = const), ізотермічний (T = const, pV = const).

• Q = ΔU + A — перший закон термодинаміки.

• η_max = (T₁ − T₂)/T₁ — максимальний ККД теплового двигуна (цикл Карно).

• Q_віддане = Q_отримане — рівняння теплового балансу.

• Під час плавлення й кипіння температура залишається сталою.

• φ = p/p_нас · 100 % — відносна вологість повітря.