Типові завдання НМТ: квантова фізика

Цей розділ охоплює дві фундаментальні теми сучасної фізики, які об'єднані в програмі НМТ: квантові властивості світла (фотоефект) і спеціальну теорію відносності. Тут зібрано всі формули, які знадобляться на тестуванні.

Енергія та імпульс фотона

Світло поводиться як потік частинок — фотонів. Енергія одного фотона прямо пропорційна частоті випромінювання й обернено пропорційна довжині хвилі:

$$E=h\nu =\frac{hc}{\lambda }$$

де h = $6,63\cdot 10^{-34}$ Дж·с — стала Планка, c — швидкість світла, λ — довжина хвилі. Імпульс фотона:

$$p=\frac{h}{\lambda }$$

Зверни увагу: фотон не має маси спокою, тому його імпульс визначають через довжину хвилі, а не через масу й швидкість.

Рівняння Ейнштейна для фотоефекту

Фотоефект — виривання електронів із речовини під дією світла. Енергія падаючого фотона витрачається на роботу виходу електрона з металу й надання йому кінетичної енергії:

$$h\nu =A_{\text{вих}}+E_{\text{к}}$$

Тут Aвих — робота виходу (мінімальна енергія, потрібна для виривання), Eк — максимальна кінетична енергія фотоелектрона. Звідси випливають два важливі наслідки.

Червона межа фотоефекту — найбільша довжина хвилі (найменша частота), за якої фотоефект ще можливий. У цьому граничному випадку Eк = 0:

$${\lambda }_{\max }=\frac{hc}{A_{\text{вих}}}$$

Якщо між катодом і анодом прикласти затримувальну напругу Uз, то електричне поле гальмує фотоелектрони. Коли напруга достатня, щоб зупинити найшвидші електрони:

$$e{U}_{\text{з}}=E_{\text{к}}$$

де e = $1,6\cdot 10^{-19}$ Кл — елементарний заряд.

Зручне співвідношення: hc ≈ 1240 еВ·нм. Якщо довжина хвилі задана в нанометрах, а стали h, c не дано в умові, можеш використовувати це наближення.

Елементи спеціальної теорії відносності

Теорія відносності Ейнштейна пов'язує масу й енергію. Енергія спокою тіла:

$$E_0=m{c}^2$$

Будь-яка зміна маси супроводжується зміною енергії:

$$\Delta E=\Delta m\cdot c^2$$

Повна енергія тіла, що рухається зі швидкістю v:

$$E=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Релятивістське додавання швидкостей: якщо тіло рухається зі швидкістю v₂ відносно системи відліку, яка сама рухається в тому самому напрямку зі швидкістю v₁ відносно нерухомої системи, то швидкість тіла відносно нерухомої системи:

$$v=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1{v}_2}{c^2}}$$

Ця формула гарантує, що результат додавання ніколи не перевищує c. Класичне додавання v = v₁ + v₂ працює лише для швидкостей, набагато менших від швидкості світла.

Переведення одиниць

На НМТ часто доводиться переходити від одних одиниць до інших. Запам'ятай:

• 1 еВ = $1,6\cdot 10^{-19}$ Дж — переведення електронвольтів у джоулі.

• 1 нм = 10⁻⁹ м — щоб перевести довжину хвилі з нанометрів у метри, помнож на 10⁻⁹.

• 1 а. о. м. ≈ 931,5 МеВ — переведення атомних одиниць мас у мегаелектронвольти.

• Сталі h, c, e, а також маси частинок і значення 1 а. о. м. в кілограмах наводять в умові задачі — запам'ятовувати їх не потрібно.

Приклад

Енергія фотона, що падає на метал, дорівнює 6 еВ, а робота виходу електрона з цього металу — 4 еВ. Знайди максимальну кінетичну енергію фотоелектрона та затримувальну напругу.

Розв'язання. За рівнянням Ейнштейна: Eк = hν − Aвих = 6 − 4 = 2 еВ. Затримувальна напруга: Uз = Eк / e = 2 еВ / e = 2 В.

У цьому розділі розглянемо, як влаштований атом згідно з моделлю Бора, з чого складається атомне ядро і як записувати ядерні реакції. Ці теми входять до програми НМТ.

Другий постулат Бора

За другим постулатом Бора, атом випромінює або поглинає фотон під час переходу електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу. Енергія фотона дорівнює різниці енергій цих рівнів:

$$h\nu =E_k-E_n$$

де Eₖ — енергія вищого рівня, Eₙ — енергія нижчого рівня. Якщо електрон переходить з нижчого рівня на вищий, атом поглинає фотон; якщо з вищого на нижчий — випромінює.

Кількість можливих спектральних ліній, які може випромінити атом, що має n енергетичних рівнів, обчислюють за формулою:

$$\frac{n(n-1)}{2}$$

Наприклад, для трьох рівнів (n = 3) можливі 3 лінії: переходи 3 → 2, 3 → 1 та 2 → 1.

Склад атомного ядра

Ядро атома позначають символом ᴬ_Z X, де X — хімічний елемент, A — масове число (загальна кількість нуклонів), Z — зарядове число (кількість протонів).

Кількість протонів у ядрі дорівнює Z. Кількість нейтронів N = A − Z. Заряд ядра дорівнює Ze, де e — елементарний заряд.

Ізотопи — це атоми одного хімічного елемента (однакове Z), які мають різну кількість нейтронів (різне A). Наприклад, уран-235 і уран-238 — ізотопи, обидва мають Z = 92, але різну кількість нейтронів.

Ядерні реакції та закони збереження

Під час будь-якої ядерної реакції виконуються закони збереження зарядового та масового чисел: сума A ліворуч дорівнює сумі A праворуч, сума Z ліворуч дорівнює сумі Z праворуч.

Основні типи радіоактивних розпадів:

Зверни увагу: під час β⁻-розпаду масове число A не змінюється — нейтрон перетворюється на протон, електрон і антинейтрино. Зарядове число зростає на 1.

Приклад: ланцюжок розпадів торію

Розглянемо перетворення торію-232 (Z = 90) на свинець-208 (Z = 82). Зміна масового числа: 232 − 208 = 24. Кожен α-розпад зменшує A на 4, тому кількість α-розпадів:

$$N_{\alpha }=\frac{232-208}{4}=6$$

Шість α-розпадів зменшили б Z на 12 (6 · 2 = 12), тобто Z став би 90 − 12 = 78. Але кінцеве Z = 82, тобто Z збільшився на 4. Кожен β⁻-розпад збільшує Z на 1, тому:

$$N_{\beta }=82-90+12=4$$

Отже, у ланцюжку відбулося 6 α-розпадів і 4 β⁻-розпади.

Цей розділ присвячено енергії, яка утримує нуклони в ядрі, та закону, за яким ядра розпадаються з часом. Обидві теми входять до програми НМТ, а закон розпаду є в розрахунковому завданні демоваріанта 2026.

Дефект мас та енергія зв'язку ядра

Маса ядра завжди менша за суму мас окремих нуклонів, що його складають. Ця різниця називається дефектом мас:

$$\Delta m=Z\cdot m_p+N\cdot m_n-M_{\text{я}}$$

де Z — кількість протонів, mₚ — маса протона, N — кількість нейтронів, mₙ — маса нейтрона, Mя — маса ядра.

Енергія зв'язку ядра — це мінімальна енергія, яку потрібно затратити, щоб розділити ядро на окремі нуклони. Її обчислюють за формулою Ейнштейна:

$$E_{\text{зв}}=\Delta m\cdot c^2$$

На НМТ зручно користуватися співвідношенням: 1 а. о. м. ≈ 931,5 МеВ. Тобто, якщо дефект мас виражено в атомних одиницях маси, то енергія зв'язку в МеВ дорівнює Δm · 931,5.

Питома енергія зв'язку — це енергія зв'язку, що припадає на один нуклон:

$$\frac{E_{\text{зв}}}{A}$$

Чим більша питома енергія зв'язку, тим стійкіше ядро. Найстійкіші ядра — у заліза й нікелю.

Приклад: якщо дефект мас ядра становить 0,03 а. о. м., то енергія зв'язку: Eзв ≈ 0,03 · 931,5 ≈ 27,9 МеВ.

Закон радіоактивного розпаду

Радіоактивні ядра розпадаються випадково, але для великої кількості ядер діє статистичний закон. Кількість ядер, що залишилися нерозпалими через час t, визначають за формулою:

$$N=N_0\cdot 2^{-t/T}$$

де N₀ — початкова кількість ядер, T — період піврозпаду (час, за який розпадається половина наявних ядер).

Через n періодів піврозпаду (n = t / T) залишається:

$$N=\frac{N_0}{2^n}$$

Наприклад, якщо минуло три періоди піврозпаду, то n = 3, і залишиться N₀ / 2³ = N₀ / 8, тобто 1/8 початкової кількості ядер. Решта 7/8 розпалися.

Поділ і синтез ядер

Енергія виділяється не лише під час розпаду, а й у ядерних реакціях поділу та синтезу. Енергетичний вихід реакції обчислюють як різницю мас до й після реакції:

$$\Delta E=(M_{\text{до}}-M_{\text{після}})\cdot c^2$$

Якщо маса продуктів реакції менша за масу вихідних речовин, енергія виділяється (ΔE > 0).

Ядерний реактор — пристрій, у якому відбувається керована ланцюгова реакція поділу важких ядер (зазвичай урану-235). Термоядерна реакція — синтез легких ядер (наприклад, перетворення водню на гелій) за надвисоких температур; цей процес відбувається в надрах зірок і в керованому синтезі поки що не реалізований у промислових масштабах.

У цьому розділі розберемо чотири типові завдання НМТ з квантової фізики — кожне у своєму форматі. Уважно простеж за логікою розв'язання й запиши собі ключові кроки.

Приклад 1. Енергія фотона (вибір однієї відповіді)

Завдання. У скільки разів енергія фотона з довжиною хвилі λ = 300 нм більша за енергію фотона з довжиною хвилі λ = 900 нм?

Розв'язання. Енергія фотона обернено пропорційна довжині хвилі: E = hc/λ. Отже, відношення енергій: E₁/E₂ = λ₂/λ₁ = 900 / 300 = 3.

Відповідь: у 3 рази.

Чому інші варіанти неправильні: «у 9 разів» — це квадрат відношення довжин хвиль, а не пряме відношення; «у √3 разу» — плутанина з оберненою квадратичною залежністю; «у 1/3 разу» — переплутано, яка довжина хвилі в чисельнику.

Приклад 2. Затримувальна напруга (коротка відповідь)

Завдання. Енергія фотона, що падає на метал, дорівнює 6 еВ, а робота виходу електрона з цього металу — 4 еВ. Визнач затримувальну напругу (у вольтах).

Розв'язання. За рівнянням Ейнштейна: hν = Aвих + Eк. Звідси Eк = hν − Aвих = 6 − 4 = 2 еВ. Затримувальна напруга Uз задовольняє умову eUз = Eк, тому Uз = Eк / e = 2 еВ / e = 2 В.

Відповідь: 2.

Типова помилка — залишити відповідь «2 еВ» замість «2 В» або переводити еВ у Джоулі, хоча цього не потрібно, коли робота виходу й енергія фотона задані в однакових одиницях.

Приклад 3. Ланцюжок радіоактивних розпадів (коротка відповідь)

Завдання. У ході радіоактивного розпаду ядро урану-238 (Z = 92) перетворюється на ядро свинцю-206 (Z = 82). Скільки α-розпадів відбулося в цьому ланцюжку?

Розв'язання. Зміна масового числа: 238 − 206 = 32. Кожен α-розпад зменшує A на 4, тому кількість α-розпадів: Nα = 32 / 4 = 8.

Відповідь: 8.

Додатково: визначимо кількість β⁻-розпадів. Вісім α-розпадів зменшили б Z на 16 (8 · 2 = 16), тобто Z став би 92 − 16 = 76. Кінцеве Z = 82, отже, Z збільшився на 6. Кожен β⁻-розпад збільшує Z на 1, тому Nβ = 6.

Приклад 4. Закон радіоактивного розпаду (коротка відповідь)

Завдання. Початкова кількість радіоактивних ядер дорівнює N₀. Яка частка від початкової кількості ядер залишиться нерозпалою через час, що дорівнює трьом періодам піврозпаду?

Розв'язання. За законом радіоактивного розпаду N = N₀ · 2^(−t/T). Оскільки t = 3T, то N = N₀ · 2^(−3) = N₀ / 8. Частка нерозпалих ядер: N / N₀ = 1/8 = 0,125.

Відповідь: 0,125.

Поширена помилка — дати відповідь «1/8» у вигляді дробу, але НМТ вимагає десяткового дробу 0,125. Також учні часто плутають, чи це частка тих, що розпалися (7/8), чи тих, що залишилися (1/8).

Нижче — типові пастки в задачах з квантової фізики. Прочитай уважно, щоб не втратити бали через неуважність.

• Плутати масове й зарядове числа під час запису ядерних реакцій. Запам'ятай: масове число A (верхній індекс) — це сумарна кількість нуклонів, а зарядове число Z (нижній індекс) — кількість протонів. У α-частинки A = 4, Z = 2, а не навпаки.

• Змішувати еВ і Дж або а. о. м. і кг. Якщо енергію фотона й роботу виходу задано в електронвольтах, не переводь їх у джоулі без потреби — напруга вийде у вольтах без додаткових обчислень. Коли дефект мас дано в а. о. м., множ відразу на 931,5, щоб отримати МеВ.

• Змінювати масове число під час β⁻-розпаду. Це найчастіша помилка: β⁻-розпад не змінює A, лише Z зростає на 1. Масове число змінюється тільки під час α-розпаду (A − 4).

• Вважати, що за два періоди піврозпаду розпадаються всі ядра. За один період розпадається половина, залишається 1/2. За два періоди — половина від половини, тобто 1/4, а розпалося 3/4. За три періоди — 1/8, розпалося 7/8. Повністю всі ядра ніколи не розпадуться, лише асимптотично наближаються до нуля.

• Плутати довжину хвилі падаючого світла з червоною межею. Червона межа λmax — це максимальна довжина хвилі, за якої фотоефект іще можливий. Якщо довжина хвилі падаючого світла більша за λmax, фотоефекту не буде. Не плутай ці дві величини в рівнянні Ейнштейна.

• Додавати швидкості класично, коли вони близькі до c. Класична формула v = v₁ + v₂ працює лише для швидкостей, набагато менших за швидкість світла. Якщо швидкості співмірні з c (наприклад, 0,6c і 0,8c), застосовуй релятивістську формулу додавання, інакше результат перевищить c, що неможливо.

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 завдання з квантової фізики та елементів теорії відносності представлені в трьох номерах.

Разом — три завдання й чотири бали. У демоваріанті 2026 тему 5.2 «Світлові кванти» (фотони, фотоефект, тиск світла) не представлено, але в реальному тесті вона може з'явитися.

Довідкові матеріали

Довідка містить такі формули:

• Релятивістська динаміка: E₀ = mc², E = mc²/√(1 − v²/c²), ΔE = Δm·c²

• Фотон: E = hν = hc/λ, p = h/λ

• Рівняння Ейнштейна для фотоефекту: hν = Aвих + Eк, eUз = Eк, λmax = hc/Aвих

• Другий постулат Бора: hν = Eₖ − Eₙ

• Енергія зв'язку: Eзв = Δm·c²

• Закон радіоактивного розпаду: N = N₀·2^(−t/T)

Сталі (c, h, e), маси частинок і значення 1 а. о. м. в кілограмах або МеВ дають в умові задачі. Таблиць мас у довідці немає — їх не потрібно знати напам'ять.

Стратегія виконання

• Формули й префікси — у довідці: не витрачай час на заучування, просто знайди потрібну формулу.

• Значення сталих — в умові: уважно прочитай, які числа дано, перш ніж підставляти.

• Словесні властивості й правила розпадів треба знати: закони збереження A і Z, відмінність α- і β⁻-розпаду, визначення червоної межі, поняття ізотопів.

• У завданнях на відповідність (логічні пари) зіставляй фізичну величину з її формулою або означенням.

Короткі відповіді на питання, які найчастіше виникають під час підготовки до НМТ з квантової фізики.

• E = hν; hν = Aвих + Eк; eUз = Eк — енергія фотона, рівняння Ейнштейна, затримувальна напруга.

• hν = Eₖ − Eₙ; n(n − 1)/2 ліній — другий постулат Бора, кількість спектральних ліній для n рівнів.

• A і Z зберігаються; α: A − 4, Z − 2; β⁻: Z + 1 — закони збереження в ядерних реакціях.

• Eзв = Δm·c²; 1 а. о. м. ≈ 931,5 МеВ — енергія зв'язку ядра через дефект мас.

• N = N₀·2^(−t/T) — закон радіоактивного розпаду; через n періодів залишається N₀/2ⁿ.

• E₀ = mc²; ΔE = Δm·c²; релятивістське додавання швидкостей v = (v₁ + v₂)/(1 + v₁v₂/c²).

• Переведення: 1 еВ = $1,6\cdot 10^{-19}$ Дж; hc ≈ 1240 еВ·нм для зручного обчислення.