Циліндр: осьовий переріз, площа поверхні й об’єм

Кожен із вас бачив консервну банку, склянку або трубу — це приклади циліндра. У стереометрії прямий круговий циліндр — це тіло, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін. Уявіть аркуш паперу, скручений у трубку, але з двома кругами-кришками зверху й знизу — це й є циліндр.

Основні елементи циліндра

Розглянемо головні частини циліндра:

• Основи — два рівні круги, що лежать у паралельних площинах.

• Вісь циліндра — пряма, що проходить через центри обох основ.

• Радіус основи R — радіус круга-основи.

• Висота H — відстань між площинами основ.

• Твірна — відрізок бічної поверхні, паралельний осі. У прямого кругового циліндра твірна дорівнює висоті H.

У прямому круговому циліндрі вісь перпендикулярна до основ. Саме з таким циліндром ви найчастіше зустрічаєтеся на НМТ.

Осьовий переріз циліндра

Якщо розрізати циліндр площиною, яка проходить через його вісь, утвориться прямокутник. Цей прямокутник називають осьовим перерізом. Його сторони:

• ширина дорівнює діаметру основи, тобто 2R;

• довжина дорівнює висоті H.

Діагональ осьового перерізу можна знайти за теоремою Піфагора:

$$d^2=(2R{)}^2+H^2=4R^2+H^2.$$

Якщо осьовий переріз — квадрат, то його ширина дорівнює довжині, тобто 2R = H. Це часто використовують у задачах.

Переріз, паралельний основі

Якщо провести площину, паралельну основі циліндра, у перерізі отримаємо круг, який дорівнює основі (той самий радіус R). Це важливо: такий переріз не залежить від того, на якій висоті його виконати.

Приклад обчислення радіуса з осьового перерізу

Дано: діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 10, висота циліндра дорівнює 6. Знайдіть радіус основи.

Розв'язання:

1. Запишіть формулу діагоналі: d² = 4R² + H².

2. Підставте відомі значення: 100 = 4R² + 36.

3. Звідси 4R² = 64, тому R² = 16.

4. Отже, R = 4.

Альтернативно: 2R = √(100 − 36) = √64 = 8, тому R = 4. Радіус дорівнює 4.

Поверхня циліндра складається з бічної поверхні та двох основ (кругів). У довідкових матеріалах НМТ дано формулу бічної поверхні, а повну потрібно скласти самостійно.

Розгортка бічної поверхні

Уявіть, що ви розрізали бічну поверхню циліндра вздовж твірної та розгорнули її на площині. Ви отримаєте прямокутник, у якого:

• одна сторона дорівнює довжині кола основи — 2πR;

• друга сторона дорівнює висоті циліндра — H.

Тому площа бічної поверхні (є в довідці):

$$S_{\text{бічна}}=2\pi RH.$$

Повна поверхня

До бічної поверхні додаємо площі двох основ (кожна основа — круг площею πR²):

$$S_{\text{повна}}=2\pi RH+2\pi R^2=2\pi R(R+H).$$

Цієї формули в довідці немає — запам'ятайте її або вмійте швидко вивести.

Числові приклади

Приклад 1. Радіус основи циліндра дорівнює 3, висота дорівнює 5.

• Бічна поверхня: Sбічна = 2π · 3 · 5 = 30π.

• Повна поверхня: Sповна = 30π + 2π · 9 = 30π + 18π = 48π.

Приклад 2. Діаметр основи циліндра дорівнює 10, висота дорівнює 3.

Обов'язково ділимо діаметр навпіл: R = 10 : 2 = 5. Тоді Sбічна = 2π · 5 · 3 = 30π. Якщо підставити діаметр замість радіуса, отримаєте вдвічі більше число — це типова помилка.

Практична задача: фарбування труби

Труба — це циліндр без торців. Якщо потрібно пофарбувати трубу, фарбують лише бічну поверхню, основи не додають.

Умова: труба має зовнішній діаметр 0,4 м і довжину 5 м. Знайдіть площу поверхні, яку потрібно пофарбувати.

Розв'язання:

1. Радіус: R = 0,4 : 2 = 0,2 м.

2. Висота дорівнює довжині труби: H = 5 м.

3. Площа бічної поверхні: S = 2π · 0,2 · 5 = 2π м².

4. Наближено: S ≈ 2 · 3,14 = 6,28 м².

Відповідь: 6,28 м² (або 2π м²).

Об'єм циліндра обчислюють за тією ж логікою, що й об'єм призми: площа основи, помножена на висоту. Оскільки основа — круг площею πR², отримуємо формулу, яка є в довідкових матеріалах НМТ:

$$V=\pi R^{2}H.$$

Прямі обчислення

Приклад 1. R = 3, H = 5. Об'єм: V = π · 9 · 5 = 45π.

Приклад 2. Осьовий переріз циліндра — квадрат зі стороною 6.

• Якщо осьовий переріз — квадрат, то 2R = H і сторона квадрата дорівнює і 2R, і H.

• Сторона дорівнює 6 → 2R = 6, отже R = 3; H = 6.

• Об'єм: V = π · 9 · 6 = 54π.

Практична задача: місткість бака в літрах

На НМТ можуть дати практичну задачу про циліндричний бак. Головна пастка — переведення кубічних метрів у літри.

Запам'ятайте:

• 1 м³ = 1000 л;

• 1 дм³ = 1 л.

Умова: циліндричний бак має радіус дна 0,5 м і висоту 1,2 м. Скільки літрів води він вміщує? π ≈ 3,14.

Розв'язання:

1. Об'єм у кубічних метрах: V = π · (0,5)² · 1,2 = π · 0,25 · 1,2 = 0,3π м³.

2. 0,3π ≈ 0,3 · 3,14 = 0,942 м³.

3. Переводимо в літри: 0,942 · 1000 = 942 л.

Відповідь: приблизно 942 літри.

Як змінюється об'єм циліндра

У задачах на НМТ можуть запитати, у скільки разів зміниться об'єм, якщо змінити розміри циліндра. Працюйте з формулою V = πR²H:

• Якщо радіус збільшити в k разів, а висоту не змінювати, об'єм зросте в k² разів (бо R входить у квадраті).

• Якщо висоту збільшити в k разів, а радіус не змінювати, об'єм зросте в k разів.

• Приклад: радіус збільшили вдвічі → об'єм зріс у 4 рази.

• Приклад: висоту збільшили вдвічі → об'єм зріс у 2 рази.

• Якщо рідину перелили з одного циліндра в інший з удвічі більшим радіусом, то рівень (висота) рідини знизиться в 4 рази.

Приклад 1. Осьовий переріз — квадрат

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Осьовий переріз циліндра — квадрат, площа якого дорівнює 36. Знайдіть об'єм циліндра.

Розв'язання:

1. Площа квадрата S = a² = 36 → сторона квадрата a = 6.

2. Оскільки осьовий переріз — квадрат, H = 2R = 6. Звідси R = 3, H = 6.

3. Об'єм: V = πR²H = π · 9 · 6 = 54π.

Правильна відповідь: 54π.

Чому інші варіанти неправильні:

• 216π — якщо за радіус узяти діаметр 6, то V = π · 36 · 6 = 216π.

• 108π — помилкова формула 2πR²H = 2π · 9 · 6 = 108π.

• 36π — це площа бічної поверхні 2πRH = 2π · 3 · 6 = 36π, а не об'єм.

• 18π — забули піднести радіус до квадрата: πRH = π · 3 · 6 = 18π.

Приклад 2. Значення Sбічна / π

Завдання (коротка відповідь). Діаметр основи циліндра дорівнює 8, висота дорівнює 5. Знайдіть значення Sбічна / π.

Розв'язання:

1. Ділимо діаметр навпіл: R = 8 : 2 = 4.

2. Бічна поверхня: Sбічна = 2π · 4 · 5 = 40π.

3. Потрібне значення: Sбічна / π = 40.

Правильна відповідь: 40.

Типові пастки:

• 80 — якщо діаметр 8 підставити як радіус: 2π · 8 · 5 = 80π, 80π/π = 80.

• 72 — якщо обчислити повну поверхню замість бічної: Sповна = 2π·4·5 + 2π·16 = 40π + 32π = 72π, 72π/π = 72.

Приклад 3. Місткість бака в літрах

Завдання (коротка відповідь). Циліндричний бак має діаметр дна 1 м і висоту 1,4 м. Скільки літрів води він вміщує? π ≈ 3,14.

Розв'язання:

1. Радіус: R = 1 : 2 = 0,5 м.

2. Об'єм: V = π · (0,5)² · 1,4 = π · 0,25 · 1,4 = 0,35π м³.

3. 0,35 · 3,14 = 1,099 м³.

4. Переводимо: 1,099 · 1000 = 1099 л.

Правильна відповідь: 1099.

Типові пастки:

• 4396 — якщо радіусом узяти 1 м (діаметр): π · 1 · 1,4 = 1,4π ≈ 4,396 м³, 4396 л.

• 1,099 — отримали об'єм у м³, але не перевели в літри.

Приклад 4. Зміна об'єму

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). У скільки разів зміниться об'єм циліндра, якщо радіус основи збільшити в 3 рази, а висоту зменшити в 3 рази?

Розв'язання:

1. Спочатку: V₁ = πR²H.

2. Після змін: R₂ = 3R, H₂ = H/3.

3. V₂ = π(3R)² · (H/3) = π · 9R² · H/3 = 3πR²H = 3V₁.

4. Об'єм збільшиться в 3 рази.

Правильна відповідь: збільшиться в 3 рази.

Чому інші варіанти неправильні:

• Не зміниться — помилкове враження, що множники 3 і 1/3 компенсуються, але R у квадраті.

• Збільшиться в 9 разів — врахували лише R² → 9, але забули про зменшення висоти.

• Збільшиться в 6 разів — 3 + 3 = 6 замість множення.

• Збільшиться в 27 разів — 3³ = 27 (вважали, що і R, і H в кубі).

На НМТ з циліндром пов'язані одні з найпоширеніших пасток. Ось найчастіші помилки, яких варто уникати:

• Підставляють діаметр замість радіуса. У формули Sбічна = 2πRH і V = πR²H входить радіус R, а не діаметр d = 2R. Якщо в умові дано діаметр, завжди спершу діліть його навпіл.

• Вважають осьовий переріз прямокутником R × H, а не 2R × H. Осьовий переріз проходить через вісь, тому одна сторона — діаметр 2R, а не радіус R.

• У повній поверхні забувають одну або обидві основи. Sповна = 2πRH + 2πR² — не забудьте, що основ дві.

• Додають основи, коли фарбують трубу. Труба без торців — фарбуємо лише бічну поверхню 2πRH. Основи не додаємо.

• Плутають формули бічної поверхні та об'єму. Sбічна = 2πRH (площа), V = πR²H (об'єм). У бічній поверхні 2πR — довжина кола, в об'ємі πR² — площа круга.

• Не переводять м³ у літри або вважають 1 м³ = 100 л. Запам'ятайте: 1 м³ = 1000 л, 1 дм³ = 1 л.

• Записують у коротку відповідь число з π замість величини, яку просить умова. Якщо умова просить Sбічна / π або V / π, у відповіді буде число без π.

Тема «Циліндр» належить до розділу 6.2 програми НМТ з математики — «Тіла обертання». У тесті вона може з'явитися в завданнях на вибір однієї відповіді з п'яти (позиції № 4–15) або в завданнях з короткою відповіддю (позиція № 21).

Формат завдань

• Вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д, завдання № 4–15): 0 або 1 бал. Тут можуть запитати про осьовий переріз, площу поверхні, об'єм або зміну об'єму.

• Коротка відповідь (завдання № 21): 0 або 2 бали (без часткових). Відповідь — лише число (десятковий дріб або ціле). Якщо в результаті лишилося π, перечитайте умову: можливо, просять записати V / π або S / π.

Довідкові матеріали

На НМТ вам надають довідку, у якій є формули:

• V = πR²H — об'єм циліндра;

• Sбічна = 2πRH — бічна поверхня.

Формули повної поверхні в довідці немає — її доведеться скласти самостійно, додавши площі двох основ: Sповна = 2πRH + 2πR².

Що важливо знати

• Циліндр — тема рівня стандарту. Задачі можуть бути як чисто геометричними, так і практичного змісту (бак, труба, резервуар).

• У короткій відповіді не пишіть одиниці вимірювання — тільки число.

• Якщо в умові сказано «вважайте, що π ≈ 3,14», обчисліть наближене значення.

• Осьовий переріз циліндра — прямокутник зі сторонами 2R (діаметр) і H (висота). Діагональ: d² = 4R² + H².

• Якщо осьовий переріз — квадрат, то H = 2R.

• Бічна поверхня: Sбічна = 2πRH (є в довідці).

• Повна поверхня: Sповна = 2πRH + 2πR² = 2πR(R + H) (у довідці немає).

• Об'єм: V = πR²H (є в довідці).

• Діаметр завжди ділимо навпіл перед підстановкою в формули.

• Радіус у k разів більший ⇒ об'єм у k² разів більший.

• Висота в k разів більша ⇒ об'єм у k разів більший.

• 1 м³ = 1000 л; 1 дм³ = 1 л.

• Якщо в короткій відповіді лишається π, перечитайте умову — можливо, просять V / π або S / π.