Трапеція та її середня лінія

Трапеція — це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші — не паралельні. Паралельні сторони називають основами трапеції (зазвичай позначають a (більша основа) і b (менша основа), причому a > b). Непаралельні сторони називають бічними сторонами (позначають c і d). Висота трапеції h — це відстань між прямими, що містять основи; інакше кажучи, це перпендикуляр, опущений з будь-якої точки однієї основи на пряму, що містить другу основу.

Оскільки основи трапеції паралельні (AD ∥ BC на стандартному рисунку, де ABCD — вершини за годинниковою стрілкою, AD — більша основа), то кути, прилеглі до однієї бічної сторони, є внутрішніми односторонніми при паралельних прямих. Тому вони в сумі дорівнюють 180°:

∠A + ∠B = 180°, ∠C + ∠D = 180°.

Наприклад, якщо ∠A = 70°, то ∠B = 180° − 70° = 110°. Якщо ∠C = 115°, то ∠D = 180° − 115° = 65°.

Рівнобічна трапеція

Рівнобічною називають трапецію, в якої бічні сторони рівні (c = d). З цього випливають важливі властивості:

• кути при кожній основі рівні: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C;

• діагоналі рівні: AC = BD.

Наприклад, у рівнобічній трапеції ABCD (AD ∥ BC) ∠A = 64°. Тоді ∠D = ∠A = 64° (кути при більшій основі рівні). Далі: ∠B = 180° − ∠A = 116° і ∠C = ∠B = 116°.

Прямокутна трапеція

Прямокутною називають трапецію, у якої одна бічна сторона перпендикулярна до основ. Така сторона одночасно є висотою трапеції. У прямокутній трапеції два кути прямі (по 90°). Якщо ∠A = ∠B = 90°, то бічна сторона AB перпендикулярна до основ AD і BC, отже AB = h.

Трапеція — не паралелограм

У трапеції лише одна пара паралельних сторін, тоді як у паралелограма — дві пари. Тому властивості, що діють для паралелограма (рівність протилежних сторін, ділення діагоналей точкою перетину навпіл, рівність протилежних кутів), до довільної трапеції не застосовні. Трапеція ніколи не є паралелограмом, тому жодна з цих властивостей для неї повністю не виконується (у рівнобічній трапеції рівна лише одна пара протилежних сторін — бічні).

Середня лінія трапеції — це відрізок, що сполучає середини бічних сторін. Вона має дві ключові властивості: по-перше, вона паралельна основам; по-друге, її довжина дорівнює півсумі основ:

$$m=\frac{a+b}{2}$$

де a і b — довжини основ трапеції.

Пряме застосування формули

Якщо a = 14 см, b = 8 см, то m = (14 + 8)/2 = 11 см. Якщо a = 23 см, b = 17 см, то m = (23 + 17)/2 = 20 см.

Обернена задача — знаходження основи

Якщо відомі середня лінія й одна з основ, другу основу знаходять за формулою:

$$a=2m-b\text{або}b=2m-a$$

Наприклад, m = 12 см, b = 7 см ⇒ a = 2 · 12 − 7 = 17 см. Якщо m = 8 см, a = 13 см ⇒ b = 2 · 8 − 13 = 3 см.

Основи через відношення

Якщо основи відносяться як 2 : 3, а середня лінія дорівнює 15 см, позначмо основи як 2x і 3x. Тоді (2x + 3x)/2 = 15 ⇒ 5x = 30 ⇒ x = 6. Отже, основи дорівнюють 12 см і 18 см.

Чому середня лінія дорівнює півсумі основ?

Проведімо діагональ AC. Вона ділить трапецію ABCD на два трикутники: ABC (з основою BC = b) і ACD (з основою AD = a). Середня лінія трапеції перетинається з діагоналлю в деякій точці; відрізок від середини бічної сторони AB до цієї точки є середньою лінією трикутника ABC і дорівнює b/2. Відрізок від цієї точки до середини бічної сторони CD є середньою лінією трикутника ACD і дорівнює a/2. У сумі отримуємо b/2 + a/2 = (a + b)/2.

Наприклад, якщо a = 18 см, b = 10 см, то діагональ ділить середню лінію на відрізки b/2 = 5 см і a/2 = 9 см; разом 14 см = (18 + 10)/2.

Периметр рівнобічної трапеції через середню лінію

Для рівнобічної трапеції з бічною стороною c периметр P = a + b + 2c. Оскільки a + b = 2m, маємо P = 2m + 2c. Якщо m = 10 см, c = 6 см, то P = 2 · 10 + 2 · 6 = 20 + 12 = 32 см.

У рівнобічній трапеції ABCD (AD ∥ BC, AD — більша основа) проведемо дві висоти: BH з вершини B і CK з вершини C на більшу основу AD. Оскільки трапеція рівнобічна, AB = CD, а BH = CK (обидві — висоти). Тому прямокутні трикутники ABH і DCK рівні за гіпотенузою й катетом.

Звідси випливає, що відрізки AH і KD, які висоти «відтинають» від більшої основи, рівні між собою, а відрізок HK дорівнює меншій основі BC:

$$AH=KD=\frac{a-b}{2},HK=b$$

Наприклад, якщо a = 20 см, b = 8 см, то AH = (20 − 8)/2 = 6 см, HK = 8 см, KD = 6 см.

Знаходження висоти за бічною стороною

З прямокутного трикутника ABH (∠H = 90°) за теоремою Піфагора:

$$h^2=c^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$$

де c — бічна сторона, h — висота.

Розгляньмо приклад: a = 20 см, b = 8 см, c = 10 см. Проєкція AH = (20 − 8)/2 = 6 см. Тоді h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, отже h = 8 см.

Висота через кут при основі

Якщо відомий гострий кут при більшій основі, можна знайти висоту без теореми Піфагора:

• ∠A = 45°: у прямокутному △ABH кут 45° означає, що трикутник рівнобедрений, тому h = AH = (a − b)/2.

• ∠A = 60°: тоді ∠ABH = 30°, а AH — катет, що лежить навпроти кута 30°, отже AH = c/2. Якщо крім того c = 12 см, то AH = 6 см, і тоді a = b + 2 · AH = b + 12 см.

Діагональ рівнобічної трапеції

Проєкція діагоналі AC на більшу основу AD дорівнює AK, де K — основа висоти CK. Оскільки AK = AD − KD = a − (a − b)/2 = (a + b)/2 = m, то діагональ знаходимо з прямокутного трикутника ACK:

$$d^2=h^2+m^2$$

Наприклад, якщо a = 20 см, b = 8 см, h = 8 см, то m = (20 + 8)/2 = 14 см, d² = 8² + 14² = 64 + 196 = 260, d = √260 = 2√65 ≈ 16,12 см.

У прямокутній трапеції ABCD (∠A = ∠B = 90°, AD ∥ BC, AD — більша основа) бічна сторона AB перпендикулярна до основ, тому вона одночасно є висотою: AB = h. Друга бічна сторона CD — похила.

Проєкція похилої бічної сторони

Проведемо висоту CH з вершини C на більшу основу AD. Оскільки AB ∥ CH (обидві перпендикулярні до AD) і AB = CH = h, то чотирикутник ABCH — прямокутник. Звідси:

• AH = BC = b;

• HD = AD − AH = a − b.

Зверни увагу: у прямокутній трапеції ми не ділимо (a − b) навпіл, бо висоту проведено лише з одного кінця меншої основи (вершини C), а інша висота (AB) уже збігається з бічною стороною.

Похила бічна сторона CD є гіпотенузою прямокутного трикутника CHD:

$$C{D}^2=h^2+(a-b{)}^2$$

Наприклад: a = 13 см, b = 7 см, h = 8 см. Тоді HD = 13 − 7 = 6 см, CD² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, CD = 10 см.

Діагоналі прямокутної трапеції

Діагоналі прямокутної трапеції є гіпотенузами прямокутних трикутників:

• AC² = h² + b² (△ABC — прямокутний, ∠B = 90°);

• BD² = h² + a² (△ABD — прямокутний, ∠A = 90°).

Наприклад: h = 8 см, b = 6 см, a = 15 см. Тоді AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, AC = 10 см; BD² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289, BD = 17 см.

Гострий кут 45° у прямокутній трапеції

Якщо гострий кут ∠D = 45°, то трикутник CHD — рівнобедрений (∠D = 45°, ∠H = 90°, отже ∠C = 45°), тому h = HD = a − b. Це спрощує всі обчислення: бічна сторона CD = h√2.

Типове композиційне завдання

У прямокутній трапеції часто просять знайти кілька відрізків послідовно: спочатку похилу бічну сторону, потім діагональ, потім середню лінію. Так побудоване й завдання 18 демоваріанта НМТ-2026: відрізки прямокутної трапеції знаходять один за одним (половину діагоналі, основу за теоремою Піфагора, бічну сторону з додаткової умови), і помилка на одному кроці може зіпсувати наступний.

Нижче розібрано п'ять завдань у форматах, які використовують на НМТ: вибір однієї відповіді (завдання 1–15), коротка відповідь (завдання 19–22) і логічні пари (завдання 16–18). Кожне супроводжується докладним розв'язанням і поясненням помилок.

Приклад 1. Середня лінія трапеції за основою

Умова: Середня лінія трапеції дорівнює 14 см, а одна з основ — 9 см. Яка довжина другої основи?

Розв'язання: Використовуємо формулу m = (a + b)/2. За умовою m = 14, b = 9 (або a = 9 — байдуже, яку основу вважати першою). Тоді 14 = (a + 9)/2 ⇒ a + 9 = 28 ⇒ a = 19 см.

Відповідь: 19 см.

Чому інші варіанти неправильні: 5 см — це різниця m − b замість 2m − b; 11,5 см — це півсума (14 + 9)/2, тобто середня лінія від основ, а не навпаки; 23 см — це сума 14 + 9; 28 см — це 2m, тобто a + b, а не a окремо.

Приклад 2. Висота рівнобічної трапеції

Умова: Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 4 см і 14 см, бічна сторона — 13 см. Знайдіть висоту трапеції. Відповідь запишіть десятковим дробом (цілим числом).

Розв'язання: Проєкція бічної сторони на більшу основу: (a − b)/2 = (14 − 4)/2 = 5 см. За теоремою Піфагора з △ABH: h² = c² − ((a − b)/2)² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, отже h = 12 см.

Відповідь: 12.

Типова пастка: узяти різницю основ 10 см замість піврізниці 5 см. Тоді h² = 169 − 100 = 69, h = √69 ≈ 8,31 — це неправильний результат.

Приклад 3. Прямокутна трапеція (логічні пари)

Умова: Дано прямокутну трапецію ABCD, ∠A = 90°, AD ∥ BC, AD = 15 см, BC = 9 см, AB = 8 см. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А–Д):

1) CD 2) BD 3) середня лінія  А) 10 Б) 17 В) 12 Г) 6 Д) 24

Розв'язання: Для прямокутної трапеції h = AB = 8 см, a = 15 см, b = 9 см.

HD = a − b = 15 − 9 = 6 см. CD² = h² + (a − b)² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 ⇒ CD = 10 см (1 → А).

BD² = h² + a² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 ⇒ BD = 17 см (2 → Б).

Середня лінія m = (a + b)/2 = (15 + 9)/2 = 12 см (3 → В).

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Чому інші варіанти неправильні: Г) 6 — це HD, проєкція похилої сторони, а не сама сторона; Д) 24 — це сума основ 15 + 9 без ділення на 2, тобто не середня лінія.

Приклад 4. Кути рівнобічної трапеції

Умова: У рівнобічній трапеції ABCD (AD ∥ BC) ∠B = 118°. Знайдіть ∠D.

Розв'язання: У трапеції кути, прилеглі до бічної сторони, у сумі дають 180°. ∠A + ∠B = 180°, отже ∠A = 180° − 118° = 62°. У рівнобічній трапеції кути при основі рівні: ∠A = ∠D = 62°.

Відповідь: 62°.

Чому інші варіанти неправильні: 118° — кут D прирівняли до кута B, але вони не при одній основі; 59° — половина 118°; 31° — 180° − 118° = 62°, а потім узяли половину; 72° — довільна помилка.

Приклад 5. Периметр рівнобічної трапеції через кут

Умова: Гострий кут рівнобічної трапеції дорівнює 60°, основи — 5 см і 13 см. Знайдіть периметр трапеції. Відповідь запишіть десятковим дробом (цілим числом).

Розв'язання: Проєкція бічної сторони на більшу основу: (a − b)/2 = (13 − 5)/2 = 4 см. У △ABH кут A = 60°, тому ∠ABH = 30°. Катет AH лежить навпроти кута 30°, отже AH = c/2. Звідси c = 2 · AH = 8 см. Периметр P = a + b + 2c = 13 + 5 + 16 = 34 см.

Відповідь: 34.

Типова пастка: узяти c = AH = 4 см замість c = 2 · AH. Тоді P = 13 + 5 + 8 = 26 см — це неправильно.

• Беруть різницю основ a − b замість піврізниці (a − b)/2 як проєкцію бічної сторони рівнобічної трапеції. Правильно: спершу обчисли (a − b)/2, а потім використовуй цю величину.

• Рахують середню лінію як суму або піврізницю основ. Правильно: m = (a + b)/2 — тільки півсума.

• Знаходять основу за середньою лінією як m − b замість 2m − b. Правильно: a = 2m − b.

• Вважають рівними кути, прилеглі до бічної сторони (вони в сумі 180°), або переносять властивості рівнобічної трапеції на довільну. Правильно: ∠A + ∠B = 180°, а рівність кутів при основі — лише для рівнобічної трапеції.

• У прямокутній трапеції за висоту беруть похилу бічну сторону. Правильно: висота — це бічна сторона, перпендикулярна до основ.

• У прямокутній трапеції ділять проєкцію похилої сторони навпіл, хоча там вона дорівнює a − b. Правильно: у прямокутній трапеції HD = a − b, не діли на 2.

• Малюють рисунок не за умовою: проводять бічну сторону перпендикулярно до основ, хоча трапеція не прямокутна. Правильно: уважно читай умову — якщо не сказано, що трапеція прямокутна, припускай довільну трапецію.

Тема «Чотирикутники» розділу «Планіметрія» програми НМТ: «трапеція, середня лінія трапеції та її властивості». Формули площі трапеції є в довідкових матеріалах, які видають на тестуванні, а формули середньої лінії трапеції там немає — її треба пам'ятати.

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 18 — це логічні пари (1–3 → А–Д, по 1 балу за кожну правильно встановлену пару, усього 0–3 бали) на відрізки в прямокутній трапеції через теорему Піфагора. Це поєднує теми «Чотирикутники» й «Трикутники» (теорема Піфагора) програми НМТ.

У завданнях 1–15 (вибір однієї відповіді з п'яти, 0 або 1 бал) можуть трапитися задачі на знаходження основи за середньою лінією, обчислення кутів трапеції.

У завданнях 19–22 (коротка відповідь, 0 або 2 бали без часткових балів) відповідь записують лише десятковим дробом. Наприклад, h = 12 записують як 12, а не 12,0 або 12 см.

Стратегія: у завданні № 18 обчислення можуть спиратися одне на одне, тому кожне роби ретельно — помилка на одному кроці може зіпсувати кілька пар. На рисунку одразу проводь обидві висоти з кінців меншої основи (для рівнобічної трапеції) або одну висоту з вершини тупого кута (для прямокутної).

• У трапеції одна пара паралельних сторін; кути при бічній стороні в сумі дають 180°.

• Середня лінія m = (a + b)/2, отже a = 2m − b.

• Рівнобічна трапеція: бічні сторони рівні, кути при кожній основі рівні, діагоналі рівні; проєкція бічної сторони на більшу основу — (a − b)/2.

• Прямокутна трапеція: одна бічна сторона перпендикулярна до основ і є висотою; проєкція похилої сторони — a − b.

• Ключ до обчислень — прямокутний трикутник, утворений висотою, проєкцією та бічною стороною або діагоналлю, і теорема Піфагора.