Сила пружності і закон Гука

Коли на тіло діє сила, воно може змінювати свою форму або розміри. Таку зміну називають деформацією. Деформація — це зміна взаємного розташування частинок тіла, що призводить до зміни його форми чи об'єму. У механіці розрізняють два основні види деформації: пружну й пластичну.

Пружна та пластична деформація

Пружна деформація — це деформація, яка повністю зникає після припинення дії зовнішньої сили. Тіло повертається до початкової форми. Наприклад, гумовий м'яч після удару відновлює свою форму, пружина після розтягування стискається назад. Пластична (або залишкова) деформація — це деформація, яка зберігається після зняття навантаження. Приклади: зігнутий дріт, розкатане тісто, деформований пластилін.

Межа пружності — це найбільша деформація, після якої тіло ще повертається до початкової форми. Якщо деформація перевищує цю межу, виникає пластична (необоротна) деформація. Закон Гука, про який ітиметься далі, справедливий лише в межах пружної деформації.

Сила пружності та її природа

Сила пружності — це сила, що виникає в деформованому тілі й напрямлена проти деформації, тобто в бік, протилежний до зміщення частинок тіла. Коли ви розтягуєте пружину, сила пружності намагається її стиснути; коли стискаєте — намагається розпрямити. Природа сили пружності — електромагнітна взаємодія між частинками речовини. Під час деформації відстані між атомами й молекулами змінюються, і виникають сили електромагнітного притягання або відштовхування, які на макроскопічному рівні сприймаються як сила пружності.

Види сили пружності

У задачах з механіки сила пружності найчастіше виступає в одній із таких форм:

• Сила реакції опори (позначають N) — виникає, коли тіло тисне на опору. Вона завжди перпендикулярна до поверхні опори. Наприклад, книга лежить на столі — стіл діє на книгу силою реакції опори, напрямленою вертикально вгору.

• Сила натягу нитки (позначають T) — виникає в розтягнутій нитці, тросі або підвісі. Вона напрямлена вздовж нитки від тіла до точки закріплення (підвісу). Наприклад, вантаж висить на мотузці — сила натягу напрямлена вздовж мотузки вгору.

• Сила пружності пружини — виникає під час розтягування або стиснення пружини. Саме для неї найчастіше застосовують закон Гука.

Видовження: ключова величина

Щоб кількісно описати деформацію пружини, вводять поняття видовження. Видовження x — це різниця між довжиною деформованої пружини l та її довжиною в недеформованому стані l₀:

$$x=l-l_0$$

Під час розтягування l > l₀, тому x > 0. Під час стиснення l < l₀, тому x < 0, а модуль видовження дорівнює |x| = l₀ − l. У законі Гука фігурує саме модуль видовження |x|, тому що сила пружності залежить від величини деформації, а не від її знака.

Увага: видовження — це не довжина пружини, а зміна довжини. Найпоширеніша помилка в задачах — підставити в закон Гука довжину пружини замість її видовження.

Закон Гука — один із фундаментальних законів механіки, який описує зв'язок між силою пружності та деформацією тіла. Його відкрив англійський учений Роберт Гук у XVII столітті.

Формулювання закону Гука

Для пружної деформації сила пружності прямо пропорційна модулю видовження тіла:

$$F_{\text{пр}}=k|x|$$

У проєкції на вісь, уздовж якої відбувається деформація, закон Гука записують із знаком мінус, який указує, що сила пружності напрямлена проти деформації:

$$F_{\text{пр},x}=-kx$$

Тут Fпр — сила пружності (Н), k — жорсткість пружини (Н/м), x — видовження (м). Знак мінус у проєкції означає, що коли пружину розтягують (x > 0), сила пружності напрямлена в протилежний бік (від'ємна проєкція), а коли стискають (x < 0), сила пружності напрямлена в бік розтягу (додатна проєкція).

Жорсткість пружини

Жорсткість k — це фізична величина, яка характеризує пружні властивості тіла. Вона залежить від матеріалу, з якого виготовлено пружину, форми витків, діаметра дроту, кількості витків і загальних розмірів пружини. Важливо: жорсткість не залежить від прикладеної сили або величини видовження — це стала характеристика конкретної пружини.

Одиниця жорсткості в СІ — ньютон на метр (Н/м). Числове значення жорсткості показує, яку силу потрібно прикласти, щоб видовжити пружину на 1 м. Наприклад, якщо k = 200 Н/м, то для видовження на 1 см (0,01 м) потрібна сила 2 Н, а для видовження на 5 см — 10 Н.

Вантаж на пружині: умова рівноваги

Коли вантаж масою m нерухомо висить на пружині, сила тяжіння, що діє на вантаж, урівноважується силою пружності пружини. За другим законом Ньютона:

$$kx=mg$$

Звідси можна знайти видовження:

$$x=\frac{mg}{k}$$

Приклад: вантаж масою 0,5 кг висить на пружині жорсткістю 100 Н/м. Прискорення вільного падіння g = 10 м/с². Тоді видовження:

$$x=\frac{0,5\cdot 10}{100}=0,05\text{м}=5\text{см}$$

Межі застосування закону Гука

Закон Гука справедливий лише для пружних деформацій, тобто для невеликих видовжень, що не перевищують межі пружності. Якщо деформація стає пластичною (наприклад, пружину розтягнули так сильно, що вона вже не повертається до початкової довжини), закон Гука не виконується. На практиці це означає, що для кожної пружини існує максимальне навантаження, після якого залежність сили від видовження перестає бути лінійною.

Динамометр

Динамометр — це прилад для вимірювання сили, дія якого ґрунтується на законі Гука. Усередині динамометра є пружина, яка видовжується під дією вимірюваної сили. Оскільки видовження прямо пропорційне силі (F = kx), шкала динамометра рівномірна — однаковим приростам сили відповідають однакові прирости видовження. Це дозволяє легко градуювати прилад: достатньо знати жорсткість пружини й нанести поділки через рівні проміжки.

Закон Гука встановлює лінійну залежність між силою пружності та видовженням. Цю залежність зручно зображати графічно, а також аналізувати, як змінюється жорсткість системи, коли пружини з'єднують разом.

Графік залежності сили пружності від видовження

Графік залежності Fпр(x) — це пряма лінія, яка проходить через початок координат (0; 0). Чим більша жорсткість пружини, тим крутіша ця пряма. Жорсткість чисельно дорівнює нахилу графіка:

$$k=\frac{F}{x}$$

Щоб визначити жорсткість за графіком, обери будь-яку зручну точку на прямій (бажано у вузлі координатної сітки, подалі від початку координат) і поділи значення сили на відповідне видовження. Головне — перевести видовження з сантиметрів у метри, якщо графік побудовано в сантиметрах.

Розгляньмо приклад. На графіку силі пружності 6 Н відповідає видовження 3 см. Переводимо сантиметри в метри: 3 см = 0,03 м. Тоді жорсткість:

$$k=\frac{6\text{Н}}{0,03\text{м}}=200\text{Н/м}$$

Послідовне з'єднання пружин

Коли дві пружини з'єднують послідовно (одна за одною), через кожну пружину діє однакова сила. Видовження системи дорівнює сумі видовжень окремих пружин. Загальна жорсткість такої системи менша за жорсткість кожної окремої пружини й обчислюється за формулою:

$$\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$

Для двох пружин зручно користуватися формулою:

$$k=\frac{k_1\cdot k_2}{k_1+k_2}$$

Якщо з'єднати послідовно дві однакові пружини жорсткістю k кожна, то загальна жорсткість буде k/2. Система стає вдвічі м'якшою.

Паралельне з'єднання пружин

Коли дві пружини з'єднують паралельно (поруч, до однієї перекладини), видовження обох пружин однакове, а сили додаються. Загальна жорсткість такої системи більша за жорсткість кожної окремої пружини:

$$k=k_1+k_2$$

Якщо з'єднати паралельно дві однакові пружини жорсткістю k кожна, то загальна жорсткість буде 2k. Система стає вдвічі жорсткішою.

Чому половина пружини жорсткіша?

Якщо розрізати пружину навпіл, кожна половина матиме вдвічі більшу жорсткість, ніж ціла пружина. Пояснення просте: цілу пружину можна уявити як дві однакові половини, з'єднані послідовно. Якщо ціла пружина має жорсткість k, то кожна половина — 2k, адже для послідовного з'єднання: 1/k = 1/(2k) + 1/(2k) = 1/k.

Розв'яжемо типові задачі на закон Гука, які трапляються на НМТ. Кожну задачу супроводжує покрокове розв'язання й пояснення типових помилок.

Приклад 1. Жорсткість за графіком

Завдання (коротка відповідь). На графіку залежності сили пружності від видовження силі 8 Н відповідає видовження 4 см. Визнач жорсткість пружини в Н/м.

Розв'язання:

1. Записуємо закон Гука: Fпр = k|x|

2. Видовження дано в сантиметрах — переводимо в метри: 4 см = 0,04 м.

3. Жорсткість: k = F/x = 8 / 0,04 = 200 Н/м

Відповідь: 200 Н/м.

Типова помилка: не перевести сантиметри в метри. Якщо поділити 8 Н на 4 см, отримаєш 2 Н/см, що не є правильною відповіддю, бо одиниця Н/м вимагає метри.

Приклад 2. Розтягування пружини

Завдання (вибір однієї відповіді з чотирьох). Пружину завдовжки 10 см розтягнули до 14 см силою 2 Н. Яка жорсткість пружини?

Розв'язання:

1. Визначаємо видовження: x = l − l₀ = 14 см − 10 см = 4 см = 0,04 м

2. За законом Гука: k = F/x = 2 / 0,04 = 50 Н/м

Відповідь: 50 Н/м.

Чому інші варіанти неправильні:

• 14,3 Н/м — отримали, поділивши силу на довжину пружини (2 / 0,14), а не на видовження.

• 0,5 Н/м — поділили 2 Н на 4 см, не перевівши сантиметри в метри (2 / 4 = 0,5).

• 20 Н/м — поділили силу на початкову довжину (2 / 0,10 = 20).

Приклад 3. Послідовне з'єднання пружин

Завдання (коротка відповідь). Дві пружини жорсткістю 300 Н/м і 600 Н/м з'єднали послідовно. Визнач жорсткість системи в Н/м.

Розв'язання:

1. Формула для послідовного з'єднання: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2. Підставляємо: 1/k = 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600 = 1/200

3. Отже, k = 200 Н/м

Відповідь: 200 Н/м.

Можна скористатися формулою для двох пружин: k = (k₁ · k₂) / (k₁ + k₂) = (300 · 600) / 900 = 180 000 / 900 = 200 Н/м.

Приклад 4. Вантаж на пружині

Завдання (коротка відповідь). На пружині жорсткістю 250 Н/м нерухомо висить вантаж масою 0,5 кг. Прискорення вільного падіння g = 10 м/с². Визнач видовження пружини в сантиметрах.

Розв'язання:

1. Умова рівноваги: сила пружності дорівнює силі тяжіння: kx = mg

2. Звідси: x = mg / k = (0,5 · 10) / 250 = 5 / 250 = 0,02 м

3. Переводимо в сантиметри: 0,02 м = 2 см.

Відповідь: 2 см.

Приклад 5. Паралельне з'єднання пружин

Завдання (вибір однієї відповіді з чотирьох). Дві однакові пружини жорсткістю k з'єднали паралельно. Яка жорсткість системи?

Розв'язання:

1. Формула для паралельного з'єднання: k = k₁ + k₂

2. Оскільки пружини однакові: k = k + k = 2k

Відповідь: 2k.

Чому інші варіанти неправильні:

• k/2 — це формула для послідовного з'єднання двох однакових пружин.

• k — жорсткість не змінюється, але паралельне з'єднання завжди збільшує жорсткість.

• 4k — помилка: сили додаються, але не подвоюються двічі.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на закон Гука. Уникаючи їх, ти значно підвищиш свої шанси на правильну відповідь на НМТ.

• Підставляти довжину пружини замість її видовження. Найчастіша помилка: у формулу F = kx замість видовження x підставляють довжину пружини l або l₀. Завжди спочатку обчислюй x = l − l₀ — це різниця довжин, а не сама довжина.

• Не переводити сантиметри в метри. Жорсткість вимірюють у Н/м, тому видовження обов'язково треба виразити в метрах. Якщо видовження 5 см, у формулу підставляй 0,05 м, а не 5. Інакше отримаєш неправильне число.

• Плутати формули послідовного й паралельного з'єднань. Запам'ятай: послідовно — обернені величини додаються (1/k = 1/k₁ + 1/k₂), паралельно — прямі величини додаються (k = k₁ + k₂). Аналогія: послідовне з'єднання резисторів в електриці (R = R₁ + R₂) — навпаки.

• Вважати, що сила пружності напрямлена в бік деформації. Сила пружності завжди напрямлена проти деформації. Якщо ти розтягуєш пружину, сила пружності намагається її стиснути. Якщо стискаєш — розпрямити.

• Застосовувати закон Гука до пластичної деформації. Закон Гука справедливий лише для пружних деформацій, коли тіло повертається до початкової форми після зняття навантаження. Для пластичних деформацій (наприклад, розтягнута до необоротної зміни пружина) закон не виконується.

• Вважати, що жорсткість пружини залежить від прикладеної сили. Жорсткість k — це стала характеристика пружини, яка визначається її матеріалом, формою та розмірами. Вона не змінюється, коли ти тягнеш пружину сильніше або слабше. Змінюється видовження, а не жорсткість.

Тему «Сили пружності, закон Гука» включено до програми НМТ з фізики (тема 1.2 «Основи динаміки»). Від тебе вимагають уміти застосовувати закон Гука для розрахунку сили пружності, видовження та жорсткості, а також пояснювати принцип дії динамометра.

Довідкові матеріали

Формула закону Гука Fпр = k|x| є в довідкових матеріалах НМТ-2026 у розділі «Динаміка». Однак маси тіл і прискорення вільного падіння g зазвичай наводять безпосередньо в умові задачі, тому не варто покладатися на те, що їх можна звідкись узяти.

Формати завдань

Залежно від того, що саме перевіряють, завдання на закон Гука можуть мати різні формати:

• Вибір однієї відповіді з чотирьох (№ 1–14, 1 бал) — завдання на визначення жорсткості за графіком, порівняння жорсткостей пружин за нахилом графіків, вибір правильної формули для з'єднання пружин або якісне запитання про силу пружності.

• Коротка відповідь (№ 17–22, 0 або 2 бали) — розрахункові задачі, у яких треба обчислити силу пружності, видовження або жорсткість пружини, зокрема для системи з'єднаних пружин або вантажу на пружині.

Стратегія розв'язування

Якщо в задачі подано графік залежності сили пружності від видовження, обирай точку, яка лежить у вузлі координатної сітки й подалі від початку координат — це мінімізує похибку зчитування. Обов'язково перевір, у яких одиницях подано видовження на графіку: якщо в сантиметрах, переведи в метри перед обчисленням жорсткості.

Для розрахункових задач спочатку визнач, яку величину треба знайти, випиши дані з умови в одиницях СІ, застосуй відповідну формулу й перевір, чи потрібно перевести результат у потрібні одиниці (наприклад, сантиметри замість метрів).

Тут зібрано відповіді на запитання, які найчастіше виникають під час вивчення сили пружності та закону Гука.

• Fпр = k|x|, де x — видовження (різниця довжин), а не довжина пружини.

• Сила пружності напрямлена проти деформації. Сила реакції опори N і сила натягу нитки T — її види.

• Жорсткість k — нахил графіка F(x); одиниця — Н/м. Не залежить від прикладеної сили.

• Послідовне з'єднання: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂. Дві однакові пружини дають k/2.

• Паралельне з'єднання: k = k₁ + k₂. Дві однакові пружини дають 2k.

• Нерухомий вантаж на пружині: kx = mg → x = mg/k.

• Закон Гука справедливий лише для пружних деформацій (невеликих видовжень).