Сума кутів трикутника й зовнішній кут

Одна з найважливіших теорем геометрії — сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°. Це твердження справедливе для всіх трикутників, незалежно від їхньої форми чи розмірів. Формула має вигляд:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$$

Доведення теореми

Розглянемо довільний трикутник ABC. Проведемо через вершину B пряму, паралельну стороні AC. Позначимо на ній точку M з того самого боку від B, що й вершина A, і точку N — з боку вершини C. Кути ∠NBC і ∠BCA є внутрішніми різносторонніми при паралельних прямих MN ∥ AC і січній BC, тому вони рівні. Аналогічно, кути ∠MBA і ∠BAC рівні як внутрішні різносторонні при тих самих паралельних прямих і січній AB.

Кут ∠MBN — розгорнутий, він дорівнює 180°. Але ∠MBN = ∠MBA + ∠ABC + ∠CBN = ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA. Отже, ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Теорему доведено.

Наслідки з теореми

• У трикутнику не може бути більше ніж один прямий кут (якби було два прямі, сума вже дорівнювала б 180°, а третій кут мав би бути 0°).

• У трикутнику не може бути більше ніж один тупий кут, тому що тупий кут більший за 90°, а сума двох тупих кутів перевищила б 180°.

• У будь-якому трикутнику щонайменше два кути гострі.

• Гострі кути прямокутного трикутника в сумі дають 90°.

• Кожен кут рівностороннього трикутника дорівнює $180^{\circ }:3=60^{\circ }$.

Кути, задані відношенням або різницею

Коли кути трикутника задано у вигляді відношення, наприклад 2 : 3 : 4, це означає, що їхні градусні міри пропорційні цим числам. Позначимо кути як 2x, 3x, 4x. Тоді:

$$2x+3x+4x=180^{\circ }$$ $$9x=180^{\circ }$$ $$x=20^{\circ }$$

Отже, кути дорівнюють $2\cdot 20^{\circ }=40^{\circ }$, $3\cdot 20^{\circ }=60^{\circ }$ і $4\cdot 20^{\circ }=80^{\circ }$. Сума $40^{\circ }+60^{\circ }+80^{\circ }=180^{\circ }$ — усе правильно.

Розглянемо інший приклад: другий кут трикутника на 30° більший за перший, а третій утричі більший за перший. Нехай перший кут дорівнює x. Тоді другий — x + 30°, третій — 3x. Складаємо рівняння:

$$x+(x+30^{\circ })+3x=180^{\circ }$$ $$5x+30^{\circ }=180^{\circ }$$ $$5x=150^{\circ }$$ $$x=30^{\circ }$$

Кути трикутника: $30^{\circ }$, $60^{\circ }$ і $90^{\circ }$. Це прямокутний трикутник.

Залежно від величини кутів трикутники поділяють на три види: гострокутні, прямокутні й тупокутні. Щоб визначити вид трикутника, достатньо знати два його кути — третій знайдемо за теоремою про суму кутів.

Типи трикутників за кутами

Визначення виду за двома кутами

Якщо відомо два кути трикутника, третій знаходять за формулою $\angle C=180^{\circ }-\angle A-\angle B$, після чого визначають вид.

Додаткові ознаки

• Якщо один кут трикутника дорівнює сумі двох інших, то він прямий. Справді, нехай $\angle C=\angle A+\angle B$. Підставляємо в суму кутів: $\angle A+\angle B+(\angle A+\angle B)=180^{\circ }$, звідки $2(\angle A+\angle B)=180^{\circ }$, $\angle A+\angle B=90^{\circ }$, отже, $\angle C=90^{\circ }$.

• Якщо сума двох кутів менша за 90°, то третій кут тупий. Наприклад, якщо $\angle A+\angle B=70^{\circ }$, то $\angle C=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$ — кут тупий, трикутник тупокутний.

Ця класифікація допомагає швидко оцінити властивості трикутника: у прямокутному трикутнику діє теорема Піфагора, у тупокутному — найбільша сторона лежить проти тупого кута і т. д.

Зовнішнім кутом трикутника називають кут, суміжний з якимось внутрішнім кутом. Якщо продовжити одну зі сторін трикутника за вершину, то утворений кут між продовженням і іншою стороною буде зовнішнім.

Означення й властивості

При кожній вершині трикутника можна побудувати два зовнішні кути (продовживши одну або другу сторону). Ці два кути рівні як вертикальні, тому на практиці розглядають лише один зовнішній кут при вершині.

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.

Інакше кажучи, якщо зовнішній кут утворений при вершині C (продовженням сторони AC), то він дорівнює сумі кутів A і B:

$$\angle BCD=\angle A+\angle B$$

Доведення теореми про зовнішній кут

Розглянемо трикутник ABC і зовнішній кут при вершині C — кут BCD. За означенням суміжних кутів, $\angle BCD+\angle BCA=180^{\circ }$. Водночас за теоремою про суму кутів трикутника $\angle A+\angle B+\angle BCA=180^{\circ }$. Прирівнявши ліві частини, отримуємо $\angle BCD=\angle A+\angle B$.

Оскільки зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх, а кожен з них додатний, то зовнішній кут завжди більший за кожен із внутрішніх кутів, не суміжних із ним.

Задача на зовнішній кут

Нехай зовнішній кут трикутника дорівнює 130°, а внутрішні кути, не суміжні з ним, відносяться як 3 : 10. Позначимо ці кути як 3x і 10x. За теоремою про зовнішній кут:

$$3x+10x=130^{\circ }$$ $$13x=130^{\circ }$$ $$x=10^{\circ }$$

Отже, внутрішні кути дорівнюють $3\cdot 10^{\circ }=30^{\circ }$ і $10\cdot 10^{\circ }=100^{\circ }$. Кут, суміжний із зовнішнім, знаходимо так: $180^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ }$. Перевірка: $30^{\circ }+100^{\circ }+50^{\circ }=180^{\circ }$.

Сума зовнішніх кутів трикутника

Якщо взяти по одному зовнішньому куту при кожній вершині (тобто три кути, кожен з яких суміжний із внутрішнім), то їхня сума дорівнює 360°. Дійсно, кожна пара суміжних кутів дає 180°, тому сума трьох пар — 540°. Віднявши суму внутрішніх кутів (180°), отримаємо 360°.

Не кожні три відрізки можуть утворити трикутник. Існує чітка умова, яку називають нерівністю трикутника. Крім того, між сторонами й кутами трикутника є важливе співвідношення.

Нерівність трикутника

Для будь-якого трикутника кожна сторона менша від суми двох інших сторін. Інакше кажучи:

$$a<b+c,b<a+c,c<a+b$$

На практиці достатньо перевірити найбільшу сторону: якщо вона менша від суми двох інших, дві інші нерівності виконуються автоматично. Якщо найбільша сторона дорівнює сумі двох інших, точки лежать на одній прямій — трикутник вироджується.

Межі третьої сторони

Якщо відомо дві сторони трикутника a і b, то третя сторона c повинна задовольняти подвійну нерівність:

$$|a-b|<c<a+b$$

Наприклад, для сторін 4 і 9 третя сторона c має бути більшою за $|4-9|=5$ і меншою від $4+9=13$. Цілі значення c, які задовольняють умову: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 — усього сім значень.

Співвідношення між сторонами й кутами

У трикутнику існує прямий зв'язок між розмірами сторін і протилежних кутів:

• Проти більшої сторони лежить більший кут.

• Проти більшого кута лежить більша сторона.

• Проти рівних сторін лежать рівні кути (і навпаки).

Наприклад, у трикутнику зі сторонами 3, 4, 5 найбільша сторона 5 лежить навпроти найбільшого кута (у прямокутному трикутнику — прямого кута, адже 3² + 4² = 5²). У прямокутному трикутнику гіпотенуза завжди є найбільшою стороною, оскільки лежить проти найбільшого (прямого) кута.

Розгляньмо типові завдання на суму кутів, зовнішній кут і нерівність трикутника — саме такі формулювання можуть трапитися на НМТ.

Приклад 1. Кути у відношенні

Задача. Кути трикутника відносяться як 2 : 3 : 4. Знайдіть найбільший кут трикутника.

Розв'язання. Нехай кути дорівнюють 2x, 3x, 4x. Сума кутів трикутника 180°, тому:

$$2x+3x+4x=180^{\circ }$$ $$9x=180^{\circ }$$ $$x=20^{\circ }$$

Найбільший кут $4x=4\cdot 20^{\circ }=80^{\circ }$.

Відповідь: 80°.

Чому інші варіанти неправильні? 40° — це найменший кут (2x), 60° — середній кут (3x), 90° і 120° не відповідають жодному з кутів. Типова помилка — поділити 180° на 4 (отримати 45°) або дати найменший кут замість найбільшого.

Приклад 2. Зовнішній кут і внутрішні кути

Задача. Зовнішній кут при вершині C трикутника ABC дорівнює 118°, а ∠A = 47°. Знайдіть ∠B.

Розв'язання. Зовнішній кут при вершині C дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, тобто ∠A + ∠B. Отже:

$$47^{\circ }+\angle B=118^{\circ }$$ $$\angle B=118^{\circ }-47^{\circ }=71^{\circ }$$

Відповідь: 71°.

Поширені помилки: 62° — якщо знайти ∠C (180° − 118° = 62°) замість ∠B; 165° — якщо додати 118° і 47°; 15° — якщо відняти 47° від 62°; 133° — якщо відняти ∠A від 180° (180° − 47°).

Приклад 3. Нерівність трикутника

Задача. Які з наборів можуть бути довжинами сторін трикутника: I) 3, 5, 7; II) 2, 4, 6; III) 4, 5, 10?

Розв'язання. Перевіряємо кожен набір за нерівністю трикутника (найбільша сторона має бути меншою від суми двох інших):

• I: 3, 5, 7 — найбільша 7; 3 + 5 = 8; 7 < 8 — трикутник існує.

• II: 2, 4, 6 — найбільша 6; 2 + 4 = 6; 6 = 6 — трикутника немає (точки на одній прямій).

• III: 4, 5, 10 — найбільша 10; 4 + 5 = 9; 10 > 9 — трикутника немає.

Відповідь: лише I.

Типова помилка — вибрати I і II, не помітивши, що 2 + 4 = 6 (потрібна строга нерівність).

Приклад 4. Практичний рисунок: драбина біля стіни

Задача. Драбина стоїть біля вертикальної стіни. Кут між драбиною й підлогою, виміряний з боку, протилежного стіні, дорівнює 116°. Знайдіть кут між драбиною й стіною.

Розв'язання. На рисунку драбина, стіна й підлога утворюють прямокутний трикутник, де прямий кут — між стіною й підлогою. Даний кут 116° — це зовнішній кут при вершині на підлозі, суміжний із гострим кутом трикутника біля підлоги. Внутрішній кут біля підлоги:

$$180^{\circ }-116^{\circ }=64^{\circ }$$

Тоді кут між драбиною й стіною (другий гострий кут прямокутного трикутника):

$$90^{\circ }-64^{\circ }=26^{\circ }$$

Відповідь: 26°.

Поширені помилки: 64° (дати суміжний кут замість шуканого), 116° (взяти даний кут як внутрішній), 154° (180° − 26°), 32° (половина 64°).

Під час розв'язування задач із кутами трикутника учні часто припускаються одних і тих самих помилок. Ось найпоширеніші з них — і як їх уникнути.

• Додають до суми 180° зовнішній кут замість внутрішнього. Наприклад, якщо зовнішній кут 118°, у рівняння підставляють 118°, а треба внутрішній (180° − 118° = 62°). Пам'ятай: у теоремі про суму кутів трикутника йдеться про внутрішні кути.

• Вважають зовнішній кут рівним сумі суміжного з ним внутрішнього й ще одного кута. Насправді зовнішній кут дорівнює сумі тих внутрішніх кутів, які НЕ є з ним суміжними.

• У відношенні 2 : 3 : 4 ділять 180° на 4 (останнє число), а не на суму частин 2 + 3 + 4 = 9. Або знаходять усі кути, але дають у відповідь найменший замість найбільшого.

• Перевіряють нерівність трикутника для двох менших сторін, а не для найбільшої. Наприклад, для набору 4, 5, 10 перевіряють 4 < 5 + 10 (правильно) і помилково вважають, що трикутник існує. Треба перевіряти найбільшу сторону: 10 < 4 + 5 — нерівність не виконується.

• Вважають, що трикутник зі сторонами 5, 6 і 11 існує, адже 11 майже дорівнює 5 + 6. Але нерівність має бути строгою: 11 = 11 — точки лежать на одній прямій, трикутника немає.

• У практичному рисунку (драбина, дах, схил) беруть даний кут як внутрішній кут трикутника, не помітивши, що він суміжний із кутом трикутника. Завжди визначай, де саме розташований даний кут відносно трикутника.

Теорема про суму кутів трикутника, види трикутників і нерівність трикутника входять до теми 5.3 програми НМТ з математики рівня стандарту. Це базовий матеріал, який перевіряють у завданнях із вибором однієї правильної відповіді.

Формат завдань

На НМТ такі задачі найчастіше трапляються серед завдань 1–15, у яких потрібно обрати одну правильну відповідь із п'яти запропонованих (А–Д). Кожне таке завдання оцінюють у 0 або 1 бал. Трикутник може бути й частиною геометричного завдання на відповідність (№ 18).

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 2 перевіряє саме кути прямокутного трикутника на практичному рисунку. Для його розв'язання потрібно застосувати поняття суміжних кутів і теорему про суму кутів трикутника.

Довідкові матеріали

Під час НМТ ти отримаєш довідкові матеріали. Для довільного трикутника там подано формулу суми кутів: $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$. Властивості зовнішнього кута й нерівності трикутника в довідкових матеріалах відсутні — їх потрібно знати напам'ять.

Стратегія розв'язання

• Завжди перевіряй знайдені кути: їхня сума має дорівнювати 180°. Наприклад, знайшовши кути 40°, 60°, 80°, додай їх — отримаєш 180°, отже, розрахунки правильні.

• Перевіряй відповідність найбільшого кута найбільшій стороні — це допомагає виявити помилки.

• У завданнях на нерівність трикутника перевіряй тільки найбільшу сторону: якщо вона менша від суми двох інших, трикутник існує.

• На практичному рисунку спершу визнач, які кути є внутрішніми кутами трикутника, а які — зовнішніми або суміжними.

• Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°: $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$.

• Гострі кути прямокутного трикутника в сумі дають 90°.

• Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.

• У будь-якому трикутнику щонайменше два кути гострі.

• Трикутник існує лише тоді, коли найбільша сторона строго менша від суми двох інших сторін (нерівність трикутника).

• Проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки.

• Якщо два кути відомі, третій знаходять відніманням їхньої суми від 180°.