Степенева функція й обернена пропорційність

Степенева функція з натуральним показником — це функція виду y = xⁿ, де n — натуральне число (1, 2, 3, …). Властивості цієї функції залежать насамперед від того, чи є показник парним, чи непарним. Розгляньмо обидва випадки.

Парний показник: y = x², y = x⁴, …

Для функції y = x² (квадратична парабола) та y = x⁴ область визначення D = (−∞; +∞) — функція визначена для будь-якого дійсного x. Оскільки парний степінь не може бути від'ємним, область значень E = [0; +∞). Функція парна: f(−x) = (−x)² = x² = f(x), тому її графік симетричний відносно осі Oy. Графік проходить через точки (−1; 1), (0; 0) і (1; 1). На проміжку (−∞; 0] функція спадає, а на [0; +∞) зростає.

Для y = x⁴ поведінка якісно така сама, але форма відрізняється: на проміжку (0; 1) значення x⁴ < x² (наприклад, 0,5⁴ = 0,0625, а 0,5² = 0,25), тому біля нуля графік y = x⁴ пласкіший. Натомість при x > 1 маємо x⁴ > x² (2⁴ = 16, 2² = 4), тому далі графік y = x⁴ крутіший за звичайну параболу.

Непарний показник: y = x³, y = x⁵, …

Функція y = x³ називається кубічною параболою. Для неї і область визначення, і область значень — уся множина дійсних чисел: D = E = (−∞; +∞). Функція непарна: f(−x) = (−x)³ = −x³ = −f(x), тому графік симетричний відносно початку координат. Графік проходить через (−1; −1), (0; 0) і (1; 1) та зростає на всій числовій прямій. Те саме стосується y = x⁵, y = x⁷ тощо — чим більший непарний показник, тим крутіше зростає графік при |x| > 1 і тим пласкіший він біля нуля.

Цілий від'ємний показник: y = x⁻² = 1/x²

Хоча це формально не натуральний показник, функція y = x⁻² (або y = 1/x²) теж належить до степеневих. Її область визначення — усі x ≠ 0, область значень — (0; +∞). Оскільки x² > 0 при x ≠ 0, усі значення 1/x² додатні, тому обидві вітки графіка лежать над віссю Ox. Функція парна, тому вітки симетричні відносно осі Oy.

Обернена пропорційність — це функція виду y = k/x, де k ≠ 0 — стала. Її графіком є гіпербола, яка складається з двох окремих віток.

Область визначення й область значень

Оскільки ділити на нуль не можна, D = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Дріб k/x ніколи не дорівнює нулю, тому E = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Функція непарна: f(−x) = k/(−x) = −k/x = −f(x), отже, графік симетричний відносно початку координат.

Розташування віток залежно від знака k

Це дуже важливий факт: гіпербола не є монотонною на всій області визначення. Наприклад, для y = 6/x візьмемо x₁ = −1 < x₂ = 1, але f(−1) = −6 < f(1) = 6 — тобто зі зростанням аргументу функція теж зросла, а не спала. Тому правильно казати: «спадає на (−∞; 0) і на (0; +∞) окремо», але не «спадає на всій області визначення».

Асимптоти — наближення до осей

Вітки гіперболи необмежено наближаються до осей координат, але ніколи їх не перетинають. Причина: x = 0 не входить до області визначення, а рівність k/x = 0 неможлива за жодного скінченного x. Осі Ox і Oy є асимптотами гіперболи.

Як знайти k за точкою графіка

Оскільки y = k/x, то k = x · y для будь-якої точки графіка. Якщо гіпербола проходить через точку (−2; 3), то k = −2 · 3 = −6. Корисно запам'ятати: точки (1; k) і (k; 1) завжди лежать на графіку y = k/x.

Зсунута гіпербола

Функція виду y = k/(x − a) + b — це гіпербола, зсунута на a одиниць управо (якщо a > 0) і на b одиниць угору. Її область визначення — усі x ≠ a, область значень — усі y ≠ b. Наприклад, для y = 2/(x − 1) + 3 маємо x ≠ 1 і y ≠ 3. Асимптотами стають прямі x = a і y = b.

Корені тісно пов'язані зі степеневими функціями з дробовим показником. Найважливіші з них: квадратний корінь y = √x (він збігається з y = x¹⸍²: обидві функції визначені при x ≥ 0) і кубічний корінь y = ∛x. Зауваж: при x ≥ 0 маємо ∛x = x¹⸍³, але функція y = x¹⸍³ визначена лише при x ≥ 0 (степінь з дробовим показником означено для невід'ємної основи), а y = ∛x визначена на всій числовій прямій. Тому це різні функції. Властивості √x і ∛x суттєво різняться.

Функція y = √x

Квадратний корінь визначений лише з невід'ємних чисел, тому D = [0; +∞). Арифметичний квадратний корінь завжди невід'ємний, тому E = [0; +∞). Функція зростає на всій області визначення, але не є ні парною, ні непарною (вона не визначена при від'ємних x, тому перевірити симетрію неможливо).

Графік y = √x — це верхня половина параболи, що «лежить на боці». Характерні точки: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3). Зверни увагу: при x = 0 функція визначена, на відміну від гіперболи.

Функція y = ∛x

Кубічний корінь визначений для всіх дійсних чисел, бо корінь непарного степеня з від'ємного числа існує: ∛(−27) = −3. Тому D = (−∞; +∞) і E = (−∞; +∞). Функція непарна: ∛(−x) = −∛x, і зростає на всій числовій прямій. Графік симетричний відносно початку координат.

Характерні точки для y = ∛x: (−8; −2), (−1; −1), (0; 0), (1; 1), (8; 2). На відміну від y = √x, ця функція визначена і зліва від нуля.

Порівняльна таблиця

На НМТ можуть дати кілька графіків і кілька формул, між якими треба встановити відповідність. Ось алгоритм, який дає змогу не помилитися.

Ключові ознаки для розпізнавання

• Область визначення — чи визначена функція при x < 0 і при x = 0? y = √x не визначена при x < 0; гіпербола не визначена при x = 0.

• Симетрія — графік парної функції (y = x², y = x⁴) симетричний відносно осі Oy; непарної (y = x³, y = 1/x) — відносно початку координат.

• Чверті — у яких координатних чвертях лежить графік? y = x² — лише I і II, y = x³ — I і III, y = √x — лише I, y = 1/x — I і III (дві вітки), y = −1/x — II і IV.

• Точка (1; 1) — більшість степеневих функцій проходять через (1; 1). Виняток — y = k/x, яка проходить через (1; k).

Покрокова стратегія

У завданні на встановлення відповідності «формула ↔ графік» дій так:

1. Спершу відкинь графіки, які не відповідають області визначення. Наприклад, якщо функція y = √x, серед графіків шукай той, що існує лише при x ≥ 0.

2. Потім перевір одну точку. Підстав x = 1 або x = −1 — це майже одразу дасть відповідь.

3. Нарешті, звір чверті та симетрію, щоб остаточно підтвердити.

Наприклад, y = x³ визначена всюди, непарна, проходить через (1; 1) і (−1; −1), зростає. y = 1/x² не визначена при x = 0, парна, при x = 1 дає y = 1, а графік лежить вище від осі Ox.

Приклад 1. Логічні пари: функція ↔ властивість

Умова. Установи відповідність між функцією (1–3) та її властивістю (А–Д).

Розв'язування.

1. Функція y = x³ — непарна, зростає на всій числовій прямій, проходить через (1; 1). Отже, їй відповідає властивість «зростає на всій числовій прямій» — це В.

2. Функція y = −4/x — гіпербола з k = −4 < 0. Тому її вітки лежать у II і IV чвертях. Відповідь — Б.

3. Функція y = √x визначена лише при x ≥ 0. Відповідь — А.

Чому інші варіанти не підходять:

• Властивість Г (парна, E = [0; +∞)) належить функції з парним показником, наприклад y = x² або y = x⁴.

• Властивість Д (проходить через (1; 4)) відповідає функції y = 4/x — теж гіпербола, але з k = 4 > 0.

Відповідь: 1–В, 2–Б, 3–А.

Приклад 2. Гіпербола проходить через точку: знайти k

Умова. Графік функції y = k/x проходить через точку A(−2; 3). Знайдіть k.

Розв'язування. Підставимо координати точки у формулу: 3 = k/(−2). Множимо обидві частини на −2: k = 3 · (−2) = −6.

Відповідь: −6.

Поширені помилки: дехто ділить другу координату на першу: 3/(−2) = −1,5 (це y/x, а не x·y); інші гублять знак. Запам'ятай: k = x · y.

Приклад 3. Яке твердження правильне?

Умова. Яке з тверджень про функцію y = 6/x є правильним?

• А) функція спадає на всій області визначення

• Б) область значень — (−∞; +∞)

• В) графік симетричний відносно осі Oy

• Г) графік перетинає вісь Ox

• Д) функція спадає на проміжку (0; +∞)

Розв'язування. Для y = 6/x маємо k = 6 > 0. Вітки лежать у I і III чвертях, функція спадає окремо на (−∞; 0) і на (0; +∞).

А — хибне, бо гіпербола не монотонна на всій області визначення (див. контрприклад вище). Б — хибне: E = (−∞; 0) ∪ (0; +∞), нуль не належить. В — хибне: гіпербола непарна, симетрія відносно початку координат, а не осі Oy. Г — хибне: k/x ≠ 0 за жодного x. Д — правильне.

Відповідь: Д (функція спадає на проміжку (0; +∞)).

Приклад 4. Графік симетричний відносно осі Oy

Умова. Графік якої з функцій симетричний відносно осі Oy і лежить не нижче від осі Ox?

• А) y = x³

• Б) y = √x

• В) y = x⁴

• Г) y = 1/x

• Д) y = ∛x

Розв'язування. Умова «симетричний відносно осі Oy» означає, що функція парна. «Не нижче від осі Ox» означає y ≥ 0 — область значень [0; +∞).

Перевіряємо: y = x³ — непарна (не підходить). y = √x — не парна, не визначена при x < 0. y = x⁴ — парна, E = [0; +∞) — підходить. y = 1/x — непарна. y = ∛x — непарна.

Відповідь: В (y = x⁴).

• Вважати, що гіпербола спадає на всій області визначення. Це неправда: на (−∞; 0) і на (0; +∞) — окремо, а на всій області визначення монотонності немає. Контрприклад: −1 < 1, але f(−1) = −6 < f(1) = 6.

• Вважати, що вітки гіперболи перетинають осі координат. Вони до них необмежено наближаються, але не перетинають: x ≠ 0 і k/x ≠ 0 ніколи.

• Знаходити k як y/x замість x · y. Якщо точка (−2; 3), то k = (−2)·3 = −6, а не 3/(−2) = −1,5.

• Вважати y = √x визначеною при від'ємних x або сплутати з y = ∛x. Квадратний корінь існує лише з невід'ємних чисел; кубічний — з будь-яких.

• При k < 0 розмістити вітки гіперболи в I і III чвертях. Навпаки: від'ємне k дає II і IV чверті.

• Приписати y = x³ симетрію відносно осі Oy. y = x³ — непарна функція, симетрія відносно початку координат, а не осі Oy.

Степенева функція й обернена пропорційність належать до розділу «Функції» програми НМТ з математики (тема «Функціональна залежність. Лінійні, квадратні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості»). Відповідно до програми, ти маєш уміти «будувати графіки … степеневих … функцій» та «установлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком».

Як виглядають завдання

• Завдання 16 (логічні пари) — три функції (1–3) треба зіставити з п'ятьма властивостями чи графіками (А–Д). Кожна правильна пара дає 1 бал, максимум — 3 бали. У демоваріанті НМТ-2026 серед функцій є дробово-раціональна.

• Завдання 1–15 (вибір однієї відповіді) — серед п'яти варіантів треба вибрати правильне твердження про функцію, вказати, який графік відповідає формулі, або знайти параметр. Оцінюється в 0 або 1 бал.

Стратегія для логічних пар

У кожній парі шукай одну вирішальну ознаку: область визначення, чверті, у яких лежить графік, або значення в точці x = 1. Кожна правильна пара дає окремий бал, тому варто встановити всі три відповідності — навіть якщо сумніваєшся в одній, дві інші можуть принести 2 бали.

• Парний натуральний показник — функція парна, E = [0; +∞); непарний — функція непарна, зростає на всій числовій прямій.

• y = √x визначена при x ≥ 0, y = ∛x — при всіх x.

• y = k/x: k > 0 — I і III чверті, k < 0 — II і IV.

• Монотонність гіперболи — окремо на кожному з проміжків (−∞; 0) і (0; +∞); на всій області визначення монотонності немає.

• k = x · y для будь-якої точки гіперболи.