Середня лінія трикутника

Середня лінія трикутника — це відрізок, що сполучає середини двох його сторін. У будь-якого трикутника можна провести три середні лінії, оскільки в нього три пари сторін. Позначимо трикутник ABC. Якщо M — середина сторони AB, а N — середина сторони BC, то відрізок MN — одна з середніх ліній. Аналогічно, сполучивши середини BC і CA, а також CA і AB, отримаємо дві інші середні лінії.

Важливо не плутати середню лінію з медіаною. Медіана — це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Вона виходить з вершини й закінчується на стороні. Натомість середня лінія ніколи не проходить через вершину — вона сполучає дві точки на різних сторонах. Поглянь на таблицю:

Як розпізнати середню лінію в задачі? Звертай увагу на формулювання: «M і N — середини сторін AB і BC» — це пряма вказівка на середню лінію MN. На рисунку середини сторін часто позначають рисками: два штрихи на одному відрізку, два — на іншому. Крім того, існує обернений спосіб визначення: якщо через середину сторони проведено пряму, паралельну другій стороні, то ця пряма є середньою лінією (це випливає з теореми Фалеса — паралельні прямі відтинають на сторонах кута пропорційні відрізки). Тому, побачивши в умові «пряма проходить через середину сторони паралельно іншій стороні», одразу знай — маєш справу з середньою лінією.

Теорема (властивість середньої лінії трикутника). Середня лінія трикутника паралельна третій стороні й дорівнює її половині.

Формально: нехай у трикутнику ABC точка M — середина AB, точка N — середина BC. Тоді:

• MN ∥ AC

• MN = AC / 2

Це найголовніша формула теми. Якщо знаєш третю сторону — ділиш навпіл і отримуєш середню лінію. Якщо знаєш середню лінію — множиш на 2 і отримуєш третю сторону.

Пряме й обернене застосування

Кути, пов’язані із середньою лінією

Оскільки MN ∥ AC, паралельність дає рівність відповідних кутів. Розглянь трикутник ABC із середньою лінією MN (M* на *AB, N* на *BC). Сторона AB є січною для паралельних прямих MN і AC, і сторона BC теж, тому:

• ∠BMN = ∠BAC (відповідні кути)

• ∠BNM = ∠BCA (відповідні кути)

Завдяки цьому трикутник MBN подібний до трикутника ABC (усі кути рівні, а сторони вдвічі менші). Подібність ми розглянемо окремо — тут важливо запам’ятати: одна середня лінія відтинає від трикутника менший трикутник, подібний до великого з коефіцієнтом $1/2$.

Усі три середні лінії

Проведемо всі три середні лінії трикутника. Якщо сторони даного трикутника дорівнюють 10 см, 12 см і 16 см, то середні лінії будуть:

• навпроти сторони 10 см — середня лінія 5 см

• навпроти сторони 12 см — середня лінія 6 см

• навпроти сторони 16 см — середня лінія 8 см

Кожна середня лінія паралельна тій стороні, якої вона не торкається, і дорівнює половині цієї сторони.

Коли проводимо всі три середні лінії трикутника, вони утворюють усередині нього новий трикутник, вершини якого — середини сторін даного. Цей внутрішній трикутник має цікаві властивості: його сторони вдвічі менші, периметр — удвічі менший, а площа — вчетверо менша, ніж у даного.

Периметр трикутника із середніх ліній

Нехай дано трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см. Його периметр:

$$P=6+8+10=24\text{см}$$

Сторони трикутника, утвореного середніми лініями, удвічі менші: 3 см, 4 см і 5 см. Його периметр:

$$P_1=3+4+5=12\text{см}$$

Як бачиш, P₁ = P / 2. Це загальне правило: периметр трикутника, утвореного трьома середніми лініями, дорівнює половині периметра даного трикутника.

Обернена задача: якщо периметр трикутника із середніх ліній дорівнює 15 см, то периметр даного трикутника становить 2 · 15 = 30 см.

Площа трикутника із середніх ліній

Три середні лінії ділять трикутник на чотири рівні трикутники, кожен із яких подібний до даного з коефіцієнтом $1/2$. Оскільки площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, то:

$$\frac{S_1}{S}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$$

Отже, площа трикутника із середніх ліній у 4 рази менша за площу даного. Якщо S = 48 см², то S₁ = 48 / 4 = 12 см².

Зверни увагу: периметр зменшується вдвічі, а площа — вчетверо. Це тому, що площа — двовимірна характеристика (квадрат лінійного коефіцієнта), а периметр — лінійна.

Що відтинає одна середня лінія?

Одна середня лінія ділить трикутник на дві частини: менший трикутник (із вершиною, спільною з двома сторонами, чиї середини сполучає лінія) і трапецію. Менший трикутник подібний до даного з коефіцієнтом $1/2$, тому його площа становить S / 4. Трапеція, що залишилася, має площу S − S/4 = 3S/4. Для S = 48 см²: малий трикутник 12 см², трапеція 36 см².

Розв’яжемо чотири типові завдання НМТ на середню лінію трикутника. Кожне має форму вибору однієї відповіді з п’яти.

Приклад 1. Периметр трикутника із середніх ліній

Умова: Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 10 см і 14 см. Знайдіть периметр трикутника, вершини якого — середини сторін даного.

Розв’язання. Трикутник, вершини якого — середини сторін даного, складається з трьох середніх ліній. Кожна середня лінія дорівнює половині паралельної їй сторони:

• 8 / 2 = 4 см

• 10 / 2 = 5 см

• 14 / 2 = 7 см

Отже, периметр трикутника із середніх ліній: P = 4 + 5 + 7 = 16 см.

Відповідь: 16 см.

Чому інші варіанти неправильні: 32 см — це периметр даного трикутника (його взяли без ділення); 8 см — очевидно замало; 64 см — результат множення сторін замість ділення; 24 см — довільна комбінація чисел.

Приклад 2. Кут, утворений середньою лінією

Умова: У трикутнику ABC ∠BAC = 48°, ∠ABC = 70°. M і N — середини сторін AB і BC відповідно. Знайдіть ∠BNM.

Розв’язання. Спочатку знайдемо третій кут трикутника ABC: ∠BCA = 180° − 48° − 70° = 62°. Відрізок MN — середня лінія, тому MN ∥ AC. Кути ∠BNM і ∠BCA — відповідні при паралельних прямих MN і AC та січній BC. Отже, ∠BNM = ∠BCA = 62°.

Відповідь: 62°.

Дистрактори: 48° — це кут при вершині A, його помилково беруть за ∠BNM; 70° — кут B, з яким ∠BNM не пов’язаний; 118° — 180° − 62° (суміжний, але ∠BNM не суміжний); 31° — половина від 62° (хтось подумав, що середня лінія ділить і кути навпіл).

Приклад 3. Периметр за середньою лінією

Умова: У трикутнику ABC відрізок MN — середня лінія, MN ∥ AC. Периметр трикутника MBN дорівнює 21 см. Знайдіть периметр трикутника ABC.

Розв’язання. Трикутник MBN подібний до трикутника ABC з коефіцієнтом $1/2$ (кожна сторона MBN удвічі менша за відповідну сторону ABC). Периметри подібних трикутників відносяться як коефіцієнт подібності. Тому:

$$P_{ABC}=2\cdot P_{MBN}=2\cdot 21=42\text{см}$$

Відповідь: 42 см.

Чому не інші варіанти: 10,5 см — хтось поділив 21 на 2 замість помножити; 84 см — помножили на 4 (плутанина з площею); 63 см — помножили на 3 (на кількість сторін); 31,5 см — помножили на 1,5 (довільний коефіцієнт).

Приклад 4. Практичне застосування

Умова: Точки A і C розташовані по різні боки ставка, тому безпосередньо виміряти відстань AC неможливо. З точки B на суходолі відмітили середину M відрізка BA і середину N відрізка BC. Виміряли MN = 45 м. Знайдіть AC.

Розв’язання. У трикутнику ABC точки M і N — середини сторін AB і BC, отже, MN — середня лінія. За теоремою про середню лінію MN ∥ AC і MN = AC / 2. Звідси AC = 2 · MN = 2 · 45 = 90 м.

Відповідь: 90 м.

Дистрактори: 22,5 м — поділили 45 на 2 замість помножити; 45 м — взяли MN за AC; 135 м — помножили на 3; 180 м — помножили на 4.

• Плутають середню лінію з медіаною. Середня лінія сполучає середини двох сторін, а медіана — вершину із серединою протилежної сторони. Запам’ятай: «середня» — це сполучає «середини» сторін.

• Вважають середню лінію рівною третій стороні або подвоюють її замість ділити навпіл. Правило: MN = AC / 2. Коли знаєш AC — діли на 2; коли знаєш MN — множ на 2.

• Вважають, що середня лінія паралельна одній зі сторін, середини яких вона сполучає. Ні! Середня лінія паралельна третій стороні, тобто тій, якої вона не торкається.

• Вважають площу трикутника із середніх ліній удвічі меншою, як периметр. Площа зменшується в 4 рази, бо коефіцієнт подібності сторін $1/2$, а площа — квадрат цього коефіцієнта: (½)² = ¼.

• Беруть за середню лінію відрізок, що сполучає середину однієї сторони з довільною точкою іншої. Середня лінія обов’язково сполучає дві середини. Якщо не сказано «середина» для обох сторін — це не середня лінія.

Середня лінія трикутника та її властивості належать до теми 5.3 програми НМТ з математики (рівень стандарту). Завдання на трикутники є майже в кожному тесті, тож властивість середньої лінії варто знати, хоча окремого завдання саме на неї може й не бути.

Важливо: у довідкових матеріалах НМТ немає формули середньої лінії трикутника чи трапеції. Ти не зможеш подивитися на неї в довіднику — властивість MN = AC / 2 треба знати напам’ять.

Форма завдання: вибір однієї відповіді з п’яти (завдання 1–15 тесту НМТ, позначені літерами А–Д). Кожне таке завдання оцінюється в 0 або 1 бал. У демоваріанті НМТ-2026 трикутники перевіряють завдання 2 і 10 саме в цій формі.

Стратегія виконання: щойно побачив в умові фразу «M і N — середини сторін» або позначки рівних відрізків на рисунку, одразу запиши на чернетці:

• MN ∥ AC (паралельність)

• MN = AC / 2 (довжина)

Ці два рядки дадуть тобі 95 % розв’язку. Далі залишиться лише підставити числа.

• Середня лінія сполучає середини двох сторін трикутника.

• Вона паралельна третій стороні й дорівнює її половині: MN = AC / 2.

• Трикутник, утворений трьома середніми лініями, має вдвічі менший периметр і вчетверо меншу площу, ніж даний.

• Три середні лінії ділять трикутник на чотири рівні трикутники, кожен площею S / 4.

• Паралельність середньої лінії до третьої сторони дає рівність відповідних кутів: ∠BMN = ∠BAC, ∠BNM = ∠BCA.

• Формулу середньої лінії немає в довідкових матеріалах НМТ — її треба знати напам’ять.