Рух тіла по похилій площині

Уявімо брусок, що лежить на похилій площині, нахиленій під кутом α до горизонту. На нього діють три сили:

• сила тяжіння mg — напрямлена вертикально вниз;

• сила нормальної реакції опори N — перпендикулярно до поверхні площини;

• сила тертя F — уздовж площини, проти напрямку відносного руху (або можливого руху).

Щоб застосувати другий закон Ньютона, зручно вибрати систему координат, у якій одна вісь збігається з напрямком руху. Тому вісь Ox напрямляють уздовж похилої площини (у бік можливого зісковзування), а вісь Oy — перпендикулярно до неї.

Розкладання сили тяжіння на складові

Сила тяжіння mg напрямлена вертикально вниз, тому вона не збігається з жодною з осей. Її треба розкласти на дві взаємно перпендикулярні складові:

• складова вздовж осі Ox (скатна складова): mg·sin α — напрямлена вниз уздовж площини;

• складова вздовж осі Oy: mg·cos α — притискає тіло до площини.

Перевірмо граничні випадки. Якщо α = 0° (горизонтальна площина), то sin 0° = 0, отже, уздовж площини не діє жодна складова — тіло не зісковзує. Якщо α = 90° (вертикальна стіна), то sin 90° = 1, і вся сила тяжіння mg діє вздовж площини — тіло падає вертикально. Складова mg·cos α при α = 90° дорівнює нулю, що відповідає відсутності притискання до вертикальної поверхні.

Сила нормальної реакції та сила тертя

Уздовж осі Oy тіло не рухається (не відривається від площини й не провалюється крізь неї), тому за другим законом Ньютона рівнодійна сил по осі Oy дорівнює нулю:

N − mg·cos α = 0 → N = mg·cos α.

Сила тертя ковзання залежить від сили нормальної реакції:

Fтер = μN = μ·mg·cos α.

Якщо кут α не задано безпосередньо, а відомі висота h і довжина l похилої площини, то sin α = h/l, а cos α = √(l² − h²)/l. Наприклад, для площини завдовжки 5 м і заввишки 3 м маємо sin α = 3/5 = 0,6, cos α = √(25 − 9)/5 = 4/5 = 0,8.

Виграш у силі

Похила площина — простий механізм, що дає виграш у силі. Щоб рівномірно втягувати вантаж угору без тертя, потрібна сила F = mg·sin α, яка менша за mg. Чим менший кут α, тим менша потрібна сила, але тим довший шлях уздовж площини.

Розгляньмо випадок, коли тіло лежить на похилій площині нерухомо. Це означає, що рівнодійна всіх сил, що діють на тіло, дорівнює нулю. Скатна складова mg·sin α намагається зрушити тіло вниз, але сила тертя спокою цьому перешкоджає.

Сила тертя спокою на похилій площині

Коли тіло лежить нерухомо, сила тертя спокою точно зрівноважує скатну складову:

Fтер.сп = mg·sin α.

ВАЖЛИВО: Сила тертя спокою — це не μmg·cos α! Формула μN дає максимальне можливе значення сили тертя спокою, але реальна сила тертя спокою дорівнює тій силі, яка потрібна для збереження рівноваги. Поки тіло не рухається, Fтер.сп = mg·sin α, і це значення може бути меншим за μmg·cos α.

Умова спокою

Тіло залишатиметься нерухомим доти, доки скатна складова не перевищить максимально можливу силу тертя спокою:

mg·sin α ≤ μ·mg·cos α.

Скорочуючи на mg (маса тіла не впливає на умову!), отримуємо:

tg α ≤ μ.

Це ключова умова: тіло лежатиме нерухомо на похилій площині, якщо тангенс кута нахилу не перевищує коефіцієнт тертя. Зверни увагу: маса тіла скоротилася, тому умова спокою не залежить від того, легке тіло чи важке.

Рівномірне зісковзування

Якщо поступово збільшувати кут нахилу, настане момент, коли тіло почне рухатися рівномірно. У цей момент скатна складова точно дорівнює силі тертя ковзання:

mg·sin α = μ·mg·cos α → μ = tg α.

Саме так на практиці визначають коефіцієнт тертя: поступово нахиляють дошку, на якій лежить брусок, і фіксують кут, при якому брусок починає рівномірно зісковзувати. Тангенс цього кута дорівнює коефіцієнту тертя.

Приклад

Нехай коефіцієнт тертя між бруском і площиною μ = 0,5. Перевіримо, чи лежатиме брусок нерухомо за різних кутів нахилу:

Як бачиш, при α = 25° умова tg α ≤ μ виконується, тому брусок залишається нерухомим. При α = 30° умова порушена — брусок почне зісковзувати вниз.

Коли умова спокою не виконується (tg α > μ), тіло починає рухатися. Розгляньмо три основні ситуації: зісковзування вниз, ковзання вгору за інерцією та примусове втягування вгору.

Зісковзування вниз

Коли тіло зісковзує вниз, скатна складова mg·sin α напрямлена вниз уздовж площини, а сила тертя ковзання Fтер = μmg·cos α — угору (проти руху). За другим законом Ньютона:

ma = mg·sin α − μ·mg·cos α.

Виносимо mg за дужки й скорочуємо масу:

a = g·(sin α − μ·cos α).

Якщо тертя немає (μ = 0), формула спрощується до a = g·sin α. Без тертя прискорення залежить тільки від кута нахилу.

Ковзання вгору за інерцією

Якщо тіло штовхнули вгору вздовж площини, воно рухається вгору, але сили (скатна складова mg·sin α і сила тертя μmg·cos α) обидві напрямлені вниз — проти руху. Отже, рівнодійна:

ma = mg·sin α + μ·mg·cos α → a = g·(sin α + μ·cos α).

Тіло гальмує з цим прискоренням до повної зупинки. Після зупинки можливі два сценарії:

• якщо tg α ≤ μ, тіло залишиться нерухомим;

• якщо tg α > μ, тіло почне зісковзувати вниз із меншим прискоренням a = g·(sin α − μ·cos α).

Тяга вздовж площини вгору

Щоб втягувати тіло вгору рівномірно, потрібна сила, яка долає і скатну складову, і тертя:

F = mg·sin α + μ·mg·cos α = mg·(sin α + μ·cos α).

Якщо тіло рухається вгору з прискоренням a, то за другим законом Ньютона:

F − mg·sin α − μ·mg·cos α = ma → F = m·(a + g·sin α + μ·g·cos α).

Числовий приклад

Візьмімо похилу площину завдовжки 5 м і заввишки 3 м (sin α = 0,6, cos α = 0,8), коефіцієнт тертя μ = 0,25, g = 10 м/с².

• Прискорення під час зісковзування вниз: a = 10·(0,6 − 0,25·0,8) = 10·(0,6 − 0,2) = 4 м/с².

• Прискорення під час ковзання вгору за інерцією: a = 10·(0,6 + 0,25·0,8) = 10·(0,6 + 0,2) = 8 м/с².

Як бачиш, гальмування вгору вдвічі сильніше за розгін униз, бо тертя «допомагає» скатній складові.

Кінематика на похилій площині

Знаючи прискорення, можна розв'язувати кінематичні задачі. Наприклад, брусок зі стану спокою з'їжджає 5 м із прискоренням 4 м/с². Швидкість біля підніжжя:

v = √(2·a·s) = √(2·4·5) = √40 ≈ 6,3 м/с.

Приклад 1. Зісковзування без тертя

Брусок зісковзує без тертя з похилої площини з кутом нахилу 30°. Прискорення вільного падіння g = 10 м/с². Визнач прискорення бруска в м/с².

Розв'язання:

Оскільки тертя немає, на тіло діють лише сила тяжіння mg і сила нормальної реакції N. Скатна складова mg·sin α зумовлює рух. За другим законом Ньютона:

ma = mg·sin α → a = g·sin α.

Підставляємо sin 30° = 0,5 і g = 10 м/с²:

a = 10 · 0,5 = 5 м/с².

Відповідь: 5 м/с².

Типові помилки: дехто бере cos 30° ≈ 0,87 замість sin 30° = 0,5 і отримує 8,7 м/с². Інша помилка — вважати, що прискорення дорівнює g (10 м/с²), ігноруючи похилу площину.

Приклад 2. Зісковзування з тертям

Похила площина має довжину 10 м і висоту 6 м. Коефіцієнт тертя між бруском і площиною μ = 0,5, g = 10 м/с². Знайди прискорення бруска, що зісковзує, у м/с².

Розв'язання:

Спочатку знайдемо sin α і cos α через геометрію площини:

sin α = h/l = 6/10 = 0,6.

cos α = √(l² − h²)/l = √(100 − 36)/10 = √64/10 = 8/10 = 0,8.

Перевіримо, чи зрушить тіло взагалі: tg α = 0,6/0,8 = 0,75. Оскільки μ = 0,5, маємо tg α = 0,75 > 0,5 — тіло зісковзує.

Прискорення зісковзування:

a = g·(sin α − μ·cos α) = 10·(0,6 − 0,5·0,8) = 10·(0,6 − 0,4) = 10·0,2 = 2 м/с².

Відповідь: 2 м/с².

Поширена помилка — не перевірити умову tg α > μ. Якби tg α ≤ μ, тіло лежало б нерухомо, і прискорення дорівнювало б нулю.

Приклад 3. Сила тертя на нерухомому тілі

Брусок масою 2 кг лежить нерухомо на похилій площині з кутом нахилу 30°. Коефіцієнт тертя μ = 0,7, g = 10 м/с². Яка сила тертя діє на брусок?

Розв'язання:

Оскільки брусок лежить нерухомо, сила тертя спокою зрівноважує скатну складову сили тяжіння:

Fтер.сп = mg·sin α = 2·10·sin 30° = 20·0,5 = 10 Н.

Перевіримо, чи справді тіло може лежати нерухомо: tg 30° ≈ 0,58, μ = 0,7, отже tg α = 0,58 ≤ 0,7 — умова спокою виконується.

Відповідь: 10 Н.

Чому інші варіанти неправильні:

• 12,1 Н — це μmg·cos α = 0,7·20·0,87 ≈ 12,1 Н. Так обчислюють максимальну силу тертя спокою, але реальна сила тертя спокою менша — вона дорівнює mg·sin α.

• 14 Н — це μmg = 0,7·20 = 14 Н. Помилка: забули, що N = mg·cos α, а не mg.

• 17,3 Н — це mg·cos α = 20·0,87 ≈ 17,3 Н. Це сила нормальної реакції, а не сила тертя.

Приклад 4. Рух вгору за інерцією

Брусок штовхнули вгору вздовж похилої площини зі швидкістю 8 м/с. Для площини sin α = 0,6, cos α = 0,8, коефіцієнт тертя μ = 0,25, g = 10 м/с². Який шлях до зупинки пройде брусок?

Розв'язання:

Під час руху вгору і скатна складова, і сила тертя напрямлені вниз (проти руху). Прискорення гальмування:

a = g·(sin α + μ·cos α) = 10·(0,6 + 0,25·0,8) = 10·(0,6 + 0,2) = 8 м/с².

Шлях до зупинки знаходимо з кінематики. Початкова швидкість v₀ = 8 м/с, кінцева v = 0, прискорення a = 8 м/с² (гальмування, тому a беремо за модулем):

v² − v₀² = −2·a·s → 0 − 64 = −2·8·s → s = 64/16 = 4 м.

Відповідь: 4 м.

Поширені помилки: використати a = g·(sin α − μ·cos α) = 4 м/с² (як для руху вниз), тоді s = 64/8 = 8 м — це вдвічі більше за правильну відповідь. Інша помилка — не врахувати, що після зупинки тіло може почати зісковзувати назад (але в задачі питають лише шлях до зупинки).

Приклад 5. Визначення коефіцієнта тертя

Брусок рівномірно зісковзує з похилої площини, нахиленої під кутом 30° до горизонту. Визнач коефіцієнт тертя між бруском і площиною.

Розв'язання:

Рівномірне зісковзування означає, що прискорення дорівнює нулю. Скатна складова точно зрівноважена силою тертя ковзання:

mg·sin α = μ·mg·cos α → μ = sin α / cos α = tg α.

tg 30° = 1/√3 ≈ 0,58.

Відповідь: μ ≈ 0,58.

Чому інші варіанти неправильні:

• 0,5 — це sin 30°. Помилка: узяли μ = sin α, забувши про cos α.

• 0,87 — це cos 30°. Помилка: узяли μ = cos α.

• 1,73 — це ctg 30° = 1/tg 30°. Помилка: переплутали tg і ctg.

• Плутати sin і cos під час розкладання сили тяжіння. Запам'ятай: складова, що діє вздовж площини — mg·sin α (протилежний катет до гіпотенузи); складова, що притискає тіло перпендикулярно до площини — mg·cos α (прилеглий катет до гіпотенузи). Перевіряй граничними випадками: при α = 0° уздовж площини діє 0 (sin 0° = 0), при α = 90° — уся сила mg (sin 90° = 1).

• Обчислювати тертя спокою за формулою μmg·cos α, коли тіло лежить нерухомо. Сила тертя спокою дорівнює тій силі, яка потрібна для рівноваги, а не максимальному значенню μN. Якщо тіло нерухоме, Fтер.сп = mg·sin α (за умови, що mg·sin α ≤ μmg·cos α).

• Брати N = mg на похилій площині. На похилій площині сила нормальної реакції дорівнює не mg, а mg·cos α. Це менше за mg, бо частина сили тяжіння «йде» вздовж площини.

• Під час руху вгору напрямляти тертя вгору. Сила тертя завжди напрямлена проти відносної швидкості тіла. Якщо тіло ковзає вгору, тертя напрямлене вниз — разом зі скатною складовою. Якщо тіло зісковзує вниз, тертя напрямлене вгору.

• Вважати, що прискорення під час руху вгору й униз однакові за модулем. Униз: a = g·(sin α − μ·cos α). Угору за інерцією: a = g·(sin α + μ·cos α). Прискорення вгору завжди більше, бо тертя «допомагає» гальмувати.

• Застосовувати a = g·(sin α − μ·cos α), не перевіривши, чи тіло взагалі зрушить. Спочатку перевір умову tg α > μ. Якщо tg α ≤ μ, тіло лежить нерухомо, і прискорення дорівнює нулю, а не g·(sin α − μ·cos α).

У довідкових матеріалах НМТ-2026 немає окремих формул для похилої площини. Тобі знадобляться:

• другий закон Ньютона: F = ma;

• сила тертя ковзання: Fтер = μN;

• проєкції вектора на осі координат;

• таблиця значень sin, cos, tg для кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Програма НМТ з фізики (тема 1.2 «Динаміка») вимагає вміння розв'язувати задачі на рух тіла під дією кількох сил і пояснювати дію похилої площини як простого механізму.

Формати завдань

Стратегія розв'язання

1. Зроби рисунок: познач усі сили, що діють на тіло (mg, N, Fтер, можливо, зовнішня сила F).

2. Вибери осі: Ox — уздовж похилої площини, Oy — перпендикулярно до неї.

3. Розклади силу тяжіння на складові mg·sin α (вздовж Ox) і mg·cos α (вздовж Oy).

4. Запиши рівняння другого закону Ньютона для кожної осі.

5. Для осі Oy: N = mg·cos α (прискорення по Oy немає).

6. Для осі Ox: визнач, чи рухається тіло, і запиши рівняння з урахуванням напрямку тертя.

7. Якщо потрібно перевірити рівновагу, порівняй tg α і μ.

Пам'ятай: у довідкових матеріалах НМТ є таблиця sin, cos, tg для кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Якщо кут нестандартний, його значення або дадуть в умові, або можна знайти через висоту й довжину площини.

• Уздовж похилої площини на тіло діє складова mg·sin α; перпендикулярно до площини — mg·cos α. Сила нормальної реакції N = mg·cos α.

• Умова спокою: tg α ≤ μ. Сила тертя спокою на нерухомому тілі дорівнює mg·sin α (а не μmg·cos α).

• Прискорення під час зісковзування вниз: a = g·(sin α − μ·cos α). Без тертя: a = g·sin α.

• Прискорення під час ковзання вгору за інерцією: a = g·(sin α + μ·cos α). Після зупинки перевір умову tg α ≤ μ.

• Рівномірне зісковзування дає μ = tg α — спосіб експериментального визначення коефіцієнта тертя.

• Сила для рівномірного втягування вгору: F = mg·(sin α + μ·cos α).

• Сила тертя завжди напрямлена проти відносної швидкості тіла.