Рух тіла, кинутого горизонтально і під кутом до горизонту

Коли на тіло діє лише сила тяжіння, а опором повітря можна знехтувати, його рух уздовж горизонтальної осі Ox і вздовж вертикальної осі Oy відбувається незалежно. Це ключова ідея, яка дає змогу розв'язувати задачі на кидок тіла: складний двовимірний рух розкладають на два прості одновимірні.

Прискорення та швидкість у проєкціях

Виберемо систему координат: початок O — у точці кидання, вісь Ox напрямлена горизонтально в бік руху, вісь Oy — вертикально вгору. Тоді прискорення тіла — це прискорення вільного падіння, напрямлене вертикально вниз:

aₓ = 0, aᵧ = −g

Знак «мінус» перед g означає, що вісь Oy напрямлена вгору, а прискорення — вниз. Через те що aₓ = 0, горизонтальна складова швидкості не змінюється: vₓ = v₀ₓ = const. Вертикальна складова змінюється з часом за законом рівноприскореного руху: vᵧ = v₀ᵧ − gt.

Незалежність рухів — дослід із двома кульками

Уявімо дві однакові кульки на одній висоті h. Першу кидають горизонтально зі швидкістю v₀, другу просто відпускають (v₀ = 0). Яка кулька впаде першою? Інтуїція може підказувати, що кинута кулька пролетить довше, але насправді обидві впадуть одночасно. Чому? Тому що час падіння визначає лише вертикальний рух, а він для обох кульок однаковий: початкова вертикальна швидкість нульова, прискорення g, висота h. Горизонтальний рух на час падіння не впливає.

Траєкторія та модуль швидкості

Оскільки x(t) змінюється лінійно, а y(t) — квадратично, траєкторія тіла має форму параболи. У кожній точці траєкторії вектор миттєвої швидкості напрямлений по дотичній до параболи. Його модуль обчислюють за теоремою Піфагора:

v = √(vₓ² + vᵧ²)

Напрям швидкості відносно горизонту визначають кутом β, для якого tg β = vᵧ / vₓ.

Розглянемо окремий випадок: тіло кидають горизонтально з деякої висоти h над поверхнею землі. Початкова швидкість напрямлена вздовж осі Ox, тому v₀ₓ = v₀, v₀ᵧ = 0.

Рівняння руху

Оскільки початкова точка кидання має координати (0; h), рівняння координат набувають вигляду:

x = v₀t, y = h − gt²/2

Зверни увагу: y зменшується з часом, бо другий член від'ємний. Коли тіло досягає землі, y = 0.

Час падіння

Прирівняємо y = 0: 0 = h − gt²/2. Звідси отримуємо:

t = √(2h/g)

Це надзвичайно важливий результат: час падіння залежить тільки від висоти h і прискорення g, але не залежить від початкової швидкості v₀. Саме тому дві кульки, кинуті з однієї висоти з різними горизонтальними швидкостями, падають на землю одночасно.

Дальність польоту

Дальність польоту L — це відстань по горизонталі, яку тіло пролітає за час падіння. Оскільки рух по горизонталі рівномірний:

L = v₀t = v₀√(2h/g)

Дальність зростає зі збільшенням початкової швидкості та висоти.

Швидкість у довільний момент і в момент падіння

Складові швидкості в будь-який момент часу t:

vₓ = v₀, vᵧ = −gt

Модуль швидкості: v = √(vₓ² + vᵧ²) = √(v₀² + g²t²). У момент падіння, коли t = √(2h/g), маємо:

v = √(v₀² + 2gh)

Кут β, під яким тіло падає на землю відносно горизонту, знаходять із співвідношення tg β = vᵧ / vₓ = gt / v₀.

Числовий приклад

Нехай h = 20 м, v₀ = 15 м/с, g = 10 м/с². Тоді:

• Час падіння: t = √(2·20/10) = √4 = 2 с

• Дальність: L = 15·2 = 30 м

• Вертикальна складова в момент падіння: vᵧ = 10·2 = 20 м/с

• Модуль швидкості падіння: v = √(15² + 20²) = √(225 + 400) = √625 = 25 м/с

• Кут падіння: tg β = 20/15 ≈ 1,33, β ≈ 53°

Зверни увагу: якби з тієї самої висоти 20 м кинути другу кульку зі швидкістю, скажімо, 30 м/с, вона впала б теж через 2 с, але на відстані 60 м.

Тепер розглянемо загальніший випадок: тіло кидають із поверхні землі зі швидкістю v₀ під кутом α до горизонту. Початкова швидкість має дві проєкції:

v₀ₓ = v₀cos α, v₀ᵧ = v₀sin α

Рух по горизонталі, як і раніше, рівномірний, а по вертикалі — рівноприскорений. Рівняння координат:

x = v₀cos α · t, y = v₀sin α · t − gt²/2

Вертикальна складова швидкості змінюється з часом: vᵧ = v₀sin α − gt.

Час підйому та час польоту

У найвищій точці траєкторії вертикальна складова швидкості дорівнює нулю: vᵧ = 0. Звідси знаходимо час підйому:

t_підйому = v₀sin α / g

Час польоту вдвічі більший за час підйому, оскільки рух по вертикалі симетричний (тіло піднімається і падає з однаковим прискоренням):

t = 2v₀sin α / g

Максимальна висота підйому

Підставимо час підйому в рівняння y(t). Отримаємо:

H = v₀²sin²α / (2g)

Дальність польоту

Підставимо повний час польоту в рівняння x(t). Використовуючи тригонометричну тотожність sin 2α = 2 sin α cos α, отримуємо:

L = v₀²sin 2α / g

Числовий приклад

Нехай v₀ = 20 м/с, α = 30°, g = 10 м/с². Тоді:

• v₀ₓ = 20·cos 30° = 20·√3/2 ≈ 17,3 м/с

• v₀ᵧ = 20·sin 30° = 20·0,5 = 10 м/с

• Час польоту: t = 2·10/10 = 2 с

• Максимальна висота: H = 10²/(2·10) = 100/20 = 5 м

• Дальність: L = 20²·sin 60°/10 = 400·(√3/2)/10 = 20√3 ≈ 34,6 м

Швидкість у найвищій точці

У найвищій точці vᵧ = 0, тому швидкість тіла дорівнює лише горизонтальній складовій: v = v₀cos α. Вона не дорівнює нулю! Прискорення в цій точці, як і в будь-якій іншій, дорівнює g і напрямлене вертикально вниз.

Найбільша дальність і симетрія кутів

Дальність польоту L = v₀²sin 2α / g. Функція sin 2α досягає максимуму, коли 2α = 90°, тобто α = 45°. Отже, найбільша дальність для заданої початкової швидкості:

L_max = v₀² / g

Кути α і 90° − α дають однакову дальність, оскільки sin 2α = sin(2·(90° − α)) = sin(180° − 2α) = sin 2α. Наприклад, кидки під кутами 30° і 60° з однаковою швидкістю мають однакову дальність, але різні висоти й час польоту: для 30° висота менша, а час польоту коротший, ніж для 60°.

Розгляньмо п'ять типових завдань на рух тіла, кинутого горизонтально або під кутом до горизонту. Кожне завдання супроводжується покроковим розв'язанням і поясненням, чому інші варіанти відповіді неправильні.

Приклад 1. Горизонтальний кидок — дальність польоту

Завдання: М'яч кинули горизонтально з висоти 5 м зі швидкістю 8 м/с. Визнач дальність польоту м'яча в метрах. Прискорення вільного падіння g = 10 м/с².

Розв'язання:

1. Записуємо рівняння руху: x = v₀t, y = h − gt²/2.

2. Знаходимо час падіння з умови y = 0: 0 = 5 − 10·t²/2 → 5 = 5t² → t² = 1 → t = 1 с.

3. Дальність: L = v₀t = 8·1 = 8 м.

Відповідь: 8.

Пояснення: Час падіння залежить лише від висоти, а не від початкової швидкості. Якби хтось намагався обчислити час як t = v₀/g, це було б помилкою — так знаходять час підйому для кидка вгору, а не час падіння з висоти.

Приклад 2. Швидкість у найвищій точці

Завдання: Камінь кинули під кутом 60° до горизонту зі швидкістю 10 м/с. Чому дорівнює модуль швидкості каменя в найвищій точці траєкторії?

Розв'язання:

1. У найвищій точці вертикальна складова швидкості дорівнює нулю: vᵧ = 0.

2. Горизонтальна складова не змінюється: vₓ = v₀cos α = 10·cos 60° = 10·0,5 = 5 м/с.

3. Модуль швидкості: v = √(vₓ² + vᵧ²) = √(5² + 0) = 5 м/с.

Відповідь: 5 м/с.

Чому інші варіанти неправильні:

• 0 м/с — помилка: так вважають ті, хто думає, що в найвищій точці тіло «завмирає». Насправді воно продовжує рухатися горизонтально.

• 8,7 м/с — помилка: це v₀sin 60° = 10·√3/2 ≈ 8,7 м/с, тобто вертикальна складова, а не горизонтальна.

• 10 м/с — помилка: початкова швидкість не зберігається, бо вертикальна складова зменшується до нуля.

Приклад 3. Максимальна висота підйому

Завдання: Тіло кинули з поверхні землі під кутом 30° до горизонту зі швидкістю 40 м/с. Визнач максимальну висоту підйому в метрах. g = 10 м/с².

Розв'язання:

1. Вертикальна проєкція початкової швидкості: v₀ᵧ = v₀sin α = 40·sin 30° = 40·0,5 = 20 м/с.

2. Максимальна висота: H = v₀²sin²α / (2g) = 20² / (2·10) = 400 / 20 = 20 м.

Відповідь: 20.

Пояснення: Можна обчислити й через формулу H = v₀²sin²α/(2g) = 1600·0,25/20 = 400/20 = 20 м. Типова помилка — забути поділити на 2g або взяти cos замість sin.

Приклад 4. Швидкість у момент падіння

Завдання: З вежі заввишки 45 м горизонтально кинули камінь зі швидкістю 40 м/с. Знайди модуль швидкості каменя в момент падіння в м/с. g = 10 м/с².

Розв'язання:

1. Час падіння: t = √(2h/g) = √(2·45/10) = √9 = 3 с.

2. Вертикальна складова швидкості в момент падіння: vᵧ = gt = 10·3 = 30 м/с.

3. Горизонтальна складова: vₓ = v₀ = 40 м/с.

4. Модуль швидкості: v = √(vₓ² + vᵧ²) = √(40² + 30²) = √(1600 + 900) = √2500 = 50 м/с.

Відповідь: 50.

Пояснення: Типова помилка — додати складові як числа: 40 + 30 = 70 м/с. Швидкість — векторна величина, її модуль знаходять за теоремою Піфагора.

Приклад 5. Кут для однакової дальності

Завдання: Під яким кутом до горизонту треба кинути тіло з тією самою швидкістю, щоб дальність польоту була такою самою, як під час кидання під кутом 25°?

Розв'язання:

1. Дальність польоту L = v₀²sin 2α / g. Для однакової v₀ і g дальність однакова, якщо sin 2α₁ = sin 2α₂.

2. Відомо, що sin θ = sin(180° − θ). Отже, 2α₂ = 180° − 2α₁.

3. 2α₂ = 180° − 2·25° = 180° − 50° = 130° → α₂ = 65°.

Відповідь: 65°.

Чому інші варіанти неправильні:

• 45° — помилка: це кут максимальної дальності, але він не дає такої самої дальності, як 25°.

• 50° — помилка: 2·50° = 100°, sin 100° ≠ sin 50°.

• 155° — помилка: фізично неможливий кут кидання (більший за 90°).

Під час розв'язування задач на рух тіла, кинутого горизонтально або під кутом до горизонту, учні часто припускаються однотипних помилок. Розгляньмо їх, щоб ти міг їх уникнути на НМТ.

• Вважати, що горизонтальна складова швидкості зменшується під час польоту. Це неправильно: на тіло в горизонтальному напрямку не діють сили (опором повітря нехтуємо), тому vₓ = const. Горизонтальна складова не змінюється від початку до кінця польоту.

• Вважати, що в найвищій точці швидкість тіла, кинутого під кутом, дорівнює нулю. Насправді в найвищій точці дорівнює нулю лише вертикальна складова vᵧ, а горизонтальна vₓ = v₀cos α залишається. Тому модуль швидкості v = v₀cos α, а не нуль.

• Плутати sin і cos у проєкціях початкової швидкості. Запам'ятай: горизонтальна проєкція — v₀cos α (cos — «горизонтальний»), вертикальна — v₀sin α (sin — «вертикальний»). Перевіряй себе: якщо α = 0°, то v₀ₓ = v₀, v₀ᵧ = 0 — це відповідає cos 0° = 1, sin 0° = 0.

• Вважати, що час падіння під час горизонтального кидка залежить від початкової швидкості. Час падіння t = √(2h/g) визначається лише висотою h і прискоренням g. Початкова швидкість впливає на дальність, але не на час падіння.

• Обчислювати дальність як добуток v₀cos α на час підйому, забувши подвоїти час. Час підйому — це лише половина повного часу польоту. Дальність L = v₀cos α · t_повний, де t_повний = 2v₀sin α / g. Якщо взяти лише час підйому, дальність вийде вдвічі меншою.

• Додавати складові vₓ і vᵧ як числа замість √(vₓ² + vᵧ²). Швидкість — векторна величина. Її модуль обчислюють за теоремою Піфагора, а не простим додаванням. Наприклад, якщо vₓ = 40 м/с, vᵧ = 30 м/с, то v = √(40² + 30²) = 50 м/с, а не 70 м/с.

На НМТ з фізики тема «Рух тіла під дією сили тяжіння» (програма, тема 1.2) передбачає, що ти вмієш розв'язувати задачі на рух тіла під дією постійної сили тяжіння. Це означає, що ти маєш упевнено застосовувати рівняння рівноприскореного руху в проєкціях на осі Ox і Oy.

Довідкові матеріали

Формул дальності польоту L = v₀²sin 2α / g і максимальної висоти H = v₀²sin²α / (2g) у довідкових матеріалах НМТ-2026 немає. Їх треба виводити з базових рівнянь рівноприскореного руху. У довідці є таблиця значень sin і cos для кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, а також формули для проєкцій вектора. Саме ними й варто користуватися.

Формати завдань

Стратегія розв'язування

Найнадійніша стратегія для будь-якої задачі на кидок тіла така:

1. Запиши окремо рівняння x(t) і y(t), використовуючи проєкції початкової швидкості.

2. Знайди час з вертикального руху: прирівняй y(t) до нуля (або до кінцевої висоти) й розв'яжи квадратне рівняння.

3. Підстав знайдений час у рівняння x(t), щоб отримати дальність польоту.

4. Для швидкості в будь-який момент знайди vₓ і vᵧ окремо, а потім модуль за теоремою Піфагора.

Пам'ятай: у довідці НМТ є формули рівноприскореного руху x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2 і vₓ = v₀ₓ + aₓt. Підстав у них aₓ = 0, aᵧ = −g — і ти отримаєш усі потрібні рівняння.

• По горизонталі — рівномірний рух (vₓ = v₀cos α = const), по вертикалі — рівноприскорений з прискоренням g.

• Горизонтальний кидок: t = √(2h/g), L = v₀t, v = √(v₀² + 2gh).

• Кидок під кутом до горизонту: t = 2v₀sin α / g, H = v₀²sin²α / (2g), L = v₀²sin 2α / g.

• У найвищій точці v = v₀cos α, a = g.

• Найбільша дальність при α = 45°; кути α і 90° − α дають однакову дальність.

• Траєкторія — парабола.