Рівняння Ейнштейна для фотоефекту

У 1905 році Альберт Ейнштейн запропонував пояснення зовнішнього фотоефекту, за яке згодом отримав Нобелівську премію. Він припустив, що світло складається з окремих квантів — фотонів, кожен з яких має енергію $h\nu$, де $h$ — стала Планка, а $\nu$ — частота світла. Коли фотон потрапляє на поверхню металу, він передає всю свою енергію одному електрону.

Ця енергія витрачається на дві цілі. Перша частина — робота виходу $A_{вих}$ — потрібна, щоб електрон подолав сили притягання до металу й вийшов назовні. Друга частина перетворюється на кінетичну енергію вирваного електрона. Звідси випливає рівняння Ейнштейна для фотоефекту:

$$h\nu =A_{вих}+\frac{m{v}_{\max }^2}{2}$$

Тут $m{v}_{\max }^2/2$ — максимальна кінетична енергія фотоелектрона. Чому саме «максимальна»? Електрони в металі перебувають на різній глибині. Ті, що розташовані на самій поверхні, виходять без додаткових втрат. Електрони з глибших шарів на шляху назовні зіштовхуються з іншими частинками й втрачають частину енергії, тому їхня кінетична енергія менша. Рівняння Ейнштейна описує найсприятливіший випадок — вихід електрона з поверхні.

Робота виходу $A_{вих}$ — це характеристика матеріалу катода. Для різних металів її значення становить від 2 до 5 електронвольт (еВ). В умові задачі її звичайно дають в електронвольтах. Щоб перевести в джоулі, множать на $1,6\cdot 10^{-19}$:

$$A_{вих}(\text{Дж})=A_{вих}(\text{еВ})\cdot 1,6\cdot 10^{-19}$$

Рівняння Ейнштейна пояснює всі закони фотоефекту, які хвильова теорія світла не могла описати. По-перше, кінетична енергія електронів залежить від частоти світла $\nu$, а не від його інтенсивності. По-друге, якщо $h\nu <A_{вих}$, фотоефект взагалі не відбувається — скільки б світла не падало на метал, жоден електрон не вийде. Це й становить суть третього закону фотоефекту: для кожної речовини існує мінімальна частота (червона межа), нижче якої фотоефект відсутній.

Уявіть, що ви поступово зменшуєте частоту світла, яке падає на метал. Рано чи пізно настане момент, коли енергії фотона $h\nu$ вистачить лише на те, щоб вирвати електрон, але не залишиться енергії для його руху. Кінетична енергія фотоелектрона дорівнюватиме нулю. Цей граничний випадок називають червоною межею фотоефекту.

На червоній межі рівняння Ейнштейна набуває вигляду:

$$h{\nu }_{\min }=A_{вих}$$

Звідси знаходять граничну частоту (червону межу за частотою) та граничну довжину хвилі (червону межу за довжиною хвилі):

$${\nu }_{\min }=\frac{A_{вих}}{h},{\lambda }_{\max }=\frac{c}{{\nu }_{\min }}=\frac{hc}{A_{вих}}$$

Фотоефект відбувається, якщо частота падаючого світла $\nu$ більша або дорівнює граничній частоті ${\nu }_{\min }$. Інакше кажучи, довжина хвилі падаючого світла $\lambda$ має бути меншою або дорівнювати граничній довжині хвилі ${\lambda }_{\max }$. Що менша довжина хвилі, то більша енергія фотона — тому ультрафіолетове світло вириває електрони легше, ніж видиме.

Приклад розрахунку

Нехай робота виходу металу дорівнює 2 еВ. Переведемо в джоулі: $A_{вих}=2\cdot 1,6\cdot 10^{-19}=3,2\cdot 10^{-19}$ Дж. Гранична довжина хвилі:

$${\lambda }_{\max }=\frac{6,63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^8}{3,2\cdot 10^{-19}}\approx 6,2\cdot 10^{-7}\text{м}=620\text{нм}$$

Це оранжево-червона ділянка видимого спектра. Світло з довжиною хвилі 620 нм або менше (наприклад, зелене, синє, ультрафіолетове) вириває електрони. Світло з $\lambda >620$ нм (червоне й інфрачервоне) не викликає фотоефекту для цього металу, хоч би якою інтенсивною була опромінювальна лампа.

Не плутай довжину хвилі падаючого світла $\lambda$ (дана в умові задачі) і граничну довжину хвилі ${\lambda }_{\max }$ (властивість металу). Для перевірки, чи відбудеться фотоефект, порівнюй саме $\lambda$ і ${\lambda }_{\max }$, а не швидкості чи енергії.

Знаючи рівняння Ейнштейна, можна обчислити не лише енергію, а й швидкість фотоелектронів. Якщо енергія фотона $h\nu$ перевищує роботу виходу $A_{вих}$, то різниця переходить у кінетичну енергію електрона:

$$\frac{m{v}_{\max }^2}{2}=h\nu -A_{вих}$$

Звідси максимальна швидкість фотоелектронів:

$$v_{\max }=\sqrt{\frac{2(h\nu -A_{вих})}{m}}$$

Маса електрона $m\approx 9,1\cdot 10^{-31}$ кг — цю величину наводять в умові задачі або в довідкових матеріалах. Оскільки швидкість фотоелектронів значно менша за швидкість світла ($v\ll c$), використовуємо класичну формулу кінетичної енергії $m{v}^2/2$, а не релятивістську.

Затримувальна напруга

Затримувальна напруга $U_{з}$ — це напруга, яку треба прикласти між катодом і анодом, щоб повністю припинити фотострум. Електричне поле гальмує навіть найшвидші електрони, і їхня кінетична енергія витрачається на роботу проти цього поля:

$$e{U}_{з}=\frac{m{v}_{\max }^2}{2}=h\nu -A_{вих}$$

Звідси затримувальна напруга:

$$U_{з}=\frac{h\nu -A_{вих}}{e}$$

Тут $e=1,6\cdot 10^{-19}$ Кл — елементарний заряд (заряд електрона). Якщо всі енергії виражені в електронвольтах, то чисельно $U_{з}$ у вольтах дорівнює кінетичній енергії в еВ. Наприклад, електрон з $E_{к}=1,5$ еВ зупиняє затримувальна напруга $1,5$ В.

Приклад: цинк

Робота виходу для цинку $A_{вих}\approx 4,2$ еВ. Якщо освітити цинк світлом з енергією фотона $5,2$ еВ, то кінетична енергія фотоелектронів $E_{к}=5,2-4,2=1,0$ еВ. Затримувальна напруга $U_{з}=1,0$ В.

Як змінюється затримувальна напруга?

Подвоєння інтенсивності світла не змінює $U_{з}$ — зростає лише кількість фотоелектронів (фотострум), а їхня максимальна кінетична енергія залишається тією самою. Збільшення частоти світла збільшує $U_{з}$, оскільки зростає енергія фотона $h\nu$, а отже, й кінетична енергія електронів.

Приклад 1. Затримувальна напруга (коротка відповідь)

Робота виходу електронів із металу дорівнює 3 еВ. Якою є затримувальна напруга, якщо енергія фотона падаючого світла становить 5 еВ? Відповідь дайте у вольтах.

Розв'язання:

Кінетична енергія фотоелектрона: $E_{к}=h\nu -A_{вих}=5-3=2$ еВ.

Затримувальна напруга чисельно дорівнює кінетичній енергії в еВ, оскільки $e{U}_{з}=E_{к}$. Отже, $U_{з}=2$ В.

Відповідь: 2 В.

Чому інші відповіді неправильні: Якщо не відняти роботу виходу, вийде 5 В (енергія фотона, а не кінетична енергія). Якщо взяти лише роботу виходу — 3 В (це не кінетична енергія).

Приклад 2. Чи відбудеться фотоефект? (одна з чотирьох)

Металеву пластину з роботою виходу 2 еВ освітлюють світлом, енергія фотона якого 1,5 еВ. Що спостерігатимуть у досліді?

• Фотоефекту немає, електрони не вириваються.

• Фотоелектрони з кінетичною енергією 0,5 еВ.

• Фотоелектрони з кінетичною енергією 3,5 еВ.

• Чи відбудеться фотоефект, залежить від інтенсивності світла.

Розв'язання:

Енергія фотона (1,5 еВ) менша за роботу виходу (2 еВ): $h\nu <A_{вих}$. Тому фотоефекту не буде за жодної інтенсивності опромінення.

Відповідь: Фотоефекту немає, електрони не вириваються.

Чому інші неправильні: 0,5 еВ — це різниця $A_{вих}-h\nu$, а кінетична енергія $h\nu -A_{вих}=-0,5$ еВ була б від'ємною, тож енергії не вистачає; 3,5 еВ — це сума, а не різниця; інтенсивність не впливає на факт фотоефекту — лише на кількість електронів.

Приклад 3. Червона межа (одна з чотирьох)

Червона межа фотоефекту для деякого металу відповідає довжині хвилі 500 нм. Яке з перелічених світл вириває з цього металу фотоелектрони?

• Світло з довжиною хвилі 400 нм.

• Світло з довжиною хвилі 600 нм.

• Світло з довжиною хвилі 700 нм.

• Будь-яке світло достатньої інтенсивності.

Розв'язання:

Фотоефект є, якщо довжина хвилі падаючого світла $\lambda$ не більша за граничну ${\lambda }_{\max }$: $\lambda \le {\lambda }_{\max }$. Тут ${\lambda }_{\max }=500$ нм. З поданих варіантів лише 400 нм ≤ 500 нм.

Відповідь: Світло з довжиною хвилі 400 нм.

Чому інші неправильні: 600 нм і 700 нм більші за 500 нм — енергії фотонів не вистачає; інтенсивність не впливає на факт фотоефекту при $\lambda >{\lambda }_{\max }$.

Приклад 4. Зміна затримувальної напруги (одна з чотирьох)

Як зміниться затримувальна напруга, якщо частоту світла, що падає на фотокатод, збільшити, а його інтенсивність зменшити?

• Збільшиться.

• Зменшиться.

• Не зміниться.

• Залежить лише від інтенсивності.

Розв'язання:

Затримувальна напруга $U_{з}=(h\nu -A_{вих})/e$ залежить від частоти $\nu$, а не від інтенсивності. Збільшення $\nu$ збільшує $h\nu$, тому $U_{з}$ зростає. Зменшення інтенсивності на $U_{з}$ не впливає.

Відповідь: Збільшиться.

Чому інші неправильні: «Зменшиться» — суперечить рівнянню Ейнштейна; «не зміниться» — частота змінюється; «залежить лише від інтенсивності» — насправді $U_{з}$ не залежить від інтенсивності взагалі.

У задачах на фотоефект легко втратити бал через дрібні, але критичні неточності. Розгляньмо найпоширеніші помилки.

• Плутанина довжини хвилі падаючого світла з червоною межею. В умові дають $\lambda$ падаючого світла, а червона межа ${\lambda }_{\max }$ — це властивість металу. Їх треба порівнювати: фотоефект є за $\lambda \le {\lambda }_{\max }$, не плутай, яка більша.

• Забувають перевести еВ у Дж (або довжину хвилі з нм у м). Стала Планка $h$ дана в Дж·с, тому $A_{вих}$ в еВ треба помножити на $1,6\cdot 10^{-19}$. А довжину хвилі в нм — на $10^{-9}$, щоб отримати метри. Якщо цього не зробити, числова відповідь буде хибною на кілька порядків.

• Вважають, що $U_{з}$ залежить від інтенсивності світла. Це не так. $U_{з}=(h\nu -A_{вих})/e$ — залежить лише від частоти (енергії фотона) та матеріалу. Інтенсивність впливає на кількість фотоелектронів (силу фотоструму), але не на їхню максимальну енергію.

• Підставляють у рівняння Ейнштейна частоту або довжину хвилі без множення на $h$. Рівняння: $h\nu =A_{вих}+m{v}^2/2$. Часто забувають помножити $\nu$ на $h$ або, якщо дана $\lambda$, не обчислюють $\nu =c/\lambda$ і $h\nu =hc/\lambda$.

• Плутають $A_{вих}$ з кінетичною енергією фотоелектрона. Запам'ятай: $E_{к}=h\nu -A_{вих}$. Робота виходу — це те, що треба ВІДНЯТИ від енергії фотона, а не сама кінетична енергія.

Порада: запиши рівняння Ейнштейна на чернетці ще до того, як почнеш розв'язувати. Це вбереже від помилки зі знаком або пропущеним множником.

Рівняння Ейнштейна для фотоефекту, формули для роботи виходу, червоної межі й затримувальної напруги є в довідкових матеріалах, які видають на НМТ. Однак сама по собі наявність формул не гарантує балу — треба вміти обрати потрібну й правильно застосувати.

Програма НМТ з фізики (розділ 5.2) вимагає:

• обчислювати червону межу фотоефекту за роботою виходу;

• застосовувати рівняння Ейнштейна для знаходження кінетичної енергії, швидкості фотоелектронів і затримувальної напруги.

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 тему 5.2 не представлено жодним завданням, але це не означає, що її не буде на самому тестуванні — програма залишається чинною.

Розрахункові завдання з короткою відповіддю (№ 17–22 у тесті) оцінюють у 0 або 2 бали. Відповідь — ціле число або десятковий дріб. Сталу Планка, швидкість світла, масу та заряд електрона наводять в умові задачі або в довідкових матеріалах, тому окремо заучувати їх не потрібно.

Стратегія розв'язування

• Запиши одиниці. Одразу після прочитання умови зафіксуй, у яких одиницях дано величини.

• Переведи еВ у Дж, якщо збираєшся підставляти $h$ у Дж·с. Або залишайся в еВ, якщо всі енергії в еВ — тоді $U_{з}$ у вольтах дорівнює $E_{к}$ в еВ.

• Перевір умову фотоефекту: $h\nu$ (або $hc/\lambda$) має бути більшою за $A_{вих}$. Якщо ні — відповідь «фотоефекту немає».

• Обери формулу. Якщо питають затримувальну напругу — $U_{з}=(h\nu -A_{вих})/e$. Якщо швидкість — $v=\sqrt{2(h\nu -A_{вих})/m}$. Якщо червону межу — ${\lambda }_{\max }=hc/A_{вих}$.

• Рівняння Ейнштейна: $h\nu =A_{вих}+\frac{m{v}_{\max }^2}{2}$

• Червона межа: ${\nu }_{\min }=\frac{A_{вих}}{h}$, ${\lambda }_{\max }=\frac{hc}{A_{вих}}$; фотоефект є за $\lambda \le {\lambda }_{\max }$

• Затримувальна напруга: $e{U}_{з}=\frac{m{v}_{\max }^2}{2}=h\nu -A_{вих}$, $U_{з}=\frac{h\nu -A_{вих}}{e}$

• $U_{з}$ зростає з частотою світла й не залежить від інтенсивності

• 1 еВ = $1,6\cdot 10^{-19}$ Дж

• Швидкість фотоелектронів: $v_{\max }=\sqrt{\frac{2(h\nu -A_{вих})}{m}}$