Прискорення і рівняння рівноприскореного руху

Рівноприскорений (або рівнозмінний) прямолінійний рух — це рух, під час якого швидкість тіла за будь-які рівні проміжки часу змінюється однаково. Інакше кажучи, прискорення тіла залишається сталим: a⃗ = const. Наближено рівноприскорено рухаються, наприклад, автомобіль, що рівномірно розганяється на прямій ділянці дороги, поїзд метро під час розгону від станції або тіло, що вільно падає.

Що таке прискорення?

Прискорення — це векторна фізична величина, яка характеризує швидкість зміни швидкості тіла. Визначається як відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася:

$$\vec{a}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{\vec{v}-{\vec{v}}_0}{t}$$

Одиниця прискорення в СІ — метр на секунду в квадраті (м/с²). Наприклад, запис «2 м/с²» означає, що кожну секунду швидкість тіла змінюється на 2 м/с. Якщо тіло розганяється зі стану спокою, то через 1 с його швидкість становитиме 2 м/с, через 2 с — 4 м/с, через 3 с — 6 м/с і так далі.

Напрям прискорення: розгін і гальмування

Оскільки прискорення — вектор, важливо розуміти його напрям відносно швидкості:

• Розгін: вектор прискорення a⃗ напрямлений так само, як вектор швидкості v⃗. У проєкціях на вісь це означає, що aₓ і vₓ мають однаковий знак. Модуль швидкості зростає.

• Гальмування: вектор прискорення a⃗ напрямлений протилежно до вектора швидкості v⃗. Проєкції aₓ і vₓ мають різні знаки. Модуль швидкості зменшується.

Важливо запам’ятати: знак проєкції прискорення сам по собі не вказує на гальмування. Якщо тіло рухається в напрямі, протилежному до вибраної осі (тобто vₓ < 0), і його швидкість за модулем зростає (тіло розганяється в цьому напрямі), то проєкція прискорення також буде від’ємною. Отже, aₓ < 0 може відповідати як гальмуванню (якщо тіло рухалося в додатному напрямі), так і розгону (якщо тіло рухається у від’ємному напрямі).

Переведення одиниць швидкості

У задачах швидкість часто подають у км/год, а прискорення — у м/с². Щоб уникнути помилок, завжди переводь км/год у м/с:

$$1\text{км/год}=\frac{1000\text{м}}{3600\text{с}}=\frac{1}{3,6}\text{м/с}$$

Отже, щоб перевести км/год у м/с, поділи число на 3,6. Наприклад: 108 км/год = 108 : 3,6 = 30 м/с. Якщо автомобіль розганяється з 0 до 108 км/год (30 м/с) за 10 с, то його прискорення:

$$a=\frac{30-0}{10}=3{\text{м/с}}^2$$

Це означає, що щосекунди швидкість автомобіля зростала на 3 м/с.

Основний інструмент для опису рівноприскореного руху — два рівняння: рівняння швидкості та рівняння координати. Вони дають змогу обчислити будь-яку кінематичну величину, якщо відомі початкові умови.

Рівняння швидкості в проєкціях

Проєкція швидкості тіла на вісь у будь-який момент часу:

$$v_x=v_{0x}+a_{x}t$$

де v₀ₓ — проєкція початкової швидкості, aₓ — проєкція прискорення, t — час від початку руху.

Рівняння координати

Координата тіла в будь-який момент часу:

$$x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_x{t}^2}{2}$$

де x₀ — початкова координата. Проєкція переміщення (зміна координати) — це різниця x − x₀, тому:

$$s_x=v_{0x}t+\frac{a_x{t}^2}{2}$$

Як читати рівняння руху

Розгляньмо рівняння: x = 5 + 2t − 1,5t² (усі величини в метрах і секундах). Порівняймо із загальним виглядом x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2:

• Початкова координата: x₀ = 5 м

• Початкова швидкість: v₀ₓ = 2 м/с (коефіцієнт при t)

• Прискорення: коефіцієнт при t² дорівнює aₓ/2. Маємо aₓ/2 = −1,5, отже aₓ = −3 м/с²

Тоді рівняння швидкості для цього тіла: vₓ = 2 − 3t (м/с). Через 1 с швидкість становитиме −1 м/с — тіло зупинилося, змінило напрям і рухається в протилежний бік.

Рух зі стану спокою

Якщо тіло починає рух зі стану спокою (v₀ = 0), рівняння спрощуються:

$$v=at,s=\frac{a{t}^2}{2}$$

Наприклад, лижник з’їжджає з гори зі стану спокою з прискоренням 0,5 м/с². Через 20 с його швидкість: v = 0,5 · 20 = 10 м/с. Довжина схилу: s = 0,5 · 400 / 2 = 100 м.

Інші формули переміщення

Крім основної формули sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2, існують ще дві, які можуть бути зручнішими залежно від того, які величини відомі:

Як вибрати потрібну формулу? Випиши всі відомі величини й шукану величину. Потім обери формулу, у якій немає величини, що не дана в умові й яку не треба знаходити. Наприклад, якщо дано v₀, v, a і треба знайти s, а час не дано й не питають — використовуй v² − v₀² = 2as.

Середня швидкість рівноприскореного руху

Для рівноприскореного руху на ділянці середня швидкість дорівнює середньому арифметичному початкової та кінцевої швидкостей:

$$v_{\text{сер}}=\frac{v_0+v}{2}$$

Під час гальмування до зупинки (v = 0) середня швидкість дорівнює половині початкової: vсер = v₀/2. Це дає змогу швидко обчислити гальмівний шлях: s = vсер · tзуп = (v₀/2) · (v₀/a) = v₀²/(2a).

Окремий, але дуже важливий випадок рівноприскореного руху — гальмування до повної зупинки. Коли тіло гальмує, його швидкість зменшується до нуля. У цьому розділі виведемо формули для часу до зупинки та гальмівного шляху.

Час до зупинки

Нехай тіло рухається вздовж осі OX з початковою швидкістю v₀ і гальмує зі сталим прискоренням a (вектор прискорення напрямлений проти швидкості). У проєкціях: v₀ₓ > 0, aₓ < 0. У момент зупинки v = 0. Підставляємо в рівняння швидкості:

$$0=v_0-a{t}_{\text{зуп}}\Rightarrow t_{\text{зуп}}=\frac{v_0}{a}$$

Тут a — модуль прискорення (додатна величина). Час до зупинки прямо пропорційний початковій швидкості: що швидше їхало тіло, то довше воно гальмуватиме.

Гальмівний шлях

Гальмівний шлях — це відстань, яку проходить тіло від початку гальмування до повної зупинки. Його можна знайти з формули без часу:

$$v^2-v_0^2=2a_x{s}_x$$

Під час гальмування v = 0, aₓ = −a (від’ємна, бо напрямлена проти осі). Підставляємо:

$$0-v_0^2=2(-a)s\Rightarrow s=\frac{v_0^2}{2a}$$

Зверни увагу: гальмівний шлях пропорційний квадрату початкової швидкості. Це означає, що збільшення швидкості вдвічі збільшує гальмівний шлях учетверо, втричі — у 9 разів. Саме тому перевищення швидкості на дорозі так різко збільшує ризик аварії.

Приклад розрахунку

Автомобіль рухається зі швидкістю 72 км/год і гальмує з прискоренням 5 м/с².

• Переводимо швидкість: 72 км/год = 72 : 3,6 = 20 м/с.

• Час до зупинки: tзуп = 20 / 5 = 4 с.

• Гальмівний шлях: s = 20² / (2 · 5) = 400 / 10 = 40 м.

Пастка часу: що робити, коли задано час, більший за час до зупинки?

Уяви: той самий автомобіль (20 м/с, гальмує з a = 5 м/с²) запитують, який шлях він пройде за 6 с від початку гальмування. Інтуїція підказує підставити t = 6 с у формулу s = v₀t − at²/2:

$$s=20\cdot 6-\frac{5\cdot 36}{2}=120-90=30\text{м}$$

Але це неправильно! Автомобіль зупиняється через 4 с, а після зупинки він не рухається назад (якщо не розглядати рух заднім ходом). Тому за 6 с він пройде лише ті 40 м, які подолав за перші 4 с. Відповідь — 40 м, а не 30 м.

Запам’ятай: перш ніж підставляти час у рівняння руху тіла, що гальмує, завжди обчисли час до зупинки. Якщо заданий час більший за час до зупинки, бери гальмівний шлях за формулою s = v₀²/(2a), а не підставляй більший час.

Розв’яжемо п’ять типових задач на рівноприскорений рух у форматі НМТ. Кожна задача супроводжується покроковим поясненням.

Приклад 1. Гальмівний шлях (коротка відповідь)

Автомобіль, що рухався зі швидкістю 54 км/год, гальмує до зупинки з прискоренням 3 м/с². Визнач гальмівний шлях у метрах.

Розв’язання:

1. Переводимо швидкість у м/с: 54 км/год = 54 : 3,6 = 15 м/с.

2. Використовуємо формулу гальмівного шляху: s = v₀²/(2a).

3. Обчислюємо: s = 15² / (2 · 3) = 225 / 6 = 37,5 м.

Відповідь: 37,5.

Поширена помилка: не перевести км/год у м/с. Якщо підставити 54 км/год, то s = 54² / 6 = 2916 / 6 = 486 м — абсурдний результат.

Приклад 2. Читання рівняння руху (вибір однієї відповіді)

Рух тіла описує рівняння x = 4 + 6t − t² (м). Визнач проєкцію швидкості тіла через 2 с після початку руху.

Розв’язання:

1. Порівнюємо із загальним виглядом x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2. Маємо: x₀ = 4 м, v₀ₓ = 6 м/с, aₓ/2 = −1 → aₓ = −2 м/с².

2. Записуємо рівняння швидкості: vₓ = 6 − 2t.

3. Підставляємо t = 2 с: vₓ = 6 − 2 · 2 = 2 м/с.

Відповідь: 2 м/с.

Чому інші варіанти неправильні:

• 4 м/с — якщо помилково взяти aₓ = −1 м/с² (коефіцієнт при t² без множення на 2).

• 12 м/с — якщо обчислити координату x(2) = 4 + 12 − 4 = 12 м замість швидкості.

• 10 м/с — якщо взяти прискорення додатним: v = 6 + 2·2 = 10 м/с.

Приклад 3. Рух зі стану спокою (коротка відповідь)

Лижник з’їжджає схилом зі стану спокою з прискоренням 0,5 м/с² і через 20 с опиняється біля підніжжя. Визнач довжину схилу в метрах.

Розв’язання:

1. Оскільки рух зі стану спокою (v₀ = 0), використовуємо формулу s = at²/2.

2. Обчислюємо: s = 0,5 · 20² / 2 = 0,5 · 400 / 2 = 200 / 2 = 100 м.

Відповідь: 100.

Зверни увагу: можна було спочатку знайти швидкість у кінці схилу v = at = 0,5 · 20 = 10 м/с, а потім s = (v₀ + v)t/2 = (0 + 10) · 20 / 2 = 100 м — результат той самий.

Приклад 4. Гальмування: пастка часу (коротка відповідь)

Автомобіль, маючи швидкість 12 м/с, гальмує з прискоренням 4 м/с². Який шлях (у метрах) він пройде за 5 с від початку гальмування?

Розв’язання:

1. Обчислюємо час до зупинки: tзуп = v₀ / a = 12 / 4 = 3 с.

2. Заданий час (5 с) більший за час до зупинки (3 с). Отже, автомобіль зупиниться через 3 с і далі не рухатиметься.

3. Гальмівний шлях: s = v₀² / (2a) = 12² / (2 · 4) = 144 / 8 = 18 м.

Відповідь: 18.

Типова помилка: підставити t = 5 с у формулу s = v₀t − at²/2: s = 12 · 5 − 4 · 25 / 2 = 60 − 50 = 10 м. Це неправильно, бо формула описує рух лише до моменту зупинки. Після зупинки тіло не рухається назад (якщо не діють інші сили).

Приклад 5. Зміна гальмівного шляху (вибір однієї відповіді)

У скільки разів зросте гальмівний шлях, якщо початкову швидкість збільшити втричі за того самого прискорення?

Розв’язання:

1. Гальмівний шлях: s = v₀² / (2a). Прискорення a не змінюється.

2. Якщо v₀ збільшити в 3 рази, то v₀² збільшиться в 3² = 9 разів.

3. Отже, гальмівний шлях зросте в 9 разів.

Відповідь: у 9 разів.

Чому інші варіанти неправильні:

• у 3 рази — якщо помилково вважати гальмівний шлях пропорційним швидкості, а не її квадрату.

• у √3 раза — якщо переплутати, що більша швидкість дає більший шлях, і взяти корінь.

• у 6 разів — якщо помножити 3 на 2 (ніби шлях пропорційний подвоєній швидкості).

Розгляньмо типові помилки в задачах на рівноприскорений рух. Уникаючи їх, ти збережеш дорогоцінні бали.

• Підставляти в рівняння руху час, більший за час до зупинки тіла, що гальмує. Найчастіша пастка! Спочатку обчисли tзуп = v₀/a. Якщо заданий час більший — шукай шлях за формулою s = v₀²/(2a), а не через s = v₀t − at²/2.

• Брати коефіцієнт при t² у рівнянні x(t) за прискорення. У рівнянні x = 5 − 1,5t² коефіцієнт при t² дорівнює −1,5, але це aₓ/2. Справжнє прискорення: aₓ = −3 м/с².

• Губити знак проєкції прискорення під час гальмування. Якщо вісь напрямлена вздовж руху, то під час гальмування aₓ < 0. Не забувай ставити мінус у формулі vₓ = v₀ₓ + aₓt.

• Вважати, що від’ємна проєкція прискорення завжди означає гальмування. Якщо тіло рухається проти осі (vₓ < 0) і розганяється, то aₓ < 0 — це розгін, а не гальмування. Гальмування визначається тим, що знаки aₓ і vₓ різні.

• Підставляти км/год у формули з м/с². Швидкість завжди переводь у м/с (поділи на 3,6). Інакше результат буде хибним.

• Вважати гальмівний шлях пропорційним швидкості, а не її квадрату. Якщо швидкість зросла вдвічі, гальмівний шлях зростає в 4 рази, а не в 2. Це випливає з формули s ∝ v₀².

Розуміння формату НМТ допомагає правильно розподілити час і зусилля. Ось що варто знати про завдання на рівноприскорений рух.

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах, які надають на НМТ-2026, є рівняння координати й швидкості рівноприскореного руху та три формули переміщення. Однак вибір потрібної формули й правильне визначення знаків проєкцій — завдання учасника. Довідник не підказує, яку саме формулу застосувати.

Вимоги програми

Програма НМТ з фізики (тема 1.1 «Основи кінематики») вимагає вміти розв’язувати задачі на прямолінійний рівнозмінний рух. Це означає, що ти маєш не просто знати формули, а застосовувати їх до конкретних ситуацій: розгону, гальмування, руху зі стану спокою.

Форми завдань

• Коротка відповідь (№ 17–22 у тесті): 0 або 2 бали, без часткових балів. Відповідь записують цілим числом або десятковим дробом (наприклад, 37,5) в одиницях, указаних в умові. Якщо в умові шлях у метрах — відповідь у метрах.

• Вибір однієї відповіді з чотирьох (№ 1–14): 1 бал. Сюди потрапляють якісні запитання, зокрема «у скільки разів зміниться…».

Стратегія розв’язування

Дотримуйся такого алгоритму, щоб уникнути помилок:

1. Переведи всі швидкості в м/с (поділи км/год на 3,6).

2. Вибери вісь OX (зазвичай уздовж напряму початкового руху).

3. Запиши знаки проєкцій v₀ₓ і aₓ з урахуванням напряму.

4. Якщо тіло гальмує, обчисли час до зупинки tзуп = v₀/a.

5. Перевір, чи не зупинилося тіло раніше за заданий час.

6. Обери формулу, у якій немає невідомої величини.

7. Виконай обчислення й запиши відповідь.

Відповіді на запитання, які найчастіше виникають під час вивчення рівноприскореного руху.

• Прискорення — векторна величина: a⃗ = Δv⃗/Δt. Одиниця — м/с².

• Рівняння швидкості: vₓ = v₀ₓ + aₓt.

• Рівняння координати: x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2.

• Формула без часу: v² − v₀² = 2aₓsₓ.

• Розгін — aₓ і vₓ одного знака; гальмування — різних знаків.

• Час до зупинки: tзуп = v₀/a.

• Гальмівний шлях: s = v₀²/(2a) — пропорційний квадрату початкової швидкості.

• Перш ніж підставляти час у рівняння руху тіла, що гальмує, перевір, чи тіло ще рухається.

• Завжди переводь км/год у м/с (поділи на 3,6).