Опір провідника і питомий опір

Коли в металевому провіднику тече електричний струм, вільні електрони рухаються напрямлено під дією електричного поля. На своєму шляху вони постійно зіштовхуються з йонами кристалічної ґратки. Саме ці зіткнення створюють перешкоду для впорядкованого руху зарядів — це явище називають електричним опором. Що частіше електрони стикаються з ґраткою, то більший опір має провідник.

Величина опору залежить від трьох чинників: матеріалу, з якого виготовлено провідник, його довжини та площі поперечного перерізу. Цю залежність описує формула:

$$R = \rho \frac{l}{S}$$

де $R$ — опір провідника (в Ом), $l$ — довжина провідника (в м), $S$ — площа поперечного перерізу (в м²), а $\rho$ (грецька літера «ро») — питомий опір матеріалу. Опір прямо пропорційний довжині: що довший провідник, то більше зіткнень зазнають електрони. Водночас опір обернено пропорційний площі перерізу: що товщий провідник, то більше «вільних коридорів» мають електрони й то менший опір.

Площа перерізу круглого дроту

Більшість провідників у задачах мають форму циліндричного дроту. Площу його поперечного перерізу обчислюють через діаметр:

$$S = \frac{\pi d^2}{4}$$

Зверни увагу: площа пропорційна квадрату діаметра. Якщо діаметр дроту збільшити вдвічі, площа перерізу зросте в $4$ рази, а отже опір зменшиться в $4$ рази. Це треба враховувати в задачах на зміну діаметра дроту.

Реостат

Реостат — це прилад, опір якого можна плавно змінювати. Його основна частина — дріт із матеріалу з великим питомим опором (наприклад, ніхромовий), намотаний на каркас. Пересуваючи повзунок, змінюють довжину тієї частини дроту, яка ввімкнена в коло. Оскільки $R\sim l$, то зі збільшенням довжини опір зростає, а зі зменшенням — спадає. Реостати застосовують для регулювання сили струму в колі.

Питомий опір $\rho$ — це фізична величина, яка характеризує здатність матеріалу чинити опір електричному струму. Чисельно він дорівнює опору провідника довжиною $1$ м і площею поперечного перерізу $1$ м². У СІ питомий опір вимірюють в Ом·м.

На практиці й у шкільних задачах питомий опір часто подають в Ом·мм²/м. Це зручно, бо площу перерізу дроту зазвичай задають у мм². Співвідношення між одиницями:

$$1 \; \text{Ом·мм}^2/\text{м} = 10^{-6} \; \text{Ом·м}$$

Іншими словами, щоб перевести Ом·мм²/м в Ом·м, треба помножити на $10^{-6}$ (або поділити на $1000000$).

Значення питомого опору різних матеріалів

Умова задачі завжди дає потрібне значення $\rho$, але корисно знати орієнтовні величини:

Чим менший питомий опір, тим краще матеріал проводить струм. Саме тому мідь — найпоширеніший матеріал для електропроводки. Навпаки, ніхром має великий питомий опір, тому його використовують у нагрівальних елементах (праски, плитки, обігрівачі): на ньому виділяється багато теплоти.

Важливі зауваження

Питомий опір $\rho$ залежить від матеріалу й температури, але не залежить від розмірів провідника. Тобто для мідного дроту завдовжки $1$ м і $100$ м питомий опір однаковий — він є властивістю саме міді як речовини.

Не плутай питомий опір $\rho$ із густиною! В фізиці обидві величини позначають однією грецькою літерою «ро», але це зовсім різні поняття. Густина — це маса одиниці об'єму (кг/м³), а питомий опір — електрична характеристика матеріалу (Ом·м).

Приклади обчислень

Приклад 1. Мідний дріт має довжину $l=100$ м, площу перерізу $S=1,7$ мм², питомий опір міді $\rho =0,017$ Ом·мм²/м. Знайдемо опір:

$$R = \rho \frac{l}{S} = 0{,}017 \cdot \frac{100}{1{,}7} = 1 \; \text{Ом}$$

Приклад 2. Якої довжини треба взяти нікеліновий дріт площею перерізу $S=0,5$ мм², щоб отримати опір $R=20$ Ом? Питомий опір нікеліну $\rho =0,4$ Ом·мм²/м.

З формули $R=\rho l/S$ виражаємо довжину: $l=RS/\rho$.

$$l = \frac{20 \cdot 0{,}5}{0{,}4} = 25 \; \text{м}$$

Коли дріт деформують — розтягують, розрізають або скручують — змінюються його довжина та площа поперечного перерізу, а отже й опір. У всіх таких задачах об'єм металу залишається сталим: $V=S\cdot l=\text{const}$.

Розтягування дроту

Уяви, що дріт рівномірно розтягнули вдвічі. Об'єм не змінюється: $V=S_1{l}_1=S_2{l}_2$. Якщо довжина збільшилась у $2$ рази ($l_2=2l_1$), то площа перерізу зменшилась у $2$ рази ($S_2=S_1/2$).

Підставимо в формулу опору:

$$R_2 = \rho \frac{l_2}{S_2} = \rho \frac{2l_1}{S_1/2} = \rho \frac{4l_1}{S_1} = 4R_1$$

Отже, опір збільшився в $4$ рази. Якщо дріт розтягнути в $n$ разів, опір зросте в $n^2$ разів.

Розрізання дроту на частини

Дріт опором $R$ розрізали на $n$ рівних частин. Кожна частина має довжину в $n$ разів меншу, тому її опір становить $R/n$.

Якщо ці частини з'єднати паралельно, загальний опір буде в $n$ разів меншим, ніж опір однієї частини, тобто $R_{\text{пар}}=(R/n)/n=R/n^2$.

Якщо ж з'єднати послідовно, загальний опір дорівнюватиме початковому $R$.

Складання дроту вдвічі

Дріт склали вдвічі й скрутили. Довжина зменшилась у $2$ рази, а площа перерізу збільшилась у $2$ рази (дві половини поруч). Тому:

$$R_2 = \rho \frac{l/2}{2S} = \frac{1}{4} \rho \frac{l}{S} = \frac{R_1}{4}$$

Опір зменшився в $4$ рази.

Порівняння двох дротів з одного матеріалу

Для двох дротів з однакового матеріалу (однакове $\rho$) відношення опорів:

$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2} \cdot \frac{S_2}{S_1} = \frac{l_1}{l_2} \cdot \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2$$

Це зручно, коли треба порівняти опори без обчислення кожного окремо.

Приклад 1. Нікелінова дротина

Завдання. Нікелінова дротина має довжину 25 м, площу поперечного перерізу 0,5 мм². Питомий опір нікеліну 0,4 Ом·мм²/м. Визнач опір дротини в Ом.

Розв'язання. Запишемо формулу: $R=\rho l/S$. Підставимо значення: $R=0,4\cdot 25/0,5=0,4\cdot 50=20$ Ом.

Відповідь: 20 Ом.

Типові помилки: переплутати місцями довжину й площу (тоді отримаєш $0,4\cdot 0,5/25=0,008$ Ом — неправильно); забути, що ρ дано в Ом·мм²/м, і намагатися переводити в СІ без потреби (якщо S у мм², а ρ в Ом·мм²/м, перерахунок не потрібен).

Приклад 2. Розтягування дроту

Завдання. Мідний дріт рівномірно розтягнули вдвічі за сталого об'єму. Як змінився його електричний опір?

Розв'язання. Об'єм дроту не змінюється: $V=S_1{l}_1=S_2{l}_2$. Якщо $l_2=2l_1$, то $S_2=S_1/2$. Початковий опір: $R_1=\rho l_1/S_1$. Новий опір: $R_2=\rho l_2/S_2=\rho \cdot 2l_1/(S_1/2)=\rho \cdot 4l_1/S_1=4R_1$.

Відповідь: опір збільшився в 4 рази.

Чому інші варіанти неправильні: «збільшився вдвічі» — забувають, що площа теж змінюється; «не змінився» — ігнорують зміну геометрії; «зменшився вдвічі» — плутають залежність.

Приклад 3. Ніхромовий дріт

Завдання. Ніхромовий дріт має довжину 2 м, площу поперечного перерізу 0,55 мм². Питомий опір ніхрому 1,1 Ом·мм²/м. Визнач опір дроту в Ом.

Розв'язання. $R=\rho l/S=1,1\cdot 2/0,55=2,2/0,55=4$ Ом.

Відповідь: 4 Ом.

Зверни увагу: 2,2 / 0,55 = 4, тому що 0,55 · 4 = 2,2. Можна також помітити, що 1,1 / 0,55 = 2, а 2 · 2 = 4.

Приклад 4. Зміна діаметра

Завдання. Діаметр мідного дроту збільшили вдвічі, а довжину залишили незмінною. Як змінився опір дроту?

Розв'язання. Площа перерізу круглого дроту: $S=\pi d^2/4$. Якщо діаметр збільшили вдвічі ($d_2=2d_1$), то площа зросла в $4$ рази: $S_2=\pi (2d_1{)}^2/4=4\cdot \pi d_1^2/4=4S_1$. Опір обернено пропорційний площі: $R_2=\rho l/(4S_1)=R_1/4$.

Відповідь: опір зменшився в 4 рази.

Поширена помилка: вважати, що опір зменшився вдвічі (забувають про квадратичну залежність площі від діаметра).

• Плутати питомий опір із густиною. Обидві величини позначають грецькою літерою $\rho$ («ро»), але густина — це маса одиниці об'єму (кг/м³), а питомий опір — електрична характеристика (Ом·м або Ом·мм²/м). Уважно читай умову: якщо йдеться про опір провідника, то $\rho$ — це питомий опір.

• Не переводити мм² у м², коли ρ дано в Ом·м. Якщо в задачі питомий опір подано в Ом·м, а площу перерізу — у мм², обов'язково переведи мм² у м²: $1$ мм² = $10^{-6}$ м². Інакше отримаєш хибний результат. Найбезпечніший спосіб — працювати в одній системі одиниць (СІ).

• Під час розтягування дроту вважати, що площа перерізу не змінюється. Це найпоширеніша пастка в задачах на зміну розмірів. Запам'ятай: об'єм дроту залишається сталим, тому збільшення довжини веде до зменшення площі. Якщо дріт розтягли вдвічі, площа зменшилась удвічі, а опір зріс у $4$ рази.

• Брати діаметр замість площі перерізу. У формулу $R=\rho l/S$ входить площа $S$, а не діаметр $d$. Якщо дано діаметр, спочатку обчисли площу: $S=\pi d^2/4$. Пам'ятай, що площа пропорційна квадрату діаметра.

• Вважати, що опір залежить від сили струму чи напруги. Опір провідника — це його властивість, яка залежить від матеріалу, довжини, площі перерізу та температури. Сила струму й напруга впливають на те, який струм потече через провідник (за законом Ома), але не змінюють сам опір.

У демоваріанті НМТ 2026 завдання на опір провідника й теплову дію струму за сталої ЕРС трапляється під номером 8 (тема 3.2) у форматі вибору однієї відповіді з чотирьох. За правильну відповідь нараховують 1 бал.

У довідкових матеріалах, які додають до тесту, наведено формулу опору через питомий опір: $R=\rho l/S$. Однак таблиці зі значеннями $\rho$ там немає — питомий опір завжди дають в умові задачі. Тому важливо вміти швидко підставляти числа й виконувати обчислення.

Стратегія для задач «як зміниться»

Коли в завданні питають, як зміниться опір після зміни розмірів дроту, дій за таким алгоритмом:

1. Запиши початковий опір: $R_1=\rho l_1/S_1$.

2. Визнач, як змінилися довжина $l$ і площа $S$. Познач нові величини через множники: $l_2=k_l\cdot l_1$, $S_2=k_S\cdot S_1$.

3. Підстав у формулу: $R_2=\rho \cdot (k_l{l}_1)/(k_S{S}_1)=(k_l/k_S)\cdot R_1$.

4. Для дроту зі сталим об'ємом урахуй зв'язок: якщо $l_2=n\cdot l_1$, то $S_2=S_1/n$ (оскільки $V=Sl=\text{const}$). Тоді $R_2=n^2\cdot R_1$.

Ця стратегія працює для будь-яких змін геометрії дроту: розтягування, стискання, зміни діаметра, розрізання на частини тощо.

• Опір провідника: $R=\rho \frac{l}{S}$, де $\rho$ — питомий опір матеріалу.

• Питомий опір $\rho$ — характеристика матеріалу, не плутай із густиною.

• $1$ Ом·мм²/м = $10^{-6}$ Ом·м.

• Розтягли дріт удвічі (об'єм сталий) — опір зріс у $4$ рази.

• Діаметр збільшили вдвічі — опір зменшився в $4$ рази.

• Дріт розрізали на $n$ частин і з'єднали паралельно — опір $R/n^2$.

• Реостат змінює опір через зміну довжини ввімкненої частини дроту.