Лінійне рівняння з однією змінною

Почнімо з найголовнішого: що таке рівняння з однією змінною. Це рівність, яка містить змінну (зазвичай позначають літерою x). Наприклад, 2x − 1 = 5 — рівняння зі змінною x. Його ліва частина — 2x − 1, права — 5.

Коренем (або розв'язком) рівняння називають таке значення змінної, за якого рівняння перетворюється на правильну числову рівність. Перевірмо: чи є x = 3 коренем рівняння 2x − 1 = 5? Підставляємо: 2 · 3 − 1 = 6 − 1 = 5. Отримали 5 = 5 — правильна рівність. Отже, x = 3 — корінь.

Розв'язати рівняння означає знайти всі його корені або довести, що їх немає. Для цього використовують рівносильні перетворення — такі дії, які не змінюють множини коренів.

Основні рівносильні перетворення

• Перенесення доданка з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком. Наприклад: x + 7 = 12 ⇔ x = 12 − 7. Чому знак змінюється? Бо перенесення — це насправді додавання до обох частин числа, протилежного до того доданка. Додамо до обох частин x + 7 = 12 число −7: x + 7 − 7 = 12 − 7, тобто x = 12 − 7.

• Множення або ділення обох частин рівняння на одне й те саме число, відмінне від нуля. Наприклад: 3x = 15 ⇔ x = 15 : 3 (поділили обидві частини на 3).

Чому не можна ділити на нуль?

Якщо помножити обидві частини рівняння на нуль, отримаємо 0 = 0 — правильну рівність, яка не дає жодної інформації про x. А ділити на нуль взагалі не можна, бо ділення на нуль не визначене. Наприклад, з рівняння 0 · x = 0 не можна «поділити на 0», щоб знайти x, — замість цього ми маємо випадок, коли коренем є будь-яке число (про це докладніше в наступному розділі).

Перевірка підстановкою

Знайшовши корінь, завжди перевіряй його підстановкою в початкове рівняння. Для цього обчисли окремо ліву й праву частини: якщо вони збігаються, корінь правильний. Наприклад, для рівняння 2x − 1 = 5 і кореня x = 3: ліва частина 2 · 3 − 1 = 5, права частина 5. 5 = 5 — усе вірно.

Ця перевірка рятує від помилок під час розкриття дужок, перенесення доданків і ділення — особливо коли коефіцієнт від'ємний.

Лінійне рівняння з однією змінною — це рівняння вигляду ax = b, де a і b — числа, а x — змінна. Залежно від значень a і b можливі три різні випадки.

Випадок 1: a ≠ 0 — єдиний корінь

Якщо a ≠ 0, рівняння має рівно один корінь: x = b/a. Наприклад, −4x = 10. Ділимо обидві частини на −4: x = 10/(−4) = −2,5. Перевірка: −4 · (−2,5) = 10 — правильна рівність.

Ще приклад: 5x = 0 ⇒ x = 0/5 = 0. Зверни увагу: корінь дорівнює нулю — це не те саме, що «коренів немає». Рівняння 5x = 0 має корінь x = 0, і це цілком нормальний розв'язок.

Випадок 2: a = 0, b ≠ 0 — коренів немає

Якщо a = 0, а b ≠ 0, то рівняння набуває вигляду 0 · x = b. Скільки б ми не множили нуль на будь-яке число, нуль ніколи не дорівнюватиме b (наприклад, 5). Тому таке рівняння не має жодного кореня. Наприклад, 0 · x = 5 — коренів немає.

Випадок 3: a = 0, b = 0 — безліч коренів

Якщо a = 0 і b = 0, то рівняння має вигляд 0 · x = 0. Це твердження правильне для будь-якого числа x: нуль, помножений на будь-яке число, завжди дорівнює нулю. Отже, коренем є будь-яке число — рівняння має безліч коренів.

Зведення до лінійного рівняння

Багато рівнянь після спрощення зводяться до вигляду ax = b. Наприклад:

• 3(x − 2) − 3x = −6. Розкриваємо дужки: 3x − 6 − 3x = −6. Зводимо подібні: 0 · x = −6 + 6 ⇒ 0 · x = 0. Отже, коренем є будь-яке число — безліч коренів.

• 2(x + 1) = 2x + 5. Розкриваємо дужки: 2x + 2 = 2x + 5. Переносимо: 2x − 2x = 5 − 2 ⇒ 0 · x = 3. Коренів немає.

• (x + 3)² = x² + 15. Розкриваємо квадрат: x² + 6x + 9 = x² + 15. Скорочуємо x²: 6x + 9 = 15 ⇒ 6x = 6 ⇒ x = 1. Хоча спочатку був квадрат, після спрощення отримали лінійне рівняння.

Таблиця: три випадки для ax = b

Запам'ятай: «корінь дорівнює нулю» (x = 0) і «коренів немає» — це зовсім різні відповіді. Рівняння 3x = 0 має корінь x = 0, а рівняння 0 · x = 5 коренів не має.

Лінійні рівняння в тестових завданнях можуть містити дужки, дроби або десяткові коефіцієнти. Розв'язують їх за єдиним алгоритмом.

Алгоритм розв'язування

1. Розкрити дужки.

2. Перенести доданки зі змінною в ліву частину рівняння, а числа — у праву, змінюючи знак кожного перенесеного доданка.

3. Звести подібні доданки в кожній частині.

4. Поділити обидві частини на коефіцієнт при x (якщо він не дорівнює нулю).

Розкриття дужок

Мінус перед дужками змінює знак кожного доданка в дужках на протилежний. Наприклад: 5 − (2x − 3) = 5 − 2x + 3. Зверни увагу: −(2x − 3) = −2x + 3, а не −2x − 3.

Множник перед дужками множить кожен доданок усередині. Наприклад: −3(x − 2) = −3x + 6. Тут −3 множить x, даючи −3x, і множить −2, даючи +6.

Дробові коефіцієнти

Щоб позбутися дробів, множимо обидві частини рівняння на найменше спільне кратне (НСК) усіх знаменників. Головне правило: на спільний знаменник множимо кожен доданок обох частин, зокрема й ті, що без дробу. Чисельник, що містить кілька доданків, обов'язково беремо в дужки.

Розгляньмо приклад: (x + 1)/2 − (x − 3)/5 = 2. Знаменники 2 і 5, НСК = 10. Множимо обидві частини на 10:

10 · (x + 1)/2 − 10 · (x − 3)/5 = 10 · 2

5(x + 1) − 2(x − 3) = 20

5x + 5 − 2x + 6 = 20

3x + 11 = 20 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3.

Перевірка: (3 + 1)/2 − (3 − 3)/5 = 4/2 − 0/5 = 2 − 0 = 2. Правильно.

Поширена помилка: не помножити праву частину (число 2) на спільний знаменник або не взяти чисельник у дужки. Якби ми після множення на 10 записали доданок −(x − 3)/5 як −2x − 6 замість −2(x − 3) = −2x + 6, то отримали б неправильний корінь.

Десяткові коефіцієнти

Десяткові дроби перетворюємо на цілі числа, множачи обидві частини на 10, 100 тощо — залежно від найбільшої кількості знаків після коми.

Приклад: 0,2x + 1,5 = 0,5x − 0,3. У всіх чисел один знак після коми, тому множимо на 10:

10 · 0,2x + 10 · 1,5 = 10 · 0,5x − 10 · 0,3

2x + 15 = 5x − 3

2x − 5x = −3 − 15 ⇒ −3x = −18 ⇒ x = 6.

Перевірка: 0,2 · 6 + 1,5 = 1,2 + 1,5 = 2,7; 0,5 · 6 − 0,3 = 3 − 0,3 = 2,7. Обидві частини збігаються.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 7 − 3(x − 2) = 4x − 1

Завдання: серед п'яти варіантів відповіді (А–Д) вибери правильний корінь рівняння 7 − 3(x − 2) = 4x − 1.

Розв'язання:

1. Розкриваємо дужки: 7 − 3x + 6 = 4x − 1. Зверни увагу: −3(x − 2) = −3x + 6, а не −3x − 6.

2. Зводимо подібні в лівій частині: 13 − 3x = 4x − 1.

3. Переносимо доданки: −3x − 4x = −1 − 13 ⇒ −7x = −14.

4. Ділимо обидві частини на −7: x = 2.

Перевірка підстановкою: ліва частина 7 − 3(2 − 2) = 7 − 3·0 = 7; права частина 4·2 − 1 = 8 − 1 = 7. 7 = 7 — усе правильно.

Відповідь: x = 2.

Чому інші варіанти неправильні? 2/7 — отримали б, якби −3(x − 2) розкрили як −3x − 6 (тоді 7 − 3x − 6 = 4x − 1 ⇒ 1 − 3x = 4x − 1 ⇒ 2 = 7x ⇒ x = 2/7). 12/7 — виник би, якби −1 перенесли без зміни знака (13 − 3x = 4x + 1 ⇒ 12 = 7x ⇒ x = 12/7). −2 — з'явився б через помилку в знаку після ділення (−7x = −14 ⇒ x = −2). 14 — результат, якщо забути поділити на коефіцієнт.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння (x − 1)/3 − (x + 2)/4 = 1

Завдання: серед п'яти варіантів відповіді (А–Д) вибери правильний корінь.

Розв'язання:

1. Знаменники 3 і 4, НСК = 12. Множимо обидві частини на 12:

2. 12 · (x − 1)/3 − 12 · (x + 2)/4 = 12 · 1

3. 4(x − 1) − 3(x + 2) = 12

4. Розкриваємо дужки: 4x − 4 − 3x − 6 = 12

5. Зводимо подібні: x − 10 = 12 ⇒ x = 22.

Перевірка: (22 − 1)/3 − (22 + 2)/4 = 21/3 − 24/4 = 7 − 6 = 1. Правильно.

Відповідь: x = 22.

Чому інші варіанти неправильні? 11 — отримали б, якби праву частину (1) не помножили на 12 (тоді 4x − 4 − 3x − 6 = 1 ⇒ x − 10 = 1 ⇒ x = 11). 10 — виник би, якби −3(x + 2) розкрили як −3x + 6 (тоді 4x − 4 − 3x + 6 = 12 ⇒ x + 2 = 12 ⇒ x = 10). 2 — з'явився б через помилку в знаку під час перенесення (x = 12 − 10). 18 — результат, якщо −3 помножити лише на x: −3(x + 2) = −3x − 2, тоді x − 6 = 12.

Приклад 3. Скільки коренів має рівняння 4(x − 3) + 12 = 4x?

Завдання: вибери одну з п'яти відповідей: жодного, лише 0, лише 3, два, безліч.

Розв'язання:

1. Розкриваємо дужки: 4x − 12 + 12 = 4x.

2. Зводимо подібні: 4x = 4x.

3. Переносимо: 4x − 4x = 0 ⇒ 0 · x = 0.

Маємо випадок a = 0, b = 0. Коренем є будь-яке число — безліч коренів.

Відповідь: безліч.

Пастка: дехто з рівності 0 = 0 робить висновок x = 0. Але 0 · x = 0 означає, що x може бути будь-яким числом, а не тільки нулем. Перевір: підстав x = 5 у початкове рівняння: 4(5 − 3) + 12 = 4·5 ⇒ 4·2 + 12 = 20 ⇒ 8 + 12 = 20 — правильна рівність. Отже, x = 5 теж корінь.

Приклад 4. Укажіть рівняння, яке не має коренів

Завдання: серед п'яти варіантів вибери те рівняння, яке не має жодного кореня.

Варіанти:

• 3x = 0

• 2(x + 1) = 2x + 5

• 2(x + 1) = 2x + 2

• x/2 = x/3

• −x = 4

Розв'язання: перевіримо кожне рівняння.

• 3x = 0 ⇒ x = 0 — має корінь (один).

• 2(x + 1) = 2x + 5 ⇒ 2x + 2 = 2x + 5 ⇒ 0 · x = 3 — коренів немає (a = 0, b ≠ 0).

• 2(x + 1) = 2x + 2 ⇒ 2x + 2 = 2x + 2 ⇒ 0 · x = 0 — безліч коренів.

• x/2 = x/3 ⇒ множимо на 6: 3x = 2x ⇒ x = 0 — має корінь.

• −x = 4 ⇒ x = −4 — має корінь.

Відповідь: 2(x + 1) = 2x + 5.

Дистрактори: 3x = 0 — хтось думає, що коренів немає, бо «нуль не можна поділити», але насправді x = 0/3 = 0. 2(x + 1) = 2x + 2 — після спрощення отримуємо 0 = 0, що означає безліч коренів, а не «коренів немає». x/2 = x/3 — корінь x = 0. −x = 4 — корінь x = −4.

• Переносять доданок в іншу частину без зміни знака. Наприклад: 3x + 5 = 11 ⇒ 3x = 11 + 5. Правильно: 3x = 11 − 5. Запам'ятай: перенесення — це додавання протилежного числа до обох частин, тому знак обов'язково змінюється.

• Після мінуса перед дужками змінюють знак лише першого доданка. Наприклад: −(2x − 3) = −2x − 3. Правильно: −2x + 3. Мінус перед дужками змінює знак кожного доданка всередині, а не тільки першого.

• Множать на спільний знаменник лише дроби, а доданок без знаменника чи праву частину залишають без змін. Наприклад, у рівнянні (x − 1)/3 − (x + 2)/4 = 1 множать на 12 лише дроби, а праву частину 1 залишають. Правильно: множити кожен доданок обох частин на спільний знаменник.

• Не беруть у дужки чисельник. Наприклад: −(x + 2)/4 після множення на 4 записують як −x + 2 замість −(x + 2) = −x − 2. Якщо перед дробом стоїть мінус, а чисельник містить кілька доданків, обов'язково бери весь чисельник у дужки.

• Ділять на від'ємний коефіцієнт і гублять знак. Наприклад: −5x = 20 ⇒ x = 4. Правильно: x = 20/(−5) = −4. Коли ділиш на від'ємне число, знак результату змінюється.

• Рівняння 0 · x = 0 вважають таким, що має корінь x = 0 або не має коренів. Насправді 0 · x = 0 означає, що коренем є будь-яке число — безліч коренів. А рівняння 3x = 0 має корінь x = 0 — це один конкретний корінь, а не «коренів немає».

Розв'язувати рівняння першого степеня й ті, що зводяться до них, — вимога рівня стандарту теми 2.1 програми НМТ з математики. У демоваріанті НМТ-2026 розділ «Рівняння, нерівності та їх системи» містить 4 завдання з 22 (номери 4, 11, 13, 22).

Форма завдань 1–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д). Правильна відповідь дає 1 бал, неправильна чи відсутня — 0 балів. Тому порожніх відповідей не лишай: навіть якщо не знаєш, спробуй підставити варіанти.

Лінійне рівняння з дужками чи дробами — одне з найпростіших завдань тесту. Кожен такий бал наближає до порогу — 5 тестових балів з 32. Не втрачай його через неуважність.

Стратегія на тесті

• Розв'яжи рівняння в чернетці (її не перевіряють).

• Обов'язково підстав знайдений корінь у початкове рівняння — це займає 10 секунд, але рятує від втрати бала.

• Якщо сумніваєшся, підставляй варіанти відповіді в рівняння — той, що дає правильну рівність, і є ключем.

• На всі 22 завдання відведено орієнтовно 60 хвилин, тож на одне лінійне рівняння вистачає 2–3 хвилини.

• Корінь — число, яке перетворює рівняння на правильну рівність; завжди перевіряй його підстановкою.

• Доданок переносимо з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком.

• Обидві частини рівняння можна множити або ділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.

• Лінійне рівняння ax = b: при a ≠ 0 має єдиний корінь x = b/a; при a = 0, b ≠ 0 — коренів немає; при a = 0, b = 0 — коренем є будь-яке число (безліч коренів).

• Мінус перед дужками змінює знак кожного доданка в дужках, а не тільки першого.

• Дроби прибираємо множенням обох частин на НСК знаменників; чисельник, що містить кілька доданків, обов'язково беремо в дужки.

• Десяткові коефіцієнти перетворюємо на цілі множенням на 10, 100 тощо.